Bộ câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 2 có đáp án

Câu 1:

Tính tích phân \(\int\limits_{\left( { - 2, - 1} \right)}^{\left( {3,0} \right)} {({x^4} + 4x{y^3})} dx + (6{x^2}{y^2} - 5{y^4})dy\)

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Câu 2:

Tìm a,b để tích phân \(\int\limits_L {{e^x}(2x + a{y^2} + 1)} dx + (bx + 2y)dy\) không phụ thuộc vào đường đi

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để tích phân đường không phụ thuộc vào đường đi, điều kiện cần và đủ là biểu thức dưới dấu tích phân phải là vi phân toàn phần của một hàm số nào đó. Tức là, nếu ta có \(P(x, y)dx + Q(x, y)dy\), thì phải có \(\frac{{\partial P}}{{\partial y}} = \frac{{\partial Q}}{{\partial x}}\)

Trong trường hợp này, ta có:
\(P(x, y) = e^x(2x + ay^2 + 1)\)
\(Q(x, y) = bx + 2y\)

Tính đạo hàm riêng:
\(\frac{{\partial P}}{{\partial y}} = e^x(2ay)\)
\(\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} = b\)

Để tích phân không phụ thuộc đường đi, ta cần:
\(e^x(2ay) = b\)

Điều này chỉ xảy ra khi \(a = 0\) và \(b = 0\).

Vậy, \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 0}\\{b = 0}\end{array}} \right.\)

Câu 3:

Tìm hằng số a,b để biểu thức \([{y^2} + axy + y\sin (xy)]dx + [{x^2} + bxy + x\sin (xy)]dy\) là vi phân toàn phần của một hàm số \(u(x,y)\) nào đó

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để biểu thức \([{y^2} + axy + y\sin (xy)]dx + [{x^2} + bxy + x\sin (xy)]dy\) là vi phân toàn phần của một hàm số \(u(x, y)\), điều kiện cần và đủ là:

\(\frac{{\partial P}}{{\partial y}} = \frac{{\partial Q}}{{\partial x}}\)

Trong đó:

\(P(x, y) = {y^2} + axy + y\sin (xy)\)
\(Q(x, y) = {x^2} + bxy + x\sin (xy)\)

Tính đạo hàm riêng:

\(\frac{{\partial P}}{{\partial y}} = 2y + ax + \sin (xy) + xy\cos (xy)\)
\(\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} = 2x + by + \sin (xy) + xy\cos (xy)\)

Để \(\frac{{\partial P}}{{\partial y}} = \frac{{\partial Q}}{{\partial x}}\), ta phải có:

\(2y + ax + \sin (xy) + xy\cos (xy) = 2x + by + \sin (xy) + xy\cos (xy)\)

\(2y + ax = 2x + by\)

\(ax - 2x = by - 2y\)

\((a - 2)x = (b - 2)y\)

Để đẳng thức này đúng với mọi x, y thì:

\(a - 2 = 0\) và \(b - 2 = 0\)

Suy ra \(a = 2\) và \(b = 2\).

Tuy nhiên, không có đáp án nào thỏa mãn a=2 và b=2. Xem xét lại quá trình giải, ta thấy có một lỗi nhỏ. Điều kiện để biểu thức là vi phân toàn phần là \(\frac{{\partial P}}{{\partial y}} = \frac{{\partial Q}}{{\partial x}}\) phải đúng với mọi x, y. Vì thế ta cần có \(a=2\) và \(b=2\). Các đáp án đều không chính xác. Tuy nhiên, nếu đề bài đúng, đáp án gần đúng nhất có thể là C nếu có sự nhầm lẫn trong việc ghi đáp án.

Câu 4:

Tính khối lượng của đường cong vật chất L có phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \cos t}\\{y = \sin t}\\{0 \le t \le \frac{\pi }{2}}\end{array}} \right.\) biết hàm mật độ là \(p(x,y) = y\)

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để tính khối lượng của đường cong vật chất L, ta sử dụng công thức tích phân đường loại 1:
\[m = \int_L p(x, y) ds\]
Trong đó, \(p(x, y) = y\) là hàm mật độ và \(ds\) là phần tử độ dài cung.

Đường cong L được tham số hóa bởi:
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \cos t}\\{y = \sin t}\\{0 \le t \le \frac{\pi }{2}}\end{array}} \right.\]

Tính đạo hàm của x và y theo t:
\[\frac{dx}{dt} = -\sin t\]
\[\frac{dy}{dt} = \cos t\]

Tính độ dài phần tử cung ds:
\[ds = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} dt = \sqrt{(-\sin t)^2 + (\cos t)^2} dt = \sqrt{\sin^2 t + \cos^2 t} dt = dt\]

Thay vào công thức tính khối lượng:
\[m = \int_L p(x, y) ds = \int_0^{\frac{\pi}{2}} y dt = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin t dt\]

Tính tích phân:
\[m = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin t dt = [-\cos t]_0^{\frac{\pi}{2}} = -\cos(\frac{\pi}{2}) + \cos(0) = -0 + 1 = 1\]

Vậy, khối lượng của đường cong vật chất L là 1 (đvkl).

Câu 5:

Cho là phía ngoài mặt \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 1\) với điều kiện \(x \ge 0,y \ge 0,z \ge 0\). Chọn đáp án gần nhất với kết quả của I

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Bài toán yêu cầu tính tích phân trên một phần của mặt cầu. Do không có thông tin về hàm cần tích phân, ta không thể tính trực tiếp giá trị của I. Tuy nhiên, dựa vào các đáp án cho trước, ta có thể suy đoán đây là một bài toán mẹo hoặc có một số thông tin bị thiếu. Vì không có thông tin gì thêm về tích phân I, nên không thể xác định đáp án chính xác. Trong trường hợp này, không có đáp án đúng.