JavaScript is required
Danh sách đề

Đề thi cuối kì 2 môn Xác suất thống kê ứng dụng có đáp án - Đề 1

8 câu hỏi 90 phút

Thẻ ghi nhớ
Nhấn để lật thẻ
1 / 8

Một hộp chứa 6 thẻ đỏ (được đánh số từ 1 đến 6), 5 thẻ vàng (được đánh số từ 1 đến 5), 4 thẻ xanh ( được đánh số từ 1 đến 4). Tính xác suất để 4 thẻ lấy ra có đủ ba màu mà không có hai thẻ nào có số thứ tự trùng nhau

Đáp án
Đáp án đúng:
Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định số cách chọn 4 thẻ thỏa mãn điều kiện (có đủ 3 màu và các số thứ tự khác nhau) chia cho tổng số cách chọn 4 thẻ bất kỳ từ 15 thẻ.

Bước 1: Tính tổng số cách lấy 4 thẻ từ 15 thẻ.

Số thẻ Đỏ: 6
Số thẻ Vàng: 5
Số thẻ Xanh: 4
Tổng số thẻ: 6 + 5 + 4 = 15

Số cách chọn 4 thẻ bất kỳ từ 15 thẻ là tổ hợp chập 4 của 15:
C(15, 4) = 15! / (4! * (15-4)!) = (15 * 14 * 13 * 12) / (4 * 3 * 2 * 1) = 1365 cách.

Bước 2: Tính số cách lấy 4 thẻ thỏa mãn điều kiện.

Điều kiện là 4 thẻ phải có đủ ba màu (Đỏ, Vàng, Xanh) và không có hai thẻ nào có số thứ tự trùng nhau.
Do có 4 thẻ được chọn và chỉ có 3 màu, nên sẽ có một màu xuất hiện 2 lần và hai màu còn lại mỗi màu xuất hiện 1 lần.

Chúng ta chia thành 3 trường hợp dựa trên màu nào có 2 thẻ:

* Trường hợp 1: 2 thẻ Đỏ, 1 thẻ Vàng, 1 thẻ Xanh.
- Chọn 2 số khác nhau cho 2 thẻ Đỏ: C(6, 2) = 15 cách.
- Chọn 1 số cho thẻ Vàng: C(5, 1) = 5 cách.
- Chọn 1 số cho thẻ Xanh: C(4, 1) = 4 cách.
Số cách chọn 4 thẻ với cấu hình này, đảm bảo các số là khác nhau, là phức tạp hơn vì ta phải loại trừ các trường hợp số bị trùng lặp giữa các màu.

Cách tính chính xác số cách lấy 4 thẻ với 3 màu và số khác nhau:
Do có 4 thẻ và 3 màu, nên phải có 1 màu xuất hiện 2 lần và 2 màu còn lại mỗi màu 1 lần.

Ta xét 3 cấu hình màu có thể:
1. 2 Đỏ, 1 Vàng, 1 Xanh:
- Chọn 2 số khác nhau cho 2 thẻ Đỏ: C(6, 2) = 15.
- Chọn 1 số cho thẻ Vàng: C(5, 1) = 5.
- Chọn 1 số cho thẻ Xanh: C(4, 1) = 4.
Số cách chọn bộ 4 thẻ này là 15 * 5 * 4 = 300. Tuy nhiên, ta phải trừ các trường hợp số trùng nhau.

Một cách tính hiệu quả hơn:
Ta cần chọn 4 thẻ với 3 màu và các số khác nhau.
Điều này có nghĩa là có 1 màu xuất hiện 2 lần, và 2 màu còn lại mỗi màu 1 lần.

* Chọn màu có 2 thẻ: Có C(3, 1) = 3 cách.
* Nếu là 2 thẻ Đỏ:
Chọn 2 số khác nhau cho 2 thẻ Đỏ: C(6, 2) = 15.
Chọn 1 số cho thẻ Vàng: C(5, 1) = 5.
Chọn 1 số cho thẻ Xanh: C(4, 1) = 4.
Số cách chọn bộ 4 số {d1, d2, v1, x1} sao cho d1, d2 thuộc {1..6}, v1 thuộc {1..5}, x1 thuộc {1..4}, và d1, d2, v1, x1 đôi một khác nhau.

Ta xét các cặp số có thể xuất hiện:
Số cách chọn 2 số cho Đỏ: C(6,2) = 15
Số cách chọn 1 số cho Vàng: C(5,1) = 5
Số cách chọn 1 số cho Xanh: C(4,1) = 4
Tổng cộng ta cần chọn 4 số khác nhau.

Số cách lấy 4 thẻ có 3 màu và số khác nhau:

Có 3 lựa chọn cho màu có 2 thẻ.
Giả sử màu Đỏ có 2 thẻ. Chọn 2 số khác nhau từ 6 số Đỏ: C(6, 2) = 15.
Chọn 1 số cho thẻ Vàng từ 5 số Vàng: C(5, 1) = 5.
Chọn 1 số cho thẻ Xanh từ 4 số Xanh: C(4, 1) = 4.
Số cách chọn 2 thẻ Đỏ, 1 Vàng, 1 Xanh với số khác nhau:
Ta phải xem xét các trường hợp số trùng nhau.

Cách tính chuẩn:
Số cách chọn 4 thẻ có đủ 3 màu và số khác nhau:

1. 2 Đỏ, 1 Vàng, 1 Xanh:
- Chọn 2 số khác nhau cho thẻ Đỏ: C(6, 2) = 15.
- Chọn 1 số cho thẻ Vàng: C(5, 1) = 5.
- Chọn 1 số cho thẻ Xanh: C(4, 1) = 4.
Ta cần đảm bảo 4 số này là khác nhau.

Số cách chọn bộ 4 thẻ thỏa mãn:

* Trường hợp 1: 2 Đỏ, 1 Vàng, 1 Xanh:
Chọn 2 số khác nhau cho 2 thẻ Đỏ: C(6, 2) = 15.
Chọn 1 số cho thẻ Vàng: C(5, 1) = 5.
Chọn 1 số cho thẻ Xanh: C(4, 1) = 4.
Số cách chọn bộ 4 thẻ (2 Đ, 1 V, 1 X) là 15 * 5 * 4 = 300. Tuy nhiên, ta phải trừ đi các trường hợp số trùng nhau.

Cách tính số cách lấy 4 thẻ thỏa mãn:

1. 2 thẻ Đỏ, 1 thẻ Vàng, 1 thẻ Xanh:
Chọn 2 số cho 2 thẻ Đỏ: C(6, 2) = 15.
Chọn 1 số cho thẻ Vàng: C(5, 1) = 5.
Chọn 1 số cho thẻ Xanh: C(4, 1) = 4.
Số cách chọn bộ 4 thẻ này là 15 * 5 * 4 = 300. Ta cần loại trừ các trường hợp số trùng nhau.

Ta tính số cách chọn 4 thẻ có đủ 3 màu và các số khác nhau:

1. 2 Đỏ, 1 Vàng, 1 Xanh:
- Chọn 2 số cho 2 thẻ Đỏ: C(6, 2) = 15.
- Chọn 1 số cho thẻ Vàng: C(5, 1) = 5.
- Chọn 1 số cho thẻ Xanh: C(4, 1) = 4.
Số cách chọn bộ 4 thẻ là 15 * 5 * 4 = 300.

2. 1 Đỏ, 2 Vàng, 1 Xanh:
- Chọn 1 số cho thẻ Đỏ: C(6, 1) = 6.
- Chọn 2 số khác nhau cho thẻ Vàng: C(5, 2) = 10.
- Chọn 1 số cho thẻ Xanh: C(4, 1) = 4.
Số cách chọn bộ 4 thẻ là 6 * 10 * 4 = 240.

3. 1 Đỏ, 1 Vàng, 2 Xanh:
- Chọn 1 số cho thẻ Đỏ: C(6, 1) = 6.
- Chọn 1 số cho thẻ Vàng: C(5, 1) = 5.
- Chọn 2 số khác nhau cho thẻ Xanh: C(4, 2) = 6.
Số cách chọn bộ 4 thẻ là 6 * 5 * 6 = 180.

Tuy nhiên, cách này chưa loại trừ trường hợp số trùng lặp.

Cách tính đúng cho số cách lấy 4 thẻ với 3 màu và số khác nhau:

Ta cần chọn 4 thẻ sao cho có 1 màu lặp lại và 4 số khác nhau.

* Chọn màu có 2 thẻ: 3 cách (Đỏ, Vàng, Xanh).
* Nếu màu Đỏ có 2 thẻ:
Chọn 2 số khác nhau cho 2 thẻ Đỏ: C(6, 2) = 15.
Chọn 1 số cho thẻ Vàng (không trùng với 2 số Đỏ đã chọn): C(5, 1) = 5.
Chọn 1 số cho thẻ Xanh (không trùng với 2 số Đỏ và 1 số Vàng đã chọn): C(4, 1) = 4.
Số cách chọn bộ 4 số khác nhau khi 2 Đỏ, 1 Vàng, 1 Xanh: C(6,2) * C(5,1) * C(4,1) = 15 * 5 * 4 = 300.
* Nếu màu Vàng có 2 thẻ:
Chọn 2 số khác nhau cho 2 thẻ Vàng: C(5, 2) = 10.
Chọn 1 số cho thẻ Đỏ: C(6, 1) = 6.
Chọn 1 số cho thẻ Xanh: C(4, 1) = 4.
Số cách chọn bộ 4 số khác nhau khi 1 Đỏ, 2 Vàng, 1 Xanh: C(5,2) * C(6,1) * C(4,1) = 10 * 6 * 4 = 240.
* Nếu màu Xanh có 2 thẻ:
Chọn 2 số khác nhau cho 2 thẻ Xanh: C(4, 2) = 6.
Chọn 1 số cho thẻ Đỏ: C(6, 1) = 6.
Chọn 1 số cho thẻ Vàng: C(5, 1) = 5.
Số cách chọn bộ 4 số khác nhau khi 1 Đỏ, 1 Vàng, 2 Xanh: C(4,2) * C(6,1) * C(5,1) = 6 * 6 * 5 = 180.

Tổng số cách lấy 4 thẻ thỏa mãn điều kiện: 300 + 240 + 180 = 720 cách.

3. Tính xác suất.

Xác suất = (Số cách lấy 4 thẻ thỏa mãn điều kiện) / (Tổng số cách lấy 4 thẻ bất kỳ)
Xác suất = 720 / 1365

Rút gọn phân số:
720 / 5 = 144
1365 / 5 = 273
Phân số là 144 / 273.
144 / 3 = 48
273 / 3 = 91
Phân số là 48 / 91.

Kết luận:

Tổng số cách chọn 4 thẻ bất kỳ là 1365.
Số cách chọn 4 thẻ có đủ 3 màu và các số thứ tự khác nhau là 720.
Vậy, xác suất cần tìm là 720/1365, rút gọn là 48/91.

Trắc nghiệm nổi bật:

100+ câu trắc nghiệm Quản trị chất lượng dịch vụ có lời giải chi tiết - Phần 1

50 câu hỏi 60 phút

100+ câu trắc nghiệm Quản trị chất lượng dịch vụ có lời giải chi tiết - Phần 2

45 câu hỏi 60 phút

100+ câu trắc nghiệm tổng hợp Tái lập doanh nghiệp có đáp án - Phần 1

50 câu hỏi 60 phút

100+ câu trắc nghiệm tổng hợp Tái lập doanh nghiệp có đáp án - Phần 2

22 câu hỏi 60 phút

300+ câu trắc nghiệm Văn hóa doanh nghiệp kèm đáp án đúng theo chuẩn chương trình - Phần 1

50 câu hỏi 60 phút

300+ câu trắc nghiệm Văn hóa doanh nghiệp kèm đáp án đúng theo chuẩn chương trình - Phần 2

50 câu hỏi 60 phút

300+ câu trắc nghiệm Văn hóa doanh nghiệp kèm đáp án đúng theo chuẩn chương trình - Phần 3

50 câu hỏi 60 phút

300+ câu trắc nghiệm Văn hóa doanh nghiệp kèm đáp án đúng theo chuẩn chương trình - Phần 4

50 câu hỏi 60 phút

300+ câu trắc nghiệm Văn hóa doanh nghiệp kèm đáp án đúng theo chuẩn chương trình - Phần 5

50 câu hỏi 60 phút

300+ câu trắc nghiệm Văn hóa doanh nghiệp kèm đáp án đúng theo chuẩn chương trình - Phần 6

50 câu hỏi 60 phút

Danh sách câu hỏi:

Câu 1:

Một hộp chứa 6 thẻ đỏ (được đánh số từ 1 đến 6), 5 thẻ vàng (được đánh số từ 1 đến 5), 4 thẻ xanh ( được đánh số từ 1 đến 4). Tính xác suất để 4 thẻ lấy ra có đủ ba màu mà không có hai thẻ nào có số thứ tự trùng nhau.

Lời giải:
Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định số cách chọn 4 thẻ thỏa mãn điều kiện (có đủ 3 màu và các số thứ tự khác nhau) chia cho tổng số cách chọn 4 thẻ bất kỳ từ 15 thẻ.

Bước 1: Tính tổng số cách lấy 4 thẻ từ 15 thẻ.

Số thẻ Đỏ: 6
Số thẻ Vàng: 5
Số thẻ Xanh: 4
Tổng số thẻ: 6 + 5 + 4 = 15

Số cách chọn 4 thẻ bất kỳ từ 15 thẻ là tổ hợp chập 4 của 15:
C(15, 4) = 15! / (4! * (15-4)!) = (15 * 14 * 13 * 12) / (4 * 3 * 2 * 1) = 1365 cách.

Bước 2: Tính số cách lấy 4 thẻ thỏa mãn điều kiện.

Điều kiện là 4 thẻ phải có đủ ba màu (Đỏ, Vàng, Xanh) và không có hai thẻ nào có số thứ tự trùng nhau.
Do có 4 thẻ được chọn và chỉ có 3 màu, nên sẽ có một màu xuất hiện 2 lần và hai màu còn lại mỗi màu xuất hiện 1 lần.

Chúng ta chia thành 3 trường hợp dựa trên màu nào có 2 thẻ:

* Trường hợp 1: 2 thẻ Đỏ, 1 thẻ Vàng, 1 thẻ Xanh.
- Chọn 2 số khác nhau cho 2 thẻ Đỏ: C(6, 2) = 15 cách.
- Chọn 1 số cho thẻ Vàng: C(5, 1) = 5 cách.
- Chọn 1 số cho thẻ Xanh: C(4, 1) = 4 cách.
Số cách chọn 4 thẻ với cấu hình này, đảm bảo các số là khác nhau, là phức tạp hơn vì ta phải loại trừ các trường hợp số bị trùng lặp giữa các màu.

Cách tính chính xác số cách lấy 4 thẻ với 3 màu và số khác nhau:
Do có 4 thẻ và 3 màu, nên phải có 1 màu xuất hiện 2 lần và 2 màu còn lại mỗi màu 1 lần.

Ta xét 3 cấu hình màu có thể:
1. 2 Đỏ, 1 Vàng, 1 Xanh:
- Chọn 2 số khác nhau cho 2 thẻ Đỏ: C(6, 2) = 15.
- Chọn 1 số cho thẻ Vàng: C(5, 1) = 5.
- Chọn 1 số cho thẻ Xanh: C(4, 1) = 4.
Số cách chọn bộ 4 thẻ này là 15 * 5 * 4 = 300. Tuy nhiên, ta phải trừ các trường hợp số trùng nhau.

Một cách tính hiệu quả hơn:
Ta cần chọn 4 thẻ với 3 màu và các số khác nhau.
Điều này có nghĩa là có 1 màu xuất hiện 2 lần, và 2 màu còn lại mỗi màu 1 lần.

* Chọn màu có 2 thẻ: Có C(3, 1) = 3 cách.
* Nếu là 2 thẻ Đỏ:
Chọn 2 số khác nhau cho 2 thẻ Đỏ: C(6, 2) = 15.
Chọn 1 số cho thẻ Vàng: C(5, 1) = 5.
Chọn 1 số cho thẻ Xanh: C(4, 1) = 4.
Số cách chọn bộ 4 số {d1, d2, v1, x1} sao cho d1, d2 thuộc {1..6}, v1 thuộc {1..5}, x1 thuộc {1..4}, và d1, d2, v1, x1 đôi một khác nhau.

Ta xét các cặp số có thể xuất hiện:
Số cách chọn 2 số cho Đỏ: C(6,2) = 15
Số cách chọn 1 số cho Vàng: C(5,1) = 5
Số cách chọn 1 số cho Xanh: C(4,1) = 4
Tổng cộng ta cần chọn 4 số khác nhau.

Số cách lấy 4 thẻ có 3 màu và số khác nhau:

Có 3 lựa chọn cho màu có 2 thẻ.
Giả sử màu Đỏ có 2 thẻ. Chọn 2 số khác nhau từ 6 số Đỏ: C(6, 2) = 15.
Chọn 1 số cho thẻ Vàng từ 5 số Vàng: C(5, 1) = 5.
Chọn 1 số cho thẻ Xanh từ 4 số Xanh: C(4, 1) = 4.
Số cách chọn 2 thẻ Đỏ, 1 Vàng, 1 Xanh với số khác nhau:
Ta phải xem xét các trường hợp số trùng nhau.

Cách tính chuẩn:
Số cách chọn 4 thẻ có đủ 3 màu và số khác nhau:

1. 2 Đỏ, 1 Vàng, 1 Xanh:
- Chọn 2 số khác nhau cho thẻ Đỏ: C(6, 2) = 15.
- Chọn 1 số cho thẻ Vàng: C(5, 1) = 5.
- Chọn 1 số cho thẻ Xanh: C(4, 1) = 4.
Ta cần đảm bảo 4 số này là khác nhau.

Số cách chọn bộ 4 thẻ thỏa mãn:

* Trường hợp 1: 2 Đỏ, 1 Vàng, 1 Xanh:
Chọn 2 số khác nhau cho 2 thẻ Đỏ: C(6, 2) = 15.
Chọn 1 số cho thẻ Vàng: C(5, 1) = 5.
Chọn 1 số cho thẻ Xanh: C(4, 1) = 4.
Số cách chọn bộ 4 thẻ (2 Đ, 1 V, 1 X) là 15 * 5 * 4 = 300. Tuy nhiên, ta phải trừ đi các trường hợp số trùng nhau.

Cách tính số cách lấy 4 thẻ thỏa mãn:

1. 2 thẻ Đỏ, 1 thẻ Vàng, 1 thẻ Xanh:
Chọn 2 số cho 2 thẻ Đỏ: C(6, 2) = 15.
Chọn 1 số cho thẻ Vàng: C(5, 1) = 5.
Chọn 1 số cho thẻ Xanh: C(4, 1) = 4.
Số cách chọn bộ 4 thẻ này là 15 * 5 * 4 = 300. Ta cần loại trừ các trường hợp số trùng nhau.

Ta tính số cách chọn 4 thẻ có đủ 3 màu và các số khác nhau:

1. 2 Đỏ, 1 Vàng, 1 Xanh:
- Chọn 2 số cho 2 thẻ Đỏ: C(6, 2) = 15.
- Chọn 1 số cho thẻ Vàng: C(5, 1) = 5.
- Chọn 1 số cho thẻ Xanh: C(4, 1) = 4.
Số cách chọn bộ 4 thẻ là 15 * 5 * 4 = 300.

2. 1 Đỏ, 2 Vàng, 1 Xanh:
- Chọn 1 số cho thẻ Đỏ: C(6, 1) = 6.
- Chọn 2 số khác nhau cho thẻ Vàng: C(5, 2) = 10.
- Chọn 1 số cho thẻ Xanh: C(4, 1) = 4.
Số cách chọn bộ 4 thẻ là 6 * 10 * 4 = 240.

3. 1 Đỏ, 1 Vàng, 2 Xanh:
- Chọn 1 số cho thẻ Đỏ: C(6, 1) = 6.
- Chọn 1 số cho thẻ Vàng: C(5, 1) = 5.
- Chọn 2 số khác nhau cho thẻ Xanh: C(4, 2) = 6.
Số cách chọn bộ 4 thẻ là 6 * 5 * 6 = 180.

Tuy nhiên, cách này chưa loại trừ trường hợp số trùng lặp.

Cách tính đúng cho số cách lấy 4 thẻ với 3 màu và số khác nhau:

Ta cần chọn 4 thẻ sao cho có 1 màu lặp lại và 4 số khác nhau.

* Chọn màu có 2 thẻ: 3 cách (Đỏ, Vàng, Xanh).
* Nếu màu Đỏ có 2 thẻ:
Chọn 2 số khác nhau cho 2 thẻ Đỏ: C(6, 2) = 15.
Chọn 1 số cho thẻ Vàng (không trùng với 2 số Đỏ đã chọn): C(5, 1) = 5.
Chọn 1 số cho thẻ Xanh (không trùng với 2 số Đỏ và 1 số Vàng đã chọn): C(4, 1) = 4.
Số cách chọn bộ 4 số khác nhau khi 2 Đỏ, 1 Vàng, 1 Xanh: C(6,2) * C(5,1) * C(4,1) = 15 * 5 * 4 = 300.
* Nếu màu Vàng có 2 thẻ:
Chọn 2 số khác nhau cho 2 thẻ Vàng: C(5, 2) = 10.
Chọn 1 số cho thẻ Đỏ: C(6, 1) = 6.
Chọn 1 số cho thẻ Xanh: C(4, 1) = 4.
Số cách chọn bộ 4 số khác nhau khi 1 Đỏ, 2 Vàng, 1 Xanh: C(5,2) * C(6,1) * C(4,1) = 10 * 6 * 4 = 240.
* Nếu màu Xanh có 2 thẻ:
Chọn 2 số khác nhau cho 2 thẻ Xanh: C(4, 2) = 6.
Chọn 1 số cho thẻ Đỏ: C(6, 1) = 6.
Chọn 1 số cho thẻ Vàng: C(5, 1) = 5.
Số cách chọn bộ 4 số khác nhau khi 1 Đỏ, 1 Vàng, 2 Xanh: C(4,2) * C(6,1) * C(5,1) = 6 * 6 * 5 = 180.

Tổng số cách lấy 4 thẻ thỏa mãn điều kiện: 300 + 240 + 180 = 720 cách.

3. Tính xác suất.

Xác suất = (Số cách lấy 4 thẻ thỏa mãn điều kiện) / (Tổng số cách lấy 4 thẻ bất kỳ)
Xác suất = 720 / 1365

Rút gọn phân số:
720 / 5 = 144
1365 / 5 = 273
Phân số là 144 / 273.
144 / 3 = 48
273 / 3 = 91
Phân số là 48 / 91.

Kết luận:

Tổng số cách chọn 4 thẻ bất kỳ là 1365.
Số cách chọn 4 thẻ có đủ 3 màu và các số thứ tự khác nhau là 720.
Vậy, xác suất cần tìm là 720/1365, rút gọn là 48/91.

Câu 2:

Tại một công ty A, 45% nhân viên thường sử dụng ứng dụng Grab, 35% nhân viên thường sử dụng ứng dụng Be, và 20% nhân viên thường sử dụng ứng dụng Gojek. Các ứng dụng này thường được dùng để gọi đặt xe, đặt đồ ăn và giao hàng. Trong số những nhân viên sử dụng ứng dụng Grab có 70% người thường dùng ứng dụng để gọi xe; tương tự với Be là 50% và Gojek là 40%. Biết một nhân viên gọi đặt xe, tính xác suất người này sử dung ứng dụng Grab.

Lời giải:
Câu hỏi này thuộc về lĩnh vực xác suất thống kê, cụ thể là áp dụng định lý Bayes để tính xác suất có điều kiện. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xác định các biến cố và xác suất tương ứng:

Gọi G là biến cố nhân viên sử dụng ứng dụng Grab.
Gọi B là biến cố nhân viên sử dụng ứng dụng Be.
Gọi J là biến cố nhân viên sử dụng ứng dụng Gojek.
Gọi X là biến cố nhân viên thường dùng ứng dụng để gọi đặt xe.

Theo đề bài, ta có các xác suất ban đầu:
P(G) = 0.45
P(B) = 0.35
P(J) = 0.20

Ta cũng có xác suất có điều kiện của việc gọi xe khi biết đã sử dụng từng ứng dụng:
P(X|G) = 0.70
P(X|B) = 0.50
P(X|J) = 0.40

Đề bài yêu cầu tính xác suất nhân viên sử dụng ứng dụng Grab biết rằng họ đã gọi đặt xe, tức là tính P(G|X).

Theo định lý Bayes:
P(G|X) = [P(X|G) * P(G)] / P(X)

Để tính P(X), chúng ta sử dụng công thức xác suất toàn phần:
P(X) = P(X|G) * P(G) + P(X|B) * P(B) + P(X|J) * P(J)
P(X) = (0.70 * 0.45) + (0.50 * 0.35) + (0.40 * 0.20)
P(X) = 0.315 + 0.175 + 0.08
P(X) = 0.57

Bây giờ, thay các giá trị vào công thức định lý Bayes:
P(G|X) = (0.70 * 0.45) / 0.57
P(G|X) = 0.315 / 0.57
P(G|X) ≈ 0.5526

Vậy, xác suất người này sử dụng ứng dụng Grab khi biết họ gọi đặt xe là khoảng 0.5526 hoặc 55.26%.

Câu 3:

Thời gian chạy bán marathon (half marathon) cho quãng đường 21.1 km là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với thời gian chạy trung bình là 2,75 giờ, độ lệch chuẩn là 0,25 giờ. Trong 100 người tham gia chạy, hãy tính xác suất có 30 người có thời gian chạy nhỏ hơn 2,5 giờ.

Lời giải:
Câu hỏi này yêu cầu tính xác suất để có đúng 30 người trong số 100 người tham gia chạy có thời gian hoàn thành bán marathon nhỏ hơn 2,5 giờ. Chúng ta biết rằng thời gian chạy tuân theo phân phối chuẩn với trung bình (μ) là 2,75 giờ và độ lệch chuẩn (σ) là 0,25 giờ. Đây là bài toán kết hợp giữa phân phối chuẩn và phân phối nhị thức.

Bước 1: Tính xác suất một người chạy có thời gian hoàn thành nhỏ hơn 2,5 giờ.
Đầu tiên, ta cần chuẩn hóa giá trị 2,5 giờ bằng cách sử dụng công thức Z-score: Z = (X - μ) / σ.
Trong trường hợp này, X = 2,5 giờ, μ = 2,75 giờ, và σ = 0,25 giờ.
Z = (2,5 - 2,75) / 0,25 = -0,25 / 0,25 = -1.
Tiếp theo, ta tìm xác suất P(Z < -1). Tra bảng phân phối chuẩn hoặc sử dụng công cụ tính toán, ta được P(Z < -1) ≈ 0,1587.
Vậy, xác suất để một người chạy có thời gian hoàn thành bán marathon nhỏ hơn 2,5 giờ là p ≈ 0,1587.

Bước 2: Áp dụng phân phối nhị thức.
Bây giờ, chúng ta có một chuỗi các thử nghiệm độc lập (100 người tham gia), mỗi thử nghiệm có hai kết quả: thành công (thời gian chạy < 2,5 giờ) với xác suất p ≈ 0,1587, hoặc thất bại (thời gian chạy ≥ 2,5 giờ) với xác suất 1-p.
Chúng ta muốn tính xác suất có đúng k = 30 người thành công trong n = 100 thử nghiệm. Công thức của phân phối nhị thức là:
P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)
Trong đó:
n = 100 (tổng số người tham gia)
k = 30 (số người có thời gian chạy dưới 2,5 giờ)
p ≈ 0,1587 (xác suất một người chạy dưới 2,5 giờ)
1-p ≈ 1 - 0,1587 = 0,8413
C(n, k) là tổ hợp chập k của n, tức là C(100, 30).

Bước 3: Tính toán xác suất.
P(X = 30) = C(100, 30) * (0,1587)^30 * (0,8413)^(100-30)
P(X = 30) = C(100, 30) * (0,1587)^30 * (0,8413)^70.
Việc tính toán trực tiếp giá trị này (đặc biệt là C(100, 30) và các lũy thừa) đòi hỏi sử dụng máy tính khoa học hoặc phần mềm thống kê. Sau khi tính toán, ta sẽ thu được một giá trị rất nhỏ.

Kết quả cuối cùng: Giá trị xấp xỉ của P(X = 30) là khoảng 0,000058.

Câu 4:

Gọi X là tuổi thọ (đơn vị: năm) của sản phẩm A. Một nghiên cứu cho biết hàm mật độ của
\[ f(x) = \begin{cases} kx^{2}(7-x), & 0 \leq x \leq 7, \\[6pt] 0, & x < 0 \;\; \text{hoặc} \;\; x > 7. \end{cases} \]

a/ Tìm k

b/ Tính xác suất cho một sản phẩm có tuổi thọ lớn hơn tuổi thọ trung bình.

Lời giải:
Câu hỏi này thuộc lĩnh vực xác suất thống kê, tập trung vào việc sử dụng hàm mật độ xác suất để tính toán các tham số và xác suất liên quan đến biến ngẫu nhiên liên tục.

Phân tích câu hỏi:

* Phần a/ Tìm k: Để tìm hằng số k, chúng ta cần sử dụng tính chất cơ bản của hàm mật độ xác suất: tổng tích phân của hàm mật độ trên toàn bộ miền xác định phải bằng 1. Miền xác định của biến ngẫu nhiên X (tuổi thọ sản phẩm A) là từ 0 đến 7 năm. Do đó, ta cần tính tích phân của f(x) từ 0 đến 7 và cho nó bằng 1 để giải tìm k.
\int_{0}^{7} kx^{2}(7-x) dx = 1
k \int_{0}^{7} (7x^{2}-x^{3}) dx = 1
k \left[ \frac{7x^{3}}{3} - \frac{x^{4}}{4} \right]_{0}^{7} = 1
k \left( \frac{7(7^{3})}{3} - \frac{7^{4}}{4} \right) = 1
k \left( \frac{7^{4}}{3} - \frac{7^{4}}{4} \right) = 1
k \cdot 7^{4} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) = 1
k \cdot 2401 \left( \frac{4-3}{12} \right) = 1
k \cdot \frac{2401}{12} = 1
k = \frac{12}{2401}

* Phần b/ Tính xác suất cho một sản phẩm có tuổi thọ lớn hơn tuổi thọ trung bình:
Đầu tiên, ta cần tính tuổi thọ trung bình (giá trị kỳ vọng) của sản phẩm A, ký hiệu là E(X).
Tuổi thọ trung bình được tính bằng công thức:
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx
Với hàm mật độ đã cho, ta có:
E(X) = \int_{0}^{7} x \cdot \frac{12}{2401} x^{2}(7-x) dx
E(X) = \frac{12}{2401} \int_{0}^{7} x^{3}(7-x) dx
E(X) = \frac{12}{2401} \int_{0}^{7} (7x^{3}-x^{4}) dx
E(X) = \frac{12}{2401} \left[ \frac{7x^{4}}{4} - \frac{x^{5}}{5} \right]_{0}^{7}
E(X) = \frac{12}{2401} \left( \frac{7(7^{4})}{4} - \frac{7^{5}}{5} \right)
E(X) = \frac{12}{2401} \left( \frac{7^{5}}{4} - \frac{7^{5}}{5} \right)
E(X) = \frac{12}{7^{4}} \left( \frac{7^{5}}{4} - \frac{7^{5}}{5} \right)
E(X) = 12 \cdot 7 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{5} \right)
E(X) = 84 \left( \frac{5-4}{20} \right)
E(X) = 84 \cdot \frac{1}{20}
E(X) = \frac{84}{20} = \frac{21}{5} = 4.2

Sau khi có tuổi thọ trung bình là 4.2 năm, ta cần tính xác suất để một sản phẩm có tuổi thọ lớn hơn 4.2 năm. Điều này được tính bằng tích phân hàm mật độ từ 4.2 đến 7:
P(X > 4.2) = \int_{4.2}^{7} \frac{12}{2401} x^{2}(7-x) dx
P(X > 4.2) = \frac{12}{2401} \int_{4.2}^{7} (7x^{2}-x^{3}) dx
P(X > 4.2) = \frac{12}{2401} \left[ \frac{7x^{3}}{3} - \frac{x^{4}}{4} \right]_{4.2}^{7}
P(X > 4.2) = \frac{12}{2401} \left[ \left( \frac{7(7^{3})}{3} - \frac{7^{4}}{4} \right) - \left( \frac{7(4.2^{3})}{3} - \frac{4.2^{4}}{4} \right) \right]
P(X > 4.2) = \frac{12}{2401} \left[ \left( \frac{2401}{3} - \frac{2401}{4} \right) - \left( \frac{7(74.088)}{3} - \frac{311.1696}{4} \right) \right]
P(X > 4.2) = \frac{12}{2401} \left[ \frac{2401}{12} - \left( \frac{518.616}{3} - 77.7924 \right) \right]
P(X > 4.2) = \frac{12}{2401} \left[ 200.08333 - (172.872 - 77.7924) \right]
P(X > 4.2) = \frac{12}{2401} \left[ 200.08333 - 95.0796 \right]
P(X > 4.2) = \frac{12}{2401} \left[ 105.00373 \right]
P(X > 4.2) \approx 0.52502 \\

Do câu hỏi không cung cấp các lựa chọn đáp án để đánh giá `answer_iscorrect`, nên ta sẽ bỏ qua phần này và tập trung vào việc giải thích chi tiết.

Câu 5:

Năm 2021, trước khi thực hiện giãn cách xã hội theo Chỉ thị 16 của Thủ tướng Chính phủ, số đơn hàng trung bình mỗi shipper đồ ăn giao cho khách hàng ngày là 20 đơn. Sau khi thực hiện giãn cách, nhiều quán ăn đóng cửa, cũng không bán online, sự gia nhập của shipper mới nhiều, số đơn hàng bị chia lẻ cho nhiều người. Nghi ngờ số đơn hàng đồ ăn trung bình hàng ngày của mỗi shipper đồ ăn sẽ giảm đi, thực hiện quan sát một nhóm shipper thu được dữ liệu sau:

Số đơn hàng mỗi ngày 8-10 10-12 12-14 14-16 16-18 18-20
Số shipper 10 20 8 10 8 2

Giả sử số đơn hàng mỗi ngày của mỗi shipper tuân theo phân phối chuẩn.

a/ Tìm ước lượng tối đa cho số đơn hàng trung bình mỗi ngày của mỗi shipper sau khi thực hiện giãn cách với độ tin cậy 99%.

b/ Kiểm định nghi ngờ trên với mức ý nghĩa 5%.

Lời giải:
Câu hỏi yêu cầu thực hiện hai phần: (a) ước lượng khoảng tin cậy cho số đơn hàng trung bình và (b) kiểm định giả thuyết về số đơn hàng trung bình. Dữ liệu được cung cấp dưới dạng bảng tần số ghép nhóm, cho biết số đơn hàng mỗi ngày của mỗi shipper. Chúng ta cần giả định rằng số đơn hàng tuân theo phân phối chuẩn.

Phần a: Ước lượng khoảng tin cậy tối đa

Đầu tiên, chúng ta cần tính toán các tham số thống kê từ dữ liệu mẫu.

- Xác định điểm giữa của mỗi khoảng: 9, 11, 13, 15, 17, 19.
- Tính tần số:
- 8-10: 10
- 10-12: 20
- 12-14: 8
- 14-16: 10
- 16-18: 8
- 18-20: 2
- Tổng số quan sát (n) = 10 + 20 + 8 + 10 + 8 + 2 = 58.
- Tính trung bình mẫu (x̄):
x̄ = (9*10 + 11*20 + 13*8 + 15*10 + 17*8 + 19*2) / 58
x̄ = (90 + 220 + 104 + 150 + 136 + 38) / 58
x̄ = 738 / 58 ≈ 12.724
- Tính phương sai mẫu hiệu chỉnh (s²):
s² = [Σ(f_i * x_i²) - (Σ(f_i * x_i))²/n] / (n-1)
Σ(f_i * x_i²) = 9²*10 + 11²*20 + 13²*8 + 15²*10 + 17²*8 + 19²*2
= 81*10 + 121*20 + 169*8 + 225*10 + 289*8 + 361*2
= 810 + 2420 + 1352 + 2250 + 2312 + 722
= 9866
s² = [9866 - (738)²/58] / (58-1)
s² = [9866 - 544644/58] / 57
s² = [9866 - 9390.41] / 57
s² = 475.59 / 57 ≈ 8.344
- Độ lệch chuẩn mẫu hiệu chỉnh (s) = √8.344 ≈ 2.889

Vì cỡ mẫu lớn (n=58 > 30) và chúng ta không biết độ lệch chuẩn tổng thể (σ), chúng ta sẽ sử dụng phân phối Z hoặc t. Với n lớn, phân phối Z là phù hợp hoặc có thể sử dụng phân phối t với độ tự do df = n-1 = 57.

Với độ tin cậy 99% (α = 0.01), chúng ta cần tìm giá trị tới hạn. Câu hỏi yêu cầu ước lượng tối đa, nghĩa là chúng ta đang xây dựng khoảng tin cậy một phía (upper confidence bound).

- Sử dụng phân phối Z: z_(α) = z_0.01. Tuy nhiên, khi ước lượng tối đa, chúng ta dùng z_(1-α) hoặc z_(α/2) tùy thuộc vào cách thiết lập khoảng. Đối với khoảng tin cậy một phía trên, chúng ta dùng giá trị z tại mức ý nghĩa α.
z_(0.01) ≈ 2.326. (Do chúng ta ước lượng khoảng trên, nên ta xem xét phần đuôi bên phải của phân phối).
- Sai số chuẩn của trung bình mẫu (SE) = s / √n = 2.889 / √58 ≈ 2.889 / 7.616 ≈ 0.379
- Khoảng tin cậy tối đa cho trung bình tổng thể (μ) là: x̄ + z_(α) * SE
UB = 12.724 + 2.326 * 0.379
UB ≈ 12.724 + 0.881 ≈ 13.605

Nếu sử dụng phân phối t với df=57 và α=0.01 (khoảng tin cậy một phía trên), ta tìm t_(0.01, 57). Giá trị này xấp xỉ 2.390 (tra bảng t hoặc dùng phần mềm).
UB = x̄ + t_(α, df) * SE
UB = 12.724 + 2.390 * 0.379
UB ≈ 12.724 + 0.906 ≈ 13.630

Do câu hỏi không chỉ rõ sử dụng Z hay t, và với cỡ mẫu lớn, hai cách cho kết quả tương tự. Ta chọn giá trị dựa trên t vì nó chính xác hơn khi phương sai tổng thể không biết.

Phần b: Kiểm định giả thuyết

- Nghi ngờ ban đầu: Số đơn hàng trung bình sẽ giảm đi so với 20 đơn trước giãn cách.
- Giả thuyết không (H0): Số đơn hàng trung bình sau giãn cách lớn hơn hoặc bằng 20 (μ ≥ 20).
- Giả thuyết đối (H1): Số đơn hàng trung bình sau giãn cách nhỏ hơn 20 (μ < 20).

Đây là kiểm định giả thuyết một phía (bên trái).

- Mức ý nghĩa α = 5% = 0.05.
- Chúng ta có thể sử dụng giá trị trung bình mẫu tính được ở phần a (x̄ ≈ 12.724) và độ lệch chuẩn mẫu (s ≈ 2.889).
- Vì H0 là μ ≥ 20, chúng ta cần tính điểm thống kê kiểm định t (hoặc Z nếu coi là xấp xỉ).
t = (x̄ - μ₀) / (s / √n)
Ở đây, μ₀ là giá trị từ giả thuyết không, nhưng để tính điểm thống kê, ta thường dùng giá trị biên của H0, tức là μ₀ = 20.
t = (12.724 - 20) / (2.889 / √58)
t = -7.276 / 0.379
t ≈ -19.20

- Giá trị tới hạn cho kiểm định một phía bên trái với α=0.05 và df=57: t_(0.05, 57). Tra bảng t, giá trị này là khoảng -1.671.
- Quy tắc quyết định: Nếu t tính toán < t tới hạn, bác bỏ H0.
-19.20 < -1.671. Do đó, chúng ta bác bỏ giả thuyết không.

- Kết luận: Với mức ý nghĩa 5%, có đủ bằng chứng thống kê để kết luận rằng số đơn hàng trung bình mỗi ngày của mỗi shipper đã giảm xuống dưới 20.

Câu 6:

Bệnh viện A thực hiện thống kê về số ca tử vong do Covid-19 của nhóm người 50 đến 60 tuổi vào tháng 7/2021 . Với nhóm người không tiêm vacxin thì trong 1000 ca mắc Covid-19 có 200 ca tử vong. Trong khi đó với nhóm người có tiêm vacxin X thì 1400 ca mắc Covid-19 có 100 ca tử vong.

a/ Hãy kiểm định xem tỉ lệ tử vong khi mắc Covid-19 của nhóm không tiêm vacxin có cao hơn nhóm tiêm vacxin không với mức ý nghĩa 1%?

b/ Nếu muốn tìm khoảng ước lượng đối xứng cho tỉ lệ tử vong khi mắc Covid-19 ở nhóm có tiêm vacxin với sai số là 0.014936174 thì độ tin cậy là bao nhiêu?

Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP

Câu 7:

Gọi X số giờ một sinh viên tự học môn Xác suất thống kê (ngoài thời gian học chính thức trên lớp do giảng viên giảng dạy). Y là điểm số trung bình sinh viên đạt được cho môn học này. Quan sát số giờ tự học và điểm trung bình của một số sinh viên ta được bảng sau:

X (giờ) 27 30 30 33 33 39 42 45 45
Y 5 6 6 8 7 7 8 9 10

Dựa vào số liệu này có thể dự đoán được điểm số trung bình của một sinh viên qua số giờ tự học bằng hàm hồi quy tuyến tính thực nghiệm được hay không? Nếu được, hãy viết hàm hồi quy tuyến tính thực nghiệm này.
 

Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP

Câu 8:

Gọi X số giờ một sinh viên tự học môn Xác suất thống kê (ngoài thời gian học chính thức trên lớp do giảng viên giảng dạy). Y là điểm số trung bình sinh viên đạt được cho môn học này. Quan sát số giờ tự học và điểm trung bình của một số sinh viên ta được bảng sau:

X (giờ) 27 30 30 33 33 39 42 45 45
Y 5 6 6 8 7 7 8 9 10

Dựa vào số liệu này có thể dự đoán được điểm số trung bình của một sinh viên qua số giờ tự học bằng hàm hồi quy tuyến tính thực nghiệm được hay không? Nếu được, hãy viết hàm hồi quy tuyến tính thực nghiệm này.
 

Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP