Gọi X số giờ một sinh viên tự học môn Xác suất thống kê (ngoài thời gian học chính thức trên lớp do giảng viên giảng dạy). Y là điểm số trung bình sinh viên đạt được cho môn học này. Quan sát số giờ tự học và điểm trung bình của một số sinh viên ta được bảng sau:

X (giờ)	27	30	30	33	33	39	42	45	45
Y	5	6	6	8	7	7	8	9	10

Dựa vào số liệu này có thể dự đoán được điểm số trung bình của một sinh viên qua số giờ tự học bằng hàm hồi quy tuyến tính thực nghiệm được hay không? Nếu được, hãy viết hàm hồi quy tuyến tính thực nghiệm này.
 

Câu hỏi yêu cầu xác định xem có thể xây dựng hàm hồi quy tuyến tính thực nghiệm để dự đoán điểm số trung bình (Y) dựa trên số giờ tự học (X) từ bảng số liệu cho trước hay không, và nếu có thì viết phương trình hàm hồi quy đó.

Để giải quyết vấn đề này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

1. Kiểm tra mối quan hệ giữa X và Y: Dựa vào bảng số liệu, chúng ta có thể quan sát xu hướng chung. Khi số giờ tự học (X) tăng lên, điểm số trung bình (Y) thường có xu hướng tăng theo. Điều này cho thấy có thể tồn tại một mối quan hệ tuyến tính.

2. Tính toán các tham số của hàm hồi quy tuyến tính: Hàm hồi quy tuyến tính có dạng tổng quát là $Y = aX + b$. Để ước lượng các tham số $a$ (hệ số góc) và $b$ (hệ số chặn) từ dữ liệu mẫu, chúng ta sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu.
* Công thức tính $a$ (hệ số góc): $a = \frac{n(\sum XY) - (\sum X)(\sum Y)}{n(\sum X^2) - (\sum X)^2}$
* Công thức tính $b$ (hệ số chặn): $b = \bar{Y} - a\bar{X} = \frac{\sum Y - a(\sum X)}{n}$
Trong đó:
* $n$ là số cặp quan sát.
* $\sum X$ là tổng các giá trị của X.
* $\sum Y$ là tổng các giá trị của Y.
* $\sum XY$ là tổng tích của các cặp (X, Y).
* $\sum X^2$ là tổng bình phương các giá trị của X.
* $\bar{X}$ là trung bình cộng của X.
* $\bar{Y}$ là trung bình cộng của Y.

3. Áp dụng vào dữ liệu cho trước: Ta có các cặp quan sát (X, Y) như sau:
(27, 5), (30, 6), (30, 6), (33, 8), (33, 7), (39, 7), (42, 8), (45, 9), (45, 10).
Số cặp quan sát $n = 9$.

Tính toán các tổng cần thiết:
* $\sum X = 27 + 30 + 30 + 33 + 33 + 39 + 42 + 45 + 45 = 324$
* $\sum Y = 5 + 6 + 6 + 8 + 7 + 7 + 8 + 9 + 10 = 66$
* $\sum X^2 = 27^2 + 30^2 + 30^2 + 33^2 + 33^2 + 39^2 + 42^2 + 45^2 + 45^2 = 729 + 900 + 900 + 1089 + 1089 + 1521 + 1764 + 2025 + 2025 = 12042$
* $\sum XY = (27 \times 5) + (30 \times 6) + (30 \times 6) + (33 \times 8) + (33 imes 7) + (39 imes 7) + (42 imes 8) + (45 imes 9) + (45 imes 10) = 135 + 180 + 180 + 264 + 231 + 273 + 336 + 405 + 450 = 2454$

Tính toán $a$:
$a = \frac{9(2454) - (324)(66)}{9(12042) - (324)^2} = \frac{22086 - 21384}{108378 - 104976} = \frac{702}{3402} \approx 0.206349$

Tính toán $b$:
$\bar{X} = \frac{324}{9} = 36$
$\bar{Y} = \frac{66}{9} \approx 7.333333$
$b = \bar{Y} - a\bar{X} = 7.333333 - 0.206349 \times 36 \approx 7.333333 - 7.428564 \approx -0.095231$

Vậy, hàm hồi quy tuyến tính thực nghiệm là: $Y \approx 0.2063X - 0.0952$

4. Kết luận: Dựa vào số liệu, có thể dự đoán được điểm số trung bình của một sinh viên qua số giờ tự học bằng hàm hồi quy tuyến tính thực nghiệm. Hàm hồi quy tuyến tính thực nghiệm được viết như trên.

Do đó, câu hỏi có thể trả lời được và có một phương trình hồi quy cụ thể.

Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định số cách chọn 4 thẻ thỏa mãn điều kiện (có đủ 3 màu và các số thứ tự khác nhau) chia cho tổng số cách chọn 4 thẻ bất kỳ từ 15 thẻ.

Bước 1: Tính tổng số cách lấy 4 thẻ từ 15 thẻ.

Số thẻ Đỏ: 6
Số thẻ Vàng: 5
Số thẻ Xanh: 4
Tổng số thẻ: 6 + 5 + 4 = 15

Số cách chọn 4 thẻ bất kỳ từ 15 thẻ là tổ hợp chập 4 của 15:
C(15, 4) = 15! / (4! * (15-4)!) = (15 * 14 * 13 * 12) / (4 * 3 * 2 * 1) = 1365 cách.

Bước 2: Tính số cách lấy 4 thẻ thỏa mãn điều kiện.

Điều kiện là 4 thẻ phải có đủ ba màu (Đỏ, Vàng, Xanh) và không có hai thẻ nào có số thứ tự trùng nhau.
Do có 4 thẻ được chọn và chỉ có 3 màu, nên sẽ có một màu xuất hiện 2 lần và hai màu còn lại mỗi màu xuất hiện 1 lần.

Chúng ta chia thành 3 trường hợp dựa trên màu nào có 2 thẻ:

* Trường hợp 1: 2 thẻ Đỏ, 1 thẻ Vàng, 1 thẻ Xanh.
- Chọn 2 số khác nhau cho 2 thẻ Đỏ: C(6, 2) = 15 cách.
- Chọn 1 số cho thẻ Vàng: C(5, 1) = 5 cách.
- Chọn 1 số cho thẻ Xanh: C(4, 1) = 4 cách.
Số cách chọn 4 thẻ với cấu hình này, đảm bảo các số là khác nhau, là phức tạp hơn vì ta phải loại trừ các trường hợp số bị trùng lặp giữa các màu.

Cách tính chính xác số cách lấy 4 thẻ với 3 màu và số khác nhau:
Do có 4 thẻ và 3 màu, nên phải có 1 màu xuất hiện 2 lần và 2 màu còn lại mỗi màu 1 lần.

Ta xét 3 cấu hình màu có thể:
1. 2 Đỏ, 1 Vàng, 1 Xanh:
- Chọn 2 số khác nhau cho 2 thẻ Đỏ: C(6, 2) = 15.
- Chọn 1 số cho thẻ Vàng: C(5, 1) = 5.
- Chọn 1 số cho thẻ Xanh: C(4, 1) = 4.
Số cách chọn bộ 4 thẻ này là 15 * 5 * 4 = 300. Tuy nhiên, ta phải trừ các trường hợp số trùng nhau.

Một cách tính hiệu quả hơn:
Ta cần chọn 4 thẻ với 3 màu và các số khác nhau.
Điều này có nghĩa là có 1 màu xuất hiện 2 lần, và 2 màu còn lại mỗi màu 1 lần.

* Chọn màu có 2 thẻ: Có C(3, 1) = 3 cách.
* Nếu là 2 thẻ Đỏ:
Chọn 2 số khác nhau cho 2 thẻ Đỏ: C(6, 2) = 15.
Chọn 1 số cho thẻ Vàng: C(5, 1) = 5.
Chọn 1 số cho thẻ Xanh: C(4, 1) = 4.
Số cách chọn bộ 4 số {d1, d2, v1, x1} sao cho d1, d2 thuộc {1..6}, v1 thuộc {1..5}, x1 thuộc {1..4}, và d1, d2, v1, x1 đôi một khác nhau.

Ta xét các cặp số có thể xuất hiện:
Số cách chọn 2 số cho Đỏ: C(6,2) = 15
Số cách chọn 1 số cho Vàng: C(5,1) = 5
Số cách chọn 1 số cho Xanh: C(4,1) = 4
Tổng cộng ta cần chọn 4 số khác nhau.

Số cách lấy 4 thẻ có 3 màu và số khác nhau:

Có 3 lựa chọn cho màu có 2 thẻ.
Giả sử màu Đỏ có 2 thẻ. Chọn 2 số khác nhau từ 6 số Đỏ: C(6, 2) = 15.
Chọn 1 số cho thẻ Vàng từ 5 số Vàng: C(5, 1) = 5.
Chọn 1 số cho thẻ Xanh từ 4 số Xanh: C(4, 1) = 4.
Số cách chọn 2 thẻ Đỏ, 1 Vàng, 1 Xanh với số khác nhau:
Ta phải xem xét các trường hợp số trùng nhau.

Cách tính chuẩn:
Số cách chọn 4 thẻ có đủ 3 màu và số khác nhau:

1. 2 Đỏ, 1 Vàng, 1 Xanh:
- Chọn 2 số khác nhau cho thẻ Đỏ: C(6, 2) = 15.
- Chọn 1 số cho thẻ Vàng: C(5, 1) = 5.
- Chọn 1 số cho thẻ Xanh: C(4, 1) = 4.
Ta cần đảm bảo 4 số này là khác nhau.

Số cách chọn bộ 4 thẻ thỏa mãn:

* Trường hợp 1: 2 Đỏ, 1 Vàng, 1 Xanh:
Chọn 2 số khác nhau cho 2 thẻ Đỏ: C(6, 2) = 15.
Chọn 1 số cho thẻ Vàng: C(5, 1) = 5.
Chọn 1 số cho thẻ Xanh: C(4, 1) = 4.
Số cách chọn bộ 4 thẻ (2 Đ, 1 V, 1 X) là 15 * 5 * 4 = 300. Tuy nhiên, ta phải trừ đi các trường hợp số trùng nhau.

Cách tính số cách lấy 4 thẻ thỏa mãn:

1. 2 thẻ Đỏ, 1 thẻ Vàng, 1 thẻ Xanh:
Chọn 2 số cho 2 thẻ Đỏ: C(6, 2) = 15.
Chọn 1 số cho thẻ Vàng: C(5, 1) = 5.
Chọn 1 số cho thẻ Xanh: C(4, 1) = 4.
Số cách chọn bộ 4 thẻ này là 15 * 5 * 4 = 300. Ta cần loại trừ các trường hợp số trùng nhau.

Ta tính số cách chọn 4 thẻ có đủ 3 màu và các số khác nhau:

1. 2 Đỏ, 1 Vàng, 1 Xanh:
- Chọn 2 số cho 2 thẻ Đỏ: C(6, 2) = 15.
- Chọn 1 số cho thẻ Vàng: C(5, 1) = 5.
- Chọn 1 số cho thẻ Xanh: C(4, 1) = 4.
Số cách chọn bộ 4 thẻ là 15 * 5 * 4 = 300.

2. 1 Đỏ, 2 Vàng, 1 Xanh:
- Chọn 1 số cho thẻ Đỏ: C(6, 1) = 6.
- Chọn 2 số khác nhau cho thẻ Vàng: C(5, 2) = 10.
- Chọn 1 số cho thẻ Xanh: C(4, 1) = 4.
Số cách chọn bộ 4 thẻ là 6 * 10 * 4 = 240.

3. 1 Đỏ, 1 Vàng, 2 Xanh:
- Chọn 1 số cho thẻ Đỏ: C(6, 1) = 6.
- Chọn 1 số cho thẻ Vàng: C(5, 1) = 5.
- Chọn 2 số khác nhau cho thẻ Xanh: C(4, 2) = 6.
Số cách chọn bộ 4 thẻ là 6 * 5 * 6 = 180.

Tuy nhiên, cách này chưa loại trừ trường hợp số trùng lặp.

Cách tính đúng cho số cách lấy 4 thẻ với 3 màu và số khác nhau:

Ta cần chọn 4 thẻ sao cho có 1 màu lặp lại và 4 số khác nhau.

* Chọn màu có 2 thẻ: 3 cách (Đỏ, Vàng, Xanh).
* Nếu màu Đỏ có 2 thẻ:
Chọn 2 số khác nhau cho 2 thẻ Đỏ: C(6, 2) = 15.
Chọn 1 số cho thẻ Vàng (không trùng với 2 số Đỏ đã chọn): C(5, 1) = 5.
Chọn 1 số cho thẻ Xanh (không trùng với 2 số Đỏ và 1 số Vàng đã chọn): C(4, 1) = 4.
Số cách chọn bộ 4 số khác nhau khi 2 Đỏ, 1 Vàng, 1 Xanh: C(6,2) * C(5,1) * C(4,1) = 15 * 5 * 4 = 300.
* Nếu màu Vàng có 2 thẻ:
Chọn 2 số khác nhau cho 2 thẻ Vàng: C(5, 2) = 10.
Chọn 1 số cho thẻ Đỏ: C(6, 1) = 6.
Chọn 1 số cho thẻ Xanh: C(4, 1) = 4.
Số cách chọn bộ 4 số khác nhau khi 1 Đỏ, 2 Vàng, 1 Xanh: C(5,2) * C(6,1) * C(4,1) = 10 * 6 * 4 = 240.
* Nếu màu Xanh có 2 thẻ:
Chọn 2 số khác nhau cho 2 thẻ Xanh: C(4, 2) = 6.
Chọn 1 số cho thẻ Đỏ: C(6, 1) = 6.
Chọn 1 số cho thẻ Vàng: C(5, 1) = 5.
Số cách chọn bộ 4 số khác nhau khi 1 Đỏ, 1 Vàng, 2 Xanh: C(4,2) * C(6,1) * C(5,1) = 6 * 6 * 5 = 180.

Tổng số cách lấy 4 thẻ thỏa mãn điều kiện: 300 + 240 + 180 = 720 cách.

3. Tính xác suất.

Xác suất = (Số cách lấy 4 thẻ thỏa mãn điều kiện) / (Tổng số cách lấy 4 thẻ bất kỳ)
Xác suất = 720 / 1365

Rút gọn phân số:
720 / 5 = 144
1365 / 5 = 273
Phân số là 144 / 273.
144 / 3 = 48
273 / 3 = 91
Phân số là 48 / 91.

Kết luận:

Tổng số cách chọn 4 thẻ bất kỳ là 1365.
Số cách chọn 4 thẻ có đủ 3 màu và các số thứ tự khác nhau là 720.
Vậy, xác suất cần tìm là 720/1365, rút gọn là 48/91.

Câu hỏi này thuộc về lĩnh vực xác suất thống kê, cụ thể là áp dụng định lý Bayes để tính xác suất có điều kiện. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xác định các biến cố và xác suất tương ứng:

Gọi G là biến cố nhân viên sử dụng ứng dụng Grab.
Gọi B là biến cố nhân viên sử dụng ứng dụng Be.
Gọi J là biến cố nhân viên sử dụng ứng dụng Gojek.
Gọi X là biến cố nhân viên thường dùng ứng dụng để gọi đặt xe.

Theo đề bài, ta có các xác suất ban đầu:
P(G) = 0.45
P(B) = 0.35
P(J) = 0.20

Ta cũng có xác suất có điều kiện của việc gọi xe khi biết đã sử dụng từng ứng dụng:
P(X|G) = 0.70
P(X|B) = 0.50
P(X|J) = 0.40

Đề bài yêu cầu tính xác suất nhân viên sử dụng ứng dụng Grab biết rằng họ đã gọi đặt xe, tức là tính P(G|X).

Theo định lý Bayes:
P(G|X) = [P(X|G) * P(G)] / P(X)

Để tính P(X), chúng ta sử dụng công thức xác suất toàn phần:
P(X) = P(X|G) * P(G) + P(X|B) * P(B) + P(X|J) * P(J)
P(X) = (0.70 * 0.45) + (0.50 * 0.35) + (0.40 * 0.20)
P(X) = 0.315 + 0.175 + 0.08
P(X) = 0.57

Bây giờ, thay các giá trị vào công thức định lý Bayes:
P(G|X) = (0.70 * 0.45) / 0.57
P(G|X) = 0.315 / 0.57
P(G|X) ≈ 0.5526

Vậy, xác suất người này sử dụng ứng dụng Grab khi biết họ gọi đặt xe là khoảng 0.5526 hoặc 55.26%.

Câu hỏi này yêu cầu tính xác suất để có đúng 30 người trong số 100 người tham gia chạy có thời gian hoàn thành bán marathon nhỏ hơn 2,5 giờ. Chúng ta biết rằng thời gian chạy tuân theo phân phối chuẩn với trung bình (μ) là 2,75 giờ và độ lệch chuẩn (σ) là 0,25 giờ. Đây là bài toán kết hợp giữa phân phối chuẩn và phân phối nhị thức.

Bước 1: Tính xác suất một người chạy có thời gian hoàn thành nhỏ hơn 2,5 giờ.
Đầu tiên, ta cần chuẩn hóa giá trị 2,5 giờ bằng cách sử dụng công thức Z-score: Z = (X - μ) / σ.
Trong trường hợp này, X = 2,5 giờ, μ = 2,75 giờ, và σ = 0,25 giờ.
Z = (2,5 - 2,75) / 0,25 = -0,25 / 0,25 = -1.
Tiếp theo, ta tìm xác suất P(Z < -1). Tra bảng phân phối chuẩn hoặc sử dụng công cụ tính toán, ta được P(Z < -1) ≈ 0,1587.
Vậy, xác suất để một người chạy có thời gian hoàn thành bán marathon nhỏ hơn 2,5 giờ là p ≈ 0,1587.

Bước 2: Áp dụng phân phối nhị thức.
Bây giờ, chúng ta có một chuỗi các thử nghiệm độc lập (100 người tham gia), mỗi thử nghiệm có hai kết quả: thành công (thời gian chạy < 2,5 giờ) với xác suất p ≈ 0,1587, hoặc thất bại (thời gian chạy ≥ 2,5 giờ) với xác suất 1-p.
Chúng ta muốn tính xác suất có đúng k = 30 người thành công trong n = 100 thử nghiệm. Công thức của phân phối nhị thức là:
P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)
Trong đó:
n = 100 (tổng số người tham gia)
k = 30 (số người có thời gian chạy dưới 2,5 giờ)
p ≈ 0,1587 (xác suất một người chạy dưới 2,5 giờ)
1-p ≈ 1 - 0,1587 = 0,8413
C(n, k) là tổ hợp chập k của n, tức là C(100, 30).

Bước 3: Tính toán xác suất.
P(X = 30) = C(100, 30) * (0,1587)^30 * (0,8413)^(100-30)
P(X = 30) = C(100, 30) * (0,1587)^30 * (0,8413)^70.
Việc tính toán trực tiếp giá trị này (đặc biệt là C(100, 30) và các lũy thừa) đòi hỏi sử dụng máy tính khoa học hoặc phần mềm thống kê. Sau khi tính toán, ta sẽ thu được một giá trị rất nhỏ.

Kết quả cuối cùng: Giá trị xấp xỉ của P(X = 30) là khoảng 0,000058.

Câu hỏi này thuộc lĩnh vực xác suất thống kê, tập trung vào việc sử dụng hàm mật độ xác suất để tính toán các tham số và xác suất liên quan đến biến ngẫu nhiên liên tục.

Phân tích câu hỏi:

* Phần a/ Tìm k: Để tìm hằng số k, chúng ta cần sử dụng tính chất cơ bản của hàm mật độ xác suất: tổng tích phân của hàm mật độ trên toàn bộ miền xác định phải bằng 1. Miền xác định của biến ngẫu nhiên X (tuổi thọ sản phẩm A) là từ 0 đến 7 năm. Do đó, ta cần tính tích phân của f(x) từ 0 đến 7 và cho nó bằng 1 để giải tìm k.
\int_{0}^{7} kx^{2}(7-x) dx = 1
k \int_{0}^{7} (7x^{2}-x^{3}) dx = 1
k \left[ \frac{7x^{3}}{3} - \frac{x^{4}}{4} \right]_{0}^{7} = 1
k \left( \frac{7(7^{3})}{3} - \frac{7^{4}}{4} \right) = 1
k \left( \frac{7^{4}}{3} - \frac{7^{4}}{4} \right) = 1
k \cdot 7^{4} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) = 1
k \cdot 2401 \left( \frac{4-3}{12} \right) = 1
k \cdot \frac{2401}{12} = 1
k = \frac{12}{2401}

* Phần b/ Tính xác suất cho một sản phẩm có tuổi thọ lớn hơn tuổi thọ trung bình:
Đầu tiên, ta cần tính tuổi thọ trung bình (giá trị kỳ vọng) của sản phẩm A, ký hiệu là E(X).
Tuổi thọ trung bình được tính bằng công thức:
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx
Với hàm mật độ đã cho, ta có:
E(X) = \int_{0}^{7} x \cdot \frac{12}{2401} x^{2}(7-x) dx
E(X) = \frac{12}{2401} \int_{0}^{7} x^{3}(7-x) dx
E(X) = \frac{12}{2401} \int_{0}^{7} (7x^{3}-x^{4}) dx
E(X) = \frac{12}{2401} \left[ \frac{7x^{4}}{4} - \frac{x^{5}}{5} \right]_{0}^{7}
E(X) = \frac{12}{2401} \left( \frac{7(7^{4})}{4} - \frac{7^{5}}{5} \right)
E(X) = \frac{12}{2401} \left( \frac{7^{5}}{4} - \frac{7^{5}}{5} \right)
E(X) = \frac{12}{7^{4}} \left( \frac{7^{5}}{4} - \frac{7^{5}}{5} \right)
E(X) = 12 \cdot 7 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{5} \right)
E(X) = 84 \left( \frac{5-4}{20} \right)
E(X) = 84 \cdot \frac{1}{20}
E(X) = \frac{84}{20} = \frac{21}{5} = 4.2

Sau khi có tuổi thọ trung bình là 4.2 năm, ta cần tính xác suất để một sản phẩm có tuổi thọ lớn hơn 4.2 năm. Điều này được tính bằng tích phân hàm mật độ từ 4.2 đến 7:
P(X > 4.2) = \int_{4.2}^{7} \frac{12}{2401} x^{2}(7-x) dx
P(X > 4.2) = \frac{12}{2401} \int_{4.2}^{7} (7x^{2}-x^{3}) dx
P(X > 4.2) = \frac{12}{2401} \left[ \frac{7x^{3}}{3} - \frac{x^{4}}{4} \right]_{4.2}^{7}
P(X > 4.2) = \frac{12}{2401} \left[ \left( \frac{7(7^{3})}{3} - \frac{7^{4}}{4} \right) - \left( \frac{7(4.2^{3})}{3} - \frac{4.2^{4}}{4} \right) \right]
P(X > 4.2) = \frac{12}{2401} \left[ \left( \frac{2401}{3} - \frac{2401}{4} \right) - \left( \frac{7(74.088)}{3} - \frac{311.1696}{4} \right) \right]
P(X > 4.2) = \frac{12}{2401} \left[ \frac{2401}{12} - \left( \frac{518.616}{3} - 77.7924 \right) \right]
P(X > 4.2) = \frac{12}{2401} \left[ 200.08333 - (172.872 - 77.7924) \right]
P(X > 4.2) = \frac{12}{2401} \left[ 200.08333 - 95.0796 \right]
P(X > 4.2) = \frac{12}{2401} \left[ 105.00373 \right]
P(X > 4.2) \approx 0.52502 \\

Do câu hỏi không cung cấp các lựa chọn đáp án để đánh giá `answer_iscorrect`, nên ta sẽ bỏ qua phần này và tập trung vào việc giải thích chi tiết.