JavaScript is required

Thời gian chạy bán marathon (half marathon) cho quãng đường 21.1 km là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với thời gian chạy trung bình là 2,75 giờ, độ lệch chuẩn là 0,25 giờ. Trong 100 người tham gia chạy, hãy tính xác suất có 30 người có thời gian chạy nhỏ hơn 2,5 giờ.

Trả lời:

Đáp án đúng:


Câu hỏi này yêu cầu tính xác suất để có đúng 30 người trong số 100 người tham gia chạy có thời gian hoàn thành bán marathon nhỏ hơn 2,5 giờ. Chúng ta biết rằng thời gian chạy tuân theo phân phối chuẩn với trung bình (μ) là 2,75 giờ và độ lệch chuẩn (σ) là 0,25 giờ. Đây là bài toán kết hợp giữa phân phối chuẩn và phân phối nhị thức. Bước 1: Tính xác suất một người chạy có thời gian hoàn thành nhỏ hơn 2,5 giờ. Đầu tiên, ta cần chuẩn hóa giá trị 2,5 giờ bằng cách sử dụng công thức Z-score: Z = (X - μ) / σ. Trong trường hợp này, X = 2,5 giờ, μ = 2,75 giờ, và σ = 0,25 giờ. Z = (2,5 - 2,75) / 0,25 = -0,25 / 0,25 = -1. Tiếp theo, ta tìm xác suất P(Z < -1). Tra bảng phân phối chuẩn hoặc sử dụng công cụ tính toán, ta được P(Z < -1) ≈ 0,1587. Vậy, xác suất để một người chạy có thời gian hoàn thành bán marathon nhỏ hơn 2,5 giờ là p ≈ 0,1587. Bước 2: Áp dụng phân phối nhị thức. Bây giờ, chúng ta có một chuỗi các thử nghiệm độc lập (100 người tham gia), mỗi thử nghiệm có hai kết quả: thành công (thời gian chạy < 2,5 giờ) với xác suất p ≈ 0,1587, hoặc thất bại (thời gian chạy ≥ 2,5 giờ) với xác suất 1-p. Chúng ta muốn tính xác suất có đúng k = 30 người thành công trong n = 100 thử nghiệm. Công thức của phân phối nhị thức là: P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k) Trong đó: n = 100 (tổng số người tham gia) k = 30 (số người có thời gian chạy dưới 2,5 giờ) p ≈ 0,1587 (xác suất một người chạy dưới 2,5 giờ) 1-p ≈ 1 - 0,1587 = 0,8413 C(n, k) là tổ hợp chập k của n, tức là C(100, 30). Bước 3: Tính toán xác suất. P(X = 30) = C(100, 30) * (0,1587)^30 * (0,8413)^(100-30) P(X = 30) = C(100, 30) * (0,1587)^30 * (0,8413)^70. Việc tính toán trực tiếp giá trị này (đặc biệt là C(100, 30) và các lũy thừa) đòi hỏi sử dụng máy tính khoa học hoặc phần mềm thống kê. Sau khi tính toán, ta sẽ thu được một giá trị rất nhỏ. Kết quả cuối cùng: Giá trị xấp xỉ của P(X = 30) là khoảng 0,000058.

Đề thi cuối kỳ môn Xác suất thống kê ứng dụng (MATH132901) dành cho sinh viên Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM, bao gồm các bài toán về tính xác suất, phân phối xác suất, ước lượng thống kê và kiểm định giả thuyết.


8 câu hỏi 90 phút

Câu hỏi liên quan