Gọi X là tuổi thọ (đơn vị: năm) của sản phẩm A. Một nghiên cứu cho biết hàm mật độ của
\[ f(x) = \begin{cases} kx^{2}(7-x), & 0 \leq x \leq 7, \\[6pt] 0, & x < 0 \;\; \text{hoặc} \;\; x > 7. \end{cases} \]
a/ Tìm k
b/ Tính xác suất cho một sản phẩm có tuổi thọ lớn hơn tuổi thọ trung bình.
Trả lời:
Đáp án đúng:
Câu hỏi này thuộc lĩnh vực xác suất thống kê, tập trung vào việc sử dụng hàm mật độ xác suất để tính toán các tham số và xác suất liên quan đến biến ngẫu nhiên liên tục.
**Phân tích câu hỏi:**
* **Phần a/ Tìm k:** Để tìm hằng số k, chúng ta cần sử dụng tính chất cơ bản của hàm mật độ xác suất: tổng tích phân của hàm mật độ trên toàn bộ miền xác định phải bằng 1. Miền xác định của biến ngẫu nhiên X (tuổi thọ sản phẩm A) là từ 0 đến 7 năm. Do đó, ta cần tính tích phân của f(x) từ 0 đến 7 và cho nó bằng 1 để giải tìm k.
\int_{0}^{7} kx^{2}(7-x) dx = 1
k \int_{0}^{7} (7x^{2}-x^{3}) dx = 1
k \left[ \frac{7x^{3}}{3} - \frac{x^{4}}{4} \right]_{0}^{7} = 1
k \left( \frac{7(7^{3})}{3} - \frac{7^{4}}{4} \right) = 1
k \left( \frac{7^{4}}{3} - \frac{7^{4}}{4} \right) = 1
k \cdot 7^{4} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) = 1
k \cdot 2401 \left( \frac{4-3}{12} \right) = 1
k \cdot \frac{2401}{12} = 1
k = \frac{12}{2401}
* **Phần b/ Tính xác suất cho một sản phẩm có tuổi thọ lớn hơn tuổi thọ trung bình:**
Đầu tiên, ta cần tính tuổi thọ trung bình (giá trị kỳ vọng) của sản phẩm A, ký hiệu là E(X).
Tuổi thọ trung bình được tính bằng công thức:
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx
Với hàm mật độ đã cho, ta có:
E(X) = \int_{0}^{7} x \cdot \frac{12}{2401} x^{2}(7-x) dx
E(X) = \frac{12}{2401} \int_{0}^{7} x^{3}(7-x) dx
E(X) = \frac{12}{2401} \int_{0}^{7} (7x^{3}-x^{4}) dx
E(X) = \frac{12}{2401} \left[ \frac{7x^{4}}{4} - \frac{x^{5}}{5} \right]_{0}^{7}
E(X) = \frac{12}{2401} \left( \frac{7(7^{4})}{4} - \frac{7^{5}}{5} \right)
E(X) = \frac{12}{2401} \left( \frac{7^{5}}{4} - \frac{7^{5}}{5} \right)
E(X) = \frac{12}{7^{4}} \left( \frac{7^{5}}{4} - \frac{7^{5}}{5} \right)
E(X) = 12 \cdot 7 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{5} \right)
E(X) = 84 \left( \frac{5-4}{20} \right)
E(X) = 84 \cdot \frac{1}{20}
E(X) = \frac{84}{20} = \frac{21}{5} = 4.2
Sau khi có tuổi thọ trung bình là 4.2 năm, ta cần tính xác suất để một sản phẩm có tuổi thọ lớn hơn 4.2 năm. Điều này được tính bằng tích phân hàm mật độ từ 4.2 đến 7:
P(X > 4.2) = \int_{4.2}^{7} \frac{12}{2401} x^{2}(7-x) dx
P(X > 4.2) = \frac{12}{2401} \int_{4.2}^{7} (7x^{2}-x^{3}) dx
P(X > 4.2) = \frac{12}{2401} \left[ \frac{7x^{3}}{3} - \frac{x^{4}}{4} \right]_{4.2}^{7}
P(X > 4.2) = \frac{12}{2401} \left[ \left( \frac{7(7^{3})}{3} - \frac{7^{4}}{4} \right) - \left( \frac{7(4.2^{3})}{3} - \frac{4.2^{4}}{4} \right) \right]
P(X > 4.2) = \frac{12}{2401} \left[ \left( \frac{2401}{3} - \frac{2401}{4} \right) - \left( \frac{7(74.088)}{3} - \frac{311.1696}{4} \right) \right]
P(X > 4.2) = \frac{12}{2401} \left[ \frac{2401}{12} - \left( \frac{518.616}{3} - 77.7924 \right) \right]
P(X > 4.2) = \frac{12}{2401} \left[ 200.08333 - (172.872 - 77.7924) \right]
P(X > 4.2) = \frac{12}{2401} \left[ 200.08333 - 95.0796 \right]
P(X > 4.2) = \frac{12}{2401} \left[ 105.00373 \right]
P(X > 4.2) \approx 0.52502 \\
Do câu hỏi không cung cấp các lựa chọn đáp án để đánh giá `answer_iscorrect`, nên ta sẽ bỏ qua phần này và tập trung vào việc giải thích chi tiết.
Đề thi cuối kỳ môn Xác suất thống kê ứng dụng (MATH132901) dành cho sinh viên Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM, bao gồm các bài toán về tính xác suất, phân phối xác suất, ước lượng thống kê và kiểm định giả thuyết.
8 câu hỏi 90 phút
