Năm 2021, trước khi thực hiện giãn cách xã hội theo Chỉ thị 16 của Thủ tướng Chính phủ, số đơn hàng trung bình mỗi shipper đồ ăn giao cho khách hàng ngày là 20 đơn. Sau khi thực hiện giãn cách, nhiều quán ăn đóng cửa, cũng không bán online, sự gia nhập của shipper mới nhiều, số đơn hàng bị chia lẻ cho nhiều người. Nghi ngờ số đơn hàng đồ ăn trung bình hàng ngày của mỗi shipper đồ ăn sẽ giảm đi, thực hiện quan sát một nhóm shipper thu được dữ liệu sau:

Số đơn hàng mỗi ngày	8-10	10-12	12-14	14-16	16-18	18-20
Số shipper	10	20	8	10	8	2

Giả sử số đơn hàng mỗi ngày của mỗi shipper tuân theo phân phối chuẩn.

a/ Tìm ước lượng tối đa cho số đơn hàng trung bình mỗi ngày của mỗi shipper sau khi thực hiện giãn cách với độ tin cậy 99%.

b/ Kiểm định nghi ngờ trên với mức ý nghĩa 5%.

Câu hỏi yêu cầu thực hiện hai phần:

Phần a: Kiểm định giả thuyết về sự khác biệt giữa hai tỷ lệ. Cụ thể là kiểm định xem tỷ lệ tử vong khi mắc Covid-19 của nhóm không tiêm vắc-xin có cao hơn nhóm có tiêm vắc-xin hay không với mức ý nghĩa 1%.

Để giải quyết phần này, chúng ta cần xác định các tham số:
- Nhóm 1 (không tiêm vắc-xin): n1 = 1000 ca mắc, x1 = 200 ca tử vong. Tỷ lệ mẫu p1_hat = x1/n1 = 200/1000 = 0.2.
- Nhóm 2 (có tiêm vắc-xin): n2 = 1400 ca mắc, x2 = 100 ca tử vong. Tỷ lệ mẫu p2_hat = x2/n2 = 100/1400 ≈ 0.0714.

Giả thuyết kiểm định:
- Giả thuyết không (H0): p1 <= p2 (Tỷ lệ tử vong của nhóm không tiêm vắc-xin không cao hơn nhóm có tiêm vắc-xin).
- Giả thuyết đối (H1): p1 > p2 (Tỷ lệ tử vong của nhóm không tiêm vắc-xin cao hơn nhóm có tiêm vắc-xin).

Mức ý nghĩa: alpha = 1% = 0.01.

Chúng ta sẽ sử dụng kiểm định Z cho hai tỷ lệ. Cần tính tỷ lệ gộp (pooled proportion) để ước lượng phương sai dưới giả thuyết không.

Phần b: Tìm khoảng ước lượng đối xứng cho tỷ lệ tử vong ở nhóm có tiêm vắc-xin với sai số cho trước. Điều này đòi hỏi việc tính toán độ tin cậy dựa trên sai số biên (margin of error) mong muốn.

Các tham số cho phần b:
- Tỷ lệ mẫu của nhóm có tiêm vắc-xin: p2_hat ≈ 0.0714.
- Sai số biên (E): 0.014936174.

Công thức tính sai số biên cho khoảng ước lượng tỷ lệ là: E = Z_(alpha/2) * sqrt(p_hat * (1 - p_hat) / n).

Trong trường hợp này, chúng ta đã có E, p_hat (p2_hat), và n (n2). Chúng ta cần tìm giá trị Z_(alpha/2) tương ứng với độ tin cậy.

Từ E = Z_(alpha/2) * sqrt(p2_hat * (1 - p2_hat) / n2), ta có thể giải phương trình để tìm Z_(alpha/2), sau đó suy ra alpha và độ tin cậy (1 - alpha).

Câu hỏi yêu cầu xác định xem có thể dự đoán điểm số trung bình (Y) của sinh viên dựa trên số giờ tự học (X) bằng hàm hồi quy tuyến tính hay không và nếu có thì viết hàm đó. Để làm được điều này, chúng ta cần kiểm tra mối quan hệ giữa hai biến X và Y. Dữ liệu được cung cấp dưới dạng bảng.


Các bước thực hiện:

1. Phân tích dữ liệu: Quan sát bảng số liệu ta thấy khi số giờ tự học (X) tăng lên, điểm số trung bình (Y) nhìn chung cũng có xu hướng tăng. Ví dụ: X=27, Y=5; X=30, Y=6; X=42, Y=8; X=45, Y=10. Điều này gợi ý có một mối quan hệ tuyến tính dương giữa X và Y.

2. Kiểm định mối quan hệ tuyến tính: Để xác định có thể sử dụng hàm hồi quy tuyến tính hay không, ta cần xem xét hệ số tương quan hoặc thực hiện phân tích hồi quy. Nếu hệ số tương quan đủ mạnh hoặc kết quả phân tích hồi quy cho thấy mối quan hệ có ý nghĩa thống kê, thì có thể xây dựng hàm hồi quy.

3. Tính toán các tham số của hàm hồi quy tuyến tính: Hàm hồi quy tuyến tính có dạng: $\hat{Y} = a + bX$, trong đó:

* $a$ là hệ số chặn (intercept).

* $b$ là hệ số góc (slope), cho biết mức độ thay đổi trung bình của Y khi X thay đổi một đơn vị.


Để tính toán $a$ và $b$, chúng ta cần tính các đại lượng sau từ dữ liệu:

- Số điểm quan sát: $n = 9$

- Tổng các giá trị X: $\sum X = 27 + 30 + 30 + 33 + 33 + 39 + 42 + 45 + 45 = 324$

- Tổng các giá trị Y: $\sum Y = 5 + 6 + 6 + 8 + 7 + 7 + 8 + 9 + 10 = 66$

- Trung bình của X: $\bar{X} = \frac{\sum X}{n} = \frac{324}{9} = 36$

- Trung bình của Y: $\bar{Y} = \frac{\sum Y}{n} = \frac{66}{9} \approx 7.333$

- Tổng các tích X*Y: $\sum XY = (27 \times 5) + (30 \times 6) + (30 \times 6) + (33 \times 8) + (33 imes 7) + (39 imes 7) + (42 imes 8) + (45 imes 9) + (45 imes 10) = 135 + 180 + 180 + 264 + 231 + 273 + 336 + 405 + 450 = 2454$

- Tổng bình phương X: $\sum X^2 = 27^2 + 30^2 + 30^2 + 33^2 + 33^2 + 39^2 + 42^2 + 45^2 + 45^2 = 729 + 900 + 900 + 1089 + 1089 + 1521 + 1764 + 2025 + 2025 = 12042$


Công thức tính hệ số góc $b$: $b = \frac{n(\sum XY) - (\sum X)(\sum Y)}{n(\sum X^2) - (\sum X)^2}$

$b = \frac{9(2454) - (324)(66)}{9(12042) - (324)^2} = \frac{22086 - 21384}{108378 - 104976} = \frac{702}{3402} \approx 0.2063$


Công thức tính hệ số chặn $a$: $a = \bar{Y} - b\bar{X}$

$a = 7.333 - (0.2063)(36) \approx 7.333 - 7.4268 \approx -0.0938$


Vậy, hàm hồi quy tuyến tính thực nghiệm là: $\hat{Y} = -0.0938 + 0.2063X$


Kết luận: Có thể dự đoán được điểm số trung bình của sinh viên qua số giờ tự học bằng hàm hồi quy tuyến tính thực nghiệm. Hàm hồi quy tuyến tính thực nghiệm là $\hat{Y} = -0.0938 + 0.2063X$.

Câu hỏi yêu cầu xác định xem có thể xây dựng hàm hồi quy tuyến tính thực nghiệm để dự đoán điểm số trung bình (Y) dựa trên số giờ tự học (X) từ bảng số liệu cho trước hay không, và nếu có thì viết phương trình hàm hồi quy đó.

Để giải quyết vấn đề này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

1. Kiểm tra mối quan hệ giữa X và Y: Dựa vào bảng số liệu, chúng ta có thể quan sát xu hướng chung. Khi số giờ tự học (X) tăng lên, điểm số trung bình (Y) thường có xu hướng tăng theo. Điều này cho thấy có thể tồn tại một mối quan hệ tuyến tính.

2. Tính toán các tham số của hàm hồi quy tuyến tính: Hàm hồi quy tuyến tính có dạng tổng quát là $Y = aX + b$. Để ước lượng các tham số $a$ (hệ số góc) và $b$ (hệ số chặn) từ dữ liệu mẫu, chúng ta sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu.
* Công thức tính $a$ (hệ số góc): $a = \frac{n(\sum XY) - (\sum X)(\sum Y)}{n(\sum X^2) - (\sum X)^2}$
* Công thức tính $b$ (hệ số chặn): $b = \bar{Y} - a\bar{X} = \frac{\sum Y - a(\sum X)}{n}$
Trong đó:
* $n$ là số cặp quan sát.
* $\sum X$ là tổng các giá trị của X.
* $\sum Y$ là tổng các giá trị của Y.
* $\sum XY$ là tổng tích của các cặp (X, Y).
* $\sum X^2$ là tổng bình phương các giá trị của X.
* $\bar{X}$ là trung bình cộng của X.
* $\bar{Y}$ là trung bình cộng của Y.

3. Áp dụng vào dữ liệu cho trước: Ta có các cặp quan sát (X, Y) như sau:
(27, 5), (30, 6), (30, 6), (33, 8), (33, 7), (39, 7), (42, 8), (45, 9), (45, 10).
Số cặp quan sát $n = 9$.

Tính toán các tổng cần thiết:
* $\sum X = 27 + 30 + 30 + 33 + 33 + 39 + 42 + 45 + 45 = 324$
* $\sum Y = 5 + 6 + 6 + 8 + 7 + 7 + 8 + 9 + 10 = 66$
* $\sum X^2 = 27^2 + 30^2 + 30^2 + 33^2 + 33^2 + 39^2 + 42^2 + 45^2 + 45^2 = 729 + 900 + 900 + 1089 + 1089 + 1521 + 1764 + 2025 + 2025 = 12042$
* $\sum XY = (27 \times 5) + (30 \times 6) + (30 \times 6) + (33 \times 8) + (33 imes 7) + (39 imes 7) + (42 imes 8) + (45 imes 9) + (45 imes 10) = 135 + 180 + 180 + 264 + 231 + 273 + 336 + 405 + 450 = 2454$

Tính toán $a$:
$a = \frac{9(2454) - (324)(66)}{9(12042) - (324)^2} = \frac{22086 - 21384}{108378 - 104976} = \frac{702}{3402} \approx 0.206349$

Tính toán $b$:
$\bar{X} = \frac{324}{9} = 36$
$\bar{Y} = \frac{66}{9} \approx 7.333333$
$b = \bar{Y} - a\bar{X} = 7.333333 - 0.206349 \times 36 \approx 7.333333 - 7.428564 \approx -0.095231$

Vậy, hàm hồi quy tuyến tính thực nghiệm là: $Y \approx 0.2063X - 0.0952$

4. Kết luận: Dựa vào số liệu, có thể dự đoán được điểm số trung bình của một sinh viên qua số giờ tự học bằng hàm hồi quy tuyến tính thực nghiệm. Hàm hồi quy tuyến tính thực nghiệm được viết như trên.

Do đó, câu hỏi có thể trả lời được và có một phương trình hồi quy cụ thể.

Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định số cách chọn 4 thẻ thỏa mãn điều kiện (có đủ 3 màu và các số thứ tự khác nhau) chia cho tổng số cách chọn 4 thẻ bất kỳ từ 15 thẻ.

Bước 1: Tính tổng số cách lấy 4 thẻ từ 15 thẻ.

Số thẻ Đỏ: 6
Số thẻ Vàng: 5
Số thẻ Xanh: 4
Tổng số thẻ: 6 + 5 + 4 = 15

Số cách chọn 4 thẻ bất kỳ từ 15 thẻ là tổ hợp chập 4 của 15:
C(15, 4) = 15! / (4! * (15-4)!) = (15 * 14 * 13 * 12) / (4 * 3 * 2 * 1) = 1365 cách.

Bước 2: Tính số cách lấy 4 thẻ thỏa mãn điều kiện.

Điều kiện là 4 thẻ phải có đủ ba màu (Đỏ, Vàng, Xanh) và không có hai thẻ nào có số thứ tự trùng nhau.
Do có 4 thẻ được chọn và chỉ có 3 màu, nên sẽ có một màu xuất hiện 2 lần và hai màu còn lại mỗi màu xuất hiện 1 lần.

Chúng ta chia thành 3 trường hợp dựa trên màu nào có 2 thẻ:

* Trường hợp 1: 2 thẻ Đỏ, 1 thẻ Vàng, 1 thẻ Xanh.
- Chọn 2 số khác nhau cho 2 thẻ Đỏ: C(6, 2) = 15 cách.
- Chọn 1 số cho thẻ Vàng: C(5, 1) = 5 cách.
- Chọn 1 số cho thẻ Xanh: C(4, 1) = 4 cách.
Số cách chọn 4 thẻ với cấu hình này, đảm bảo các số là khác nhau, là phức tạp hơn vì ta phải loại trừ các trường hợp số bị trùng lặp giữa các màu.

Cách tính chính xác số cách lấy 4 thẻ với 3 màu và số khác nhau:
Do có 4 thẻ và 3 màu, nên phải có 1 màu xuất hiện 2 lần và 2 màu còn lại mỗi màu 1 lần.

Ta xét 3 cấu hình màu có thể:
1. 2 Đỏ, 1 Vàng, 1 Xanh:
- Chọn 2 số khác nhau cho 2 thẻ Đỏ: C(6, 2) = 15.
- Chọn 1 số cho thẻ Vàng: C(5, 1) = 5.
- Chọn 1 số cho thẻ Xanh: C(4, 1) = 4.
Số cách chọn bộ 4 thẻ này là 15 * 5 * 4 = 300. Tuy nhiên, ta phải trừ các trường hợp số trùng nhau.

Một cách tính hiệu quả hơn:
Ta cần chọn 4 thẻ với 3 màu và các số khác nhau.
Điều này có nghĩa là có 1 màu xuất hiện 2 lần, và 2 màu còn lại mỗi màu 1 lần.

* Chọn màu có 2 thẻ: Có C(3, 1) = 3 cách.
* Nếu là 2 thẻ Đỏ:
Chọn 2 số khác nhau cho 2 thẻ Đỏ: C(6, 2) = 15.
Chọn 1 số cho thẻ Vàng: C(5, 1) = 5.
Chọn 1 số cho thẻ Xanh: C(4, 1) = 4.
Số cách chọn bộ 4 số {d1, d2, v1, x1} sao cho d1, d2 thuộc {1..6}, v1 thuộc {1..5}, x1 thuộc {1..4}, và d1, d2, v1, x1 đôi một khác nhau.

Ta xét các cặp số có thể xuất hiện:
Số cách chọn 2 số cho Đỏ: C(6,2) = 15
Số cách chọn 1 số cho Vàng: C(5,1) = 5
Số cách chọn 1 số cho Xanh: C(4,1) = 4
Tổng cộng ta cần chọn 4 số khác nhau.

Số cách lấy 4 thẻ có 3 màu và số khác nhau:

Có 3 lựa chọn cho màu có 2 thẻ.
Giả sử màu Đỏ có 2 thẻ. Chọn 2 số khác nhau từ 6 số Đỏ: C(6, 2) = 15.
Chọn 1 số cho thẻ Vàng từ 5 số Vàng: C(5, 1) = 5.
Chọn 1 số cho thẻ Xanh từ 4 số Xanh: C(4, 1) = 4.
Số cách chọn 2 thẻ Đỏ, 1 Vàng, 1 Xanh với số khác nhau:
Ta phải xem xét các trường hợp số trùng nhau.

Cách tính chuẩn:
Số cách chọn 4 thẻ có đủ 3 màu và số khác nhau:

1. 2 Đỏ, 1 Vàng, 1 Xanh:
- Chọn 2 số khác nhau cho thẻ Đỏ: C(6, 2) = 15.
- Chọn 1 số cho thẻ Vàng: C(5, 1) = 5.
- Chọn 1 số cho thẻ Xanh: C(4, 1) = 4.
Ta cần đảm bảo 4 số này là khác nhau.

Số cách chọn bộ 4 thẻ thỏa mãn:

* Trường hợp 1: 2 Đỏ, 1 Vàng, 1 Xanh:
Chọn 2 số khác nhau cho 2 thẻ Đỏ: C(6, 2) = 15.
Chọn 1 số cho thẻ Vàng: C(5, 1) = 5.
Chọn 1 số cho thẻ Xanh: C(4, 1) = 4.
Số cách chọn bộ 4 thẻ (2 Đ, 1 V, 1 X) là 15 * 5 * 4 = 300. Tuy nhiên, ta phải trừ đi các trường hợp số trùng nhau.

Cách tính số cách lấy 4 thẻ thỏa mãn:

1. 2 thẻ Đỏ, 1 thẻ Vàng, 1 thẻ Xanh:
Chọn 2 số cho 2 thẻ Đỏ: C(6, 2) = 15.
Chọn 1 số cho thẻ Vàng: C(5, 1) = 5.
Chọn 1 số cho thẻ Xanh: C(4, 1) = 4.
Số cách chọn bộ 4 thẻ này là 15 * 5 * 4 = 300. Ta cần loại trừ các trường hợp số trùng nhau.

Ta tính số cách chọn 4 thẻ có đủ 3 màu và các số khác nhau:

1. 2 Đỏ, 1 Vàng, 1 Xanh:
- Chọn 2 số cho 2 thẻ Đỏ: C(6, 2) = 15.
- Chọn 1 số cho thẻ Vàng: C(5, 1) = 5.
- Chọn 1 số cho thẻ Xanh: C(4, 1) = 4.
Số cách chọn bộ 4 thẻ là 15 * 5 * 4 = 300.

2. 1 Đỏ, 2 Vàng, 1 Xanh:
- Chọn 1 số cho thẻ Đỏ: C(6, 1) = 6.
- Chọn 2 số khác nhau cho thẻ Vàng: C(5, 2) = 10.
- Chọn 1 số cho thẻ Xanh: C(4, 1) = 4.
Số cách chọn bộ 4 thẻ là 6 * 10 * 4 = 240.

3. 1 Đỏ, 1 Vàng, 2 Xanh:
- Chọn 1 số cho thẻ Đỏ: C(6, 1) = 6.
- Chọn 1 số cho thẻ Vàng: C(5, 1) = 5.
- Chọn 2 số khác nhau cho thẻ Xanh: C(4, 2) = 6.
Số cách chọn bộ 4 thẻ là 6 * 5 * 6 = 180.

Tuy nhiên, cách này chưa loại trừ trường hợp số trùng lặp.

Cách tính đúng cho số cách lấy 4 thẻ với 3 màu và số khác nhau:

Ta cần chọn 4 thẻ sao cho có 1 màu lặp lại và 4 số khác nhau.

* Chọn màu có 2 thẻ: 3 cách (Đỏ, Vàng, Xanh).
* Nếu màu Đỏ có 2 thẻ:
Chọn 2 số khác nhau cho 2 thẻ Đỏ: C(6, 2) = 15.
Chọn 1 số cho thẻ Vàng (không trùng với 2 số Đỏ đã chọn): C(5, 1) = 5.
Chọn 1 số cho thẻ Xanh (không trùng với 2 số Đỏ và 1 số Vàng đã chọn): C(4, 1) = 4.
Số cách chọn bộ 4 số khác nhau khi 2 Đỏ, 1 Vàng, 1 Xanh: C(6,2) * C(5,1) * C(4,1) = 15 * 5 * 4 = 300.
* Nếu màu Vàng có 2 thẻ:
Chọn 2 số khác nhau cho 2 thẻ Vàng: C(5, 2) = 10.
Chọn 1 số cho thẻ Đỏ: C(6, 1) = 6.
Chọn 1 số cho thẻ Xanh: C(4, 1) = 4.
Số cách chọn bộ 4 số khác nhau khi 1 Đỏ, 2 Vàng, 1 Xanh: C(5,2) * C(6,1) * C(4,1) = 10 * 6 * 4 = 240.
* Nếu màu Xanh có 2 thẻ:
Chọn 2 số khác nhau cho 2 thẻ Xanh: C(4, 2) = 6.
Chọn 1 số cho thẻ Đỏ: C(6, 1) = 6.
Chọn 1 số cho thẻ Vàng: C(5, 1) = 5.
Số cách chọn bộ 4 số khác nhau khi 1 Đỏ, 1 Vàng, 2 Xanh: C(4,2) * C(6,1) * C(5,1) = 6 * 6 * 5 = 180.

Tổng số cách lấy 4 thẻ thỏa mãn điều kiện: 300 + 240 + 180 = 720 cách.

3. Tính xác suất.

Xác suất = (Số cách lấy 4 thẻ thỏa mãn điều kiện) / (Tổng số cách lấy 4 thẻ bất kỳ)
Xác suất = 720 / 1365

Rút gọn phân số:
720 / 5 = 144
1365 / 5 = 273
Phân số là 144 / 273.
144 / 3 = 48
273 / 3 = 91
Phân số là 48 / 91.

Kết luận:

Tổng số cách chọn 4 thẻ bất kỳ là 1365.
Số cách chọn 4 thẻ có đủ 3 màu và các số thứ tự khác nhau là 720.
Vậy, xác suất cần tìm là 720/1365, rút gọn là 48/91.

Câu hỏi này thuộc về lĩnh vực xác suất thống kê, cụ thể là áp dụng định lý Bayes để tính xác suất có điều kiện. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xác định các biến cố và xác suất tương ứng:

Gọi G là biến cố nhân viên sử dụng ứng dụng Grab.
Gọi B là biến cố nhân viên sử dụng ứng dụng Be.
Gọi J là biến cố nhân viên sử dụng ứng dụng Gojek.
Gọi X là biến cố nhân viên thường dùng ứng dụng để gọi đặt xe.

Theo đề bài, ta có các xác suất ban đầu:
P(G) = 0.45
P(B) = 0.35
P(J) = 0.20

Ta cũng có xác suất có điều kiện của việc gọi xe khi biết đã sử dụng từng ứng dụng:
P(X|G) = 0.70
P(X|B) = 0.50
P(X|J) = 0.40

Đề bài yêu cầu tính xác suất nhân viên sử dụng ứng dụng Grab biết rằng họ đã gọi đặt xe, tức là tính P(G|X).

Theo định lý Bayes:
P(G|X) = [P(X|G) * P(G)] / P(X)

Để tính P(X), chúng ta sử dụng công thức xác suất toàn phần:
P(X) = P(X|G) * P(G) + P(X|B) * P(B) + P(X|J) * P(J)
P(X) = (0.70 * 0.45) + (0.50 * 0.35) + (0.40 * 0.20)
P(X) = 0.315 + 0.175 + 0.08
P(X) = 0.57

Bây giờ, thay các giá trị vào công thức định lý Bayes:
P(G|X) = (0.70 * 0.45) / 0.57
P(G|X) = 0.315 / 0.57
P(G|X) ≈ 0.5526

Vậy, xác suất người này sử dụng ứng dụng Grab khi biết họ gọi đặt xe là khoảng 0.5526 hoặc 55.26%.