Câu hỏi yêu cầu áp dụng phương pháp Euler và phương pháp Euler cải tiến để tìm giá trị gần đúng của nghiệm tại y(2) cho phương trình vi phân y′ = xy - ln y với điều kiện ban đầu y(1) = 1 và bước chia h = 0.25. Đây là bài toán áp dụng các phương pháp số để giải phương trình vi phân thường bậc nhất.
Phân tích bài toán:
Chúng ta có phương trình vi phân: y' = f(x, y) = xy - ln y
Điều kiện ban đầu: (x0, y0) = (1, 1)
Bước chia: h = 0.25
Mục tiêu: Tính y(2) bằng hai phương pháp và ghi rõ kết quả từng bước.
1. Phương pháp Euler:
Công thức nghiệm số: y_{i+1} = y_i + h * f(x_i, y_i)
Và x_{i+1} = x_i + h
Chúng ta cần tính các giá trị sau:
- i = 0: x0 = 1, y0 = 1
y1 = y0 + h * f(x0, y0) = 1 + 0.25 * (1*1 - ln(1)) = 1 + 0.25 * (1 - 0) = 1 + 0.25 = 1.25
x1 = x0 + h = 1 + 0.25 = 1.25
- i = 1: x1 = 1.25, y1 = 1.25
y2 = y1 + h * f(x1, y1) = 1.25 + 0.25 * (1.25 * 1.25 - ln(1.25))
ln(1.25) ≈ 0.22314355
y2 = 1.25 + 0.25 * (1.5625 - 0.22314355) = 1.25 + 0.25 * (1.33935645) = 1.25 + 0.33483911 = 1.58483911
Làm tròn đến 4 chữ số thập phân: y2 ≈ 1.5848
x2 = x1 + h = 1.25 + 0.25 = 1.5
- i = 2: x2 = 1.5, y2 ≈ 1.5848
y3 = y2 + h * f(x2, y2) = 1.5848 + 0.25 * (1.5 * 1.5848 - ln(1.5848))
ln(1.5848) ≈ 0.4606515
y3 = 1.5848 + 0.25 * (2.3772 - 0.4606515) = 1.5848 + 0.25 * (1.9165485) = 1.5848 + 0.479137125 = 2.063937125
Làm tròn đến 4 chữ số thập phân: y3 ≈ 2.0639
x3 = x2 + h = 1.5 + 0.25 = 1.75
- i = 3: x3 = 1.75, y3 ≈ 2.0639
y4 = y3 + h * f(x3, y3) = 2.0639 + 0.25 * (1.75 * 2.0639 - ln(2.0639))
ln(2.0639) ≈ 0.7242633
y4 = 2.0639 + 0.25 * (3.611825 - 0.7242633) = 2.0639 + 0.25 * (2.8875617) = 2.0639 + 0.721890425 = 2.785790425
Làm tròn đến 4 chữ số thập phân: y4 ≈ 2.7858
x4 = x3 + h = 1.75 + 0.25 = 2
Vậy, theo phương pháp Euler, y(2) ≈ 2.7858.
2. Phương pháp Euler cải tiến (Modified Euler hay Heun's method):
Công thức nghiệm số:
y*_{i+1} = y_i + h * f(x_i, y_i) (dự đoán giá trị y_{i+1})
y_{i+1} = y_i + (h/2) * [f(x_i, y_i) + f(x_{i+1}, y*_{i+1})] (cải tiến giá trị)
Và x_{i+1} = x_i + h
Chúng ta cần tính các giá trị sau:
- i = 0: x0 = 1, y0 = 1
Dự đoán y*1: y*1 = y0 + h * f(x0, y0) = 1 + 0.25 * (1*1 - ln(1)) = 1 + 0.25 * 1 = 1.25
x1 = x0 + h = 1 + 0.25 = 1.25
Cải tiến y1: y1 = y0 + (h/2) * [f(x0, y0) + f(x1, y*1)]
f(x0, y0) = 1*1 - ln(1) = 1
f(x1, y*1) = f(1.25, 1.25) = 1.25 * 1.25 - ln(1.25) ≈ 1.5625 - 0.22314355 = 1.33935645
y1 = 1 + (0.25/2) * [1 + 1.33935645] = 1 + 0.125 * (2.33935645) = 1 + 0.292419556 = 1.292419556
Làm tròn đến 4 chữ số thập phân: y1 ≈ 1.2924
- i = 1: x1 = 1.25, y1 ≈ 1.2924
Dự đoán y*2: y*2 = y1 + h * f(x1, y1) = 1.2924 + 0.25 * (1.25 * 1.2924 - ln(1.2924))
ln(1.2924) ≈ 0.256577
y*2 = 1.2924 + 0.25 * (1.6155 - 0.256577) = 1.2924 + 0.25 * (1.358923) = 1.2924 + 0.33973075 = 1.63213075
x2 = x1 + h = 1.25 + 0.25 = 1.5
Cải tiến y2: y2 = y1 + (h/2) * [f(x1, y1) + f(x2, y*2)]
f(x1, y1) = f(1.25, 1.2924) ≈ 1.358923
f(x2, y*2) = f(1.5, 1.6321) = 1.5 * 1.6321 - ln(1.6321)
ln(1.6321) ≈ 0.489843
f(1.5, 1.6321) ≈ 2.44815 - 0.489843 = 1.958307
y2 = 1.2924 + (0.25/2) * [1.358923 + 1.958307] = 1.2924 + 0.125 * (3.31723) = 1.2924 + 0.41465375 = 1.70705375
Làm tròn đến 4 chữ số thập phân: y2 ≈ 1.7071
- i = 2: x2 = 1.5, y2 ≈ 1.7071
Dự đoán y*3: y*3 = y2 + h * f(x2, y2) = 1.7071 + 0.25 * (1.5 * 1.7071 - ln(1.7071))
ln(1.7071) ≈ 0.53474
y*3 = 1.7071 + 0.25 * (2.56065 - 0.53474) = 1.7071 + 0.25 * (2.02591) = 1.7071 + 0.5064775 = 2.2135775
x3 = x2 + h = 1.5 + 0.25 = 1.75
Cải tiến y3: y3 = y2 + (h/2) * [f(x2, y2) + f(x3, y*3)]
f(x2, y2) = f(1.5, 1.7071) ≈ 2.02591
f(x3, y*3) = f(1.75, 2.2136) = 1.75 * 2.2136 - ln(2.2136)
ln(2.2136) ≈ 0.79456
f(1.75, 2.2136) ≈ 3.8738 - 0.79456 = 3.07924
y3 = 1.7071 + (0.25/2) * [2.02591 + 3.07924] = 1.7071 + 0.125 * (5.10515) = 1.7071 + 0.63814375 = 2.34524375
Làm tròn đến 4 chữ số thập phân: y3 ≈ 2.3452
- i = 3: x3 = 1.75, y3 ≈ 2.3452
Dự đoán y*4: y*4 = y3 + h * f(x3, y3) = 2.3452 + 0.25 * (1.75 * 2.3452 - ln(2.3452))
ln(2.3452) ≈ 0.85263
y*4 = 2.3452 + 0.25 * (4.1041 - 0.85263) = 2.3452 + 0.25 * (3.25147) = 2.3452 + 0.8128675 = 3.1580675
x4 = x3 + h = 1.75 + 0.25 = 2
Cải tiến y4: y4 = y3 + (h/2) * [f(x3, y3) + f(x4, y*4)]
f(x3, y3) = f(1.75, 2.3452) ≈ 3.25147
f(x4, y*4) = f(2, 3.1581) = 2 * 3.1581 - ln(3.1581)
ln(3.1581) ≈ 1.15003
f(2, 3.1581) ≈ 6.3162 - 1.15003 = 5.16617
y4 = 2.3452 + (0.25/2) * [3.25147 + 5.16617] = 2.3452 + 0.125 * (8.41764) = 2.3452 + 1.052205 = 3.397405
Làm tròn đến 4 chữ số thập phân: y4 ≈ 3.3974
Vậy, theo phương pháp Euler cải tiến, y(2) ≈ 3.3974.
Kết luận:
- Phương pháp Euler: y(2) ≈ 2.7858
- Phương pháp Euler cải tiến: y(2) ≈ 3.3974
Do không có các lựa chọn đáp án cụ thể để chọn là đúng, nên ta chỉ có thể cung cấp lời giải chi tiết cho câu hỏi này.