JavaScript is required

Chứng tỏ rằng phương trình sau là phương trình vi phân thuần nhất 

(x2 + 2y2)dx - xydy = 0.

Tìm nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện ban đầu y(-1) = 1.

Trả lời:

Đáp án đúng:


Để chứng tỏ phương trình vi phân (x^2 + 2y^2)dx - xydy = 0 là phương trình vi phân thuần nhất, ta cần kiểm tra xem nó có dạng M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0, trong đó M(x, y) và N(x, y) là các hàm thuần nhất cùng bậc hay không. Ta có M(x, y) = x^2 + 2y^2 và N(x, y) = -xy. Kiểm tra tính thuần nhất của M(x, y): M(tx, ty) = (tx)^2 + 2(ty)^2 = t^2x^2 + 2t^2y^2 = t^2(x^2 + 2y^2) = t^2M(x, y). Vậy M(x, y) là hàm thuần nhất bậc 2. Kiểm tra tính thuần nhất của N(x, y): N(tx, ty) = -(tx)(ty) = -t^2xy = t^2(-xy) = t^2N(x, y). Vậy N(x, y) là hàm thuần nhất bậc 2. Do cả M(x, y) và N(x, y) đều là các hàm thuần nhất bậc 2, nên phương trình vi phân đã cho là phương trình vi phân thuần nhất. Để tìm nghiệm của phương trình, ta đặt y = vx, suy ra dy = vdx + xdv. Thay vào phương trình vi phân: (x^2 + 2(vx)^2)dx - x(vx)(vdx + xdv) = 0 (x^2 + 2v^2x^2)dx - vx^2(vdx + xdv) = 0 x^2(1 + 2v^2)dx - vx^3(vdx + xdv) = 0 Chia cả hai vế cho x^3 (với x khác 0): (1/x)(1 + 2v^2)dx - v(vdx + xdv) = 0 (1/x)(1 + 2v^2)dx - v^2dx - vx dv = 0 [(1/x) + 2v^2/x - v^2]dx - vx dv = 0 [(1 + 2v^2 - v^2x)/x]dx - vx dv = 0 (1 + v^2)/x dx = v dv Đây là phương trình vi phân tách biến. Tách biến ta có: (1 + v^2)/v dv = x dx Lấy tích phân hai vế: ∫(1 + v^2)/v dv = ∫x dx ∫(1/v + v) dv = ∫x dx ln|v| + v^2/2 = x^2/2 + C1 Thay v = y/x vào: ln|y/x| + (y/x)^2/2 = x^2/2 + C1 Sử dụng điều kiện ban đầu y(-1) = 1 để tìm hằng số C1. Khi x = -1, y = 1: ln|1/(-1)| + (1/(-1))^2/2 = (-1)^2/2 + C1 ln(1) + (-1)^2/2 = 1/2 + C1 0 + 1/2 = 1/2 + C1 C1 = 0 Vậy nghiệm riêng của phương trình là: ln|y/x| + (y/x)^2/2 = x^2/2

Đề thi cuối kỳ môn Toán Cao Cấp cho Kỹ Sư 1 của Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM, học kỳ 3 năm học 2024-2025. Nội dung bao gồm ma trận, hệ phương trình tuyến tính, phương trình vi phân (Cauchy-Euler, biến đổi Laplace, thuần nhất) và phương pháp số Euler.


5 câu hỏi 90 phút

Câu hỏi liên quan