JavaScript is required

a) Cho các ma trận
\[ A = \begin{pmatrix} m & 3 \\ -2 & 2 \\ 5 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ -2 & -3 & 1 \end{pmatrix}. \]

trong đó m là một hằng số. Tính AB.

b) Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình tuyến tính sau \[ \begin{cases} x_{1} - x_{2} - x_{3} = 8, \\[6pt] 2x_{1} - x_{2} + x_{3} = 3, \\[6pt] - x_{1} + x_{2} + m x_{3} = 4. \end{cases} \]

Trả lời:

Đáp án đúng:


Câu hỏi này kiểm tra hai kỹ năng chính trong đại số tuyến tính: phép nhân ma trận và giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss-Jordan (biện luận theo tham số). Phần a) yêu cầu tính tích của hai ma trận A và B. Để thực hiện phép nhân ma trận, số cột của ma trận thứ nhất (A) phải bằng số hàng của ma trận thứ hai (B). Ma trận A có kích thước 3x2 và ma trận B có kích thước 2x3. Do đó, tích AB là khả thi và sẽ cho kết quả là một ma trận có kích thước 3x3. Các phần tử của ma trận kết quả được tính bằng tổng của các tích tương ứng của các phần tử trên hàng của ma trận thứ nhất và cột của ma trận thứ hai. Cụ thể, phần tử ở hàng i, cột j của ma trận AB là tổng của (phần tử ở hàng i, cột k của A) nhân với (phần tử ở hàng k, cột j của B) với k chạy từ 1 đến số cột của A (hoặc số hàng của B). Công thức tổng quát cho phần tử $c_{ij}$ của ma trận $C = AB$ là $c_{ij} = \sum_{k=1}^{p} a_{ik} b_{kj}$, với $p$ là số cột của A (cũng là số hàng của B). Phần b) yêu cầu giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính theo tham số m. Đây là một hệ 3 phương trình 3 ẩn. Phương pháp phổ biến để giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính là sử dụng ma trận bổ sung và đưa về dạng bậc thang rút gọn bằng phép biến đổi sơ cấp trên hàng (phương pháp Gauss-Jordan). Đầu tiên, ta thiết lập ma trận bổ sung cho hệ phương trình. Sau đó, thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên hàng để đưa ma trận này về dạng bậc thang rút gọn. Trong quá trình biến đổi, sự xuất hiện của các trường hợp khác nhau (ví dụ: có hàng dạng [0 0 0 | d] với d khác 0, hoặc có hàng chỉ chứa số 0 ở vế trái) sẽ phụ thuộc vào giá trị của tham số m. Dựa vào các trường hợp này, ta sẽ biện luận và đưa ra nghiệm hoặc kết luận về số nghiệm của hệ phương trình tương ứng với từng giá trị của m. Đối với phần a), ta thực hiện phép nhân: $AB = \begin{pmatrix} m & 3 \\ -2 & 2 \\ 5 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ -2 & -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} m(1) + 3(-2) & m(2) + 3(-3) & m(0) + 3(1) \\ (-2)(1) + 2(-2) & (-2)(2) + 2(-3) & (-2)(0) + 2(1) \\ 5(1) + 4(-2) & 5(2) + 4(-3) & 5(0) + 4(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} m-6 & 2m-9 & 3 \\ -6 & -10 & 2 \\ -3 & -2 & 4 \end{pmatrix}$. Đối với phần b), ta lập ma trận bổ sung: $\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & | & 8 \\ 2 & -1 & 1 & | & 3 \\ -1 & 1 & m & | & 4 \end{pmatrix}$. Thực hiện phép biến đổi sơ cấp trên hàng: $H_2 \leftarrow H_2 - 2H_1$: $\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & | & 8 \\ 0 & 1 & 3 & | & -13 \\ -1 & 1 & m & | & 4 \end{pmatrix}$ $H_3 \leftarrow H_3 + H_1$: $\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & | & 8 \\ 0 & 1 & 3 & | & -13 \\ 0 & 0 & m-1 & | & 12 \end{pmatrix}$. Bây giờ, ta xét các trường hợp dựa trên phần tử $m-1$: Trường hợp 1: $m-1 \neq 0 \Leftrightarrow m \neq 1$. Khi đó, hệ có duy nhất một nghiệm. Từ hàng thứ ba, ta có $(m-1)x_3 = 12 \Rightarrow x_3 = \frac{12}{m-1}$. Từ hàng thứ hai, $x_2 + 3x_3 = -13 \Rightarrow x_2 = -13 - 3x_3 = -13 - 3\left(\frac{12}{m-1}\right) = -13 - \frac{36}{m-1} = \frac{-13(m-1) - 36}{m-1} = \frac{-13m + 13 - 36}{m-1} = \frac{-13m - 23}{m-1}$. Từ hàng thứ nhất, $x_1 - x_2 - x_3 = 8 \Rightarrow x_1 = 8 + x_2 + x_3 = 8 + \frac{-13m - 23}{m-1} + \frac{12}{m-1} = 8 + \frac{-13m - 23 + 12}{m-1} = 8 + \frac{-13m - 11}{m-1} = \frac{8(m-1) - 13m - 11}{m-1} = \frac{8m - 8 - 13m - 11}{m-1} = \frac{-5m - 19}{m-1}$. Vậy, khi $m \neq 1$, hệ có nghiệm duy nhất là $x_1 = \frac{-5m-19}{m-1}$, $x_2 = \frac{-13m-23}{m-1}$, $x_3 = \frac{12}{m-1}$. Trường hợp 2: $m-1 = 0 \Leftrightarrow m = 1$. Khi đó, hàng thứ ba của ma trận trở thành [0 0 0 | 12]. Phương trình tương ứng là $0x_1 + 0x_2 + 0x_3 = 12$, tức là $0 = 12$, điều này vô lý. Do đó, khi $m = 1$, hệ phương trình vô nghiệm. Kết luận: - Nếu $m \neq 1$, hệ có nghiệm duy nhất $x_1 = \frac{-5m-19}{m-1}$, $x_2 = \frac{-13m-23}{m-1}$, $x_3 = \frac{12}{m-1}$. - Nếu $m = 1$, hệ vô nghiệm.

Đề thi cuối kỳ môn Toán Cao Cấp cho Kỹ Sư 1 của Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM, học kỳ 3 năm học 2024-2025. Nội dung bao gồm ma trận, hệ phương trình tuyến tính, phương trình vi phân (Cauchy-Euler, biến đổi Laplace, thuần nhất) và phương pháp số Euler.


5 câu hỏi 90 phút

Câu hỏi liên quan