Cho bài toán giá trị ban đầu

y′ = xy - ln y, y(1) = 1.

Anh/Chị hãy trình công thức nghiệm số của phương trình bằng phương pháp Euler và phương pháp Euler cải tiến. Sau đó sử dụng máy tính bỏ túi tính giá trị gần đúng y(2) và ghi rõ kết quả tại mỗi bước (làm tròn kết quả đến 4 chữ số thập phân sau dấu phẩy) với bước chia h = 0.25 ứng với từng phương pháp.
 

Câu hỏi yêu cầu áp dụng phương pháp Euler và phương pháp Euler cải tiến để tìm giá trị gần đúng của nghiệm tại y(2) cho phương trình vi phân y′ = xy - ln y với điều kiện ban đầu y(1) = 1 và bước chia h = 0.25. Đây là bài toán áp dụng các phương pháp số để giải phương trình vi phân thường bậc nhất. **Phân tích bài toán:** Chúng ta có phương trình vi phân: y' = f(x, y) = xy - ln y Điều kiện ban đầu: (x0, y0) = (1, 1) Bước chia: h = 0.25 Mục tiêu: Tính y(2) bằng hai phương pháp và ghi rõ kết quả từng bước. **1. Phương pháp Euler:** Công thức nghiệm số: y_{i+1} = y_i + h * f(x_i, y_i) Và x_{i+1} = x_i + h Chúng ta cần tính các giá trị sau: - i = 0: x0 = 1, y0 = 1 y1 = y0 + h * f(x0, y0) = 1 + 0.25 * (1*1 - ln(1)) = 1 + 0.25 * (1 - 0) = 1 + 0.25 = 1.25 x1 = x0 + h = 1 + 0.25 = 1.25 - i = 1: x1 = 1.25, y1 = 1.25 y2 = y1 + h * f(x1, y1) = 1.25 + 0.25 * (1.25 * 1.25 - ln(1.25)) ln(1.25) ≈ 0.22314355 y2 = 1.25 + 0.25 * (1.5625 - 0.22314355) = 1.25 + 0.25 * (1.33935645) = 1.25 + 0.33483911 = 1.58483911 Làm tròn đến 4 chữ số thập phân: y2 ≈ 1.5848 x2 = x1 + h = 1.25 + 0.25 = 1.5 - i = 2: x2 = 1.5, y2 ≈ 1.5848 y3 = y2 + h * f(x2, y2) = 1.5848 + 0.25 * (1.5 * 1.5848 - ln(1.5848)) ln(1.5848) ≈ 0.4606515 y3 = 1.5848 + 0.25 * (2.3772 - 0.4606515) = 1.5848 + 0.25 * (1.9165485) = 1.5848 + 0.479137125 = 2.063937125 Làm tròn đến 4 chữ số thập phân: y3 ≈ 2.0639 x3 = x2 + h = 1.5 + 0.25 = 1.75 - i = 3: x3 = 1.75, y3 ≈ 2.0639 y4 = y3 + h * f(x3, y3) = 2.0639 + 0.25 * (1.75 * 2.0639 - ln(2.0639)) ln(2.0639) ≈ 0.7242633 y4 = 2.0639 + 0.25 * (3.611825 - 0.7242633) = 2.0639 + 0.25 * (2.8875617) = 2.0639 + 0.721890425 = 2.785790425 Làm tròn đến 4 chữ số thập phân: y4 ≈ 2.7858 x4 = x3 + h = 1.75 + 0.25 = 2 Vậy, theo phương pháp Euler, y(2) ≈ 2.7858. **2. Phương pháp Euler cải tiến (Modified Euler hay Heun's method):** Công thức nghiệm số: y*_{i+1} = y_i + h * f(x_i, y_i) (dự đoán giá trị y_{i+1}) y_{i+1} = y_i + (h/2) * [f(x_i, y_i) + f(x_{i+1}, y*_{i+1})] (cải tiến giá trị) Và x_{i+1} = x_i + h Chúng ta cần tính các giá trị sau: - i = 0: x0 = 1, y0 = 1 Dự đoán y*1: y*1 = y0 + h * f(x0, y0) = 1 + 0.25 * (1*1 - ln(1)) = 1 + 0.25 * 1 = 1.25 x1 = x0 + h = 1 + 0.25 = 1.25 Cải tiến y1: y1 = y0 + (h/2) * [f(x0, y0) + f(x1, y*1)] f(x0, y0) = 1*1 - ln(1) = 1 f(x1, y*1) = f(1.25, 1.25) = 1.25 * 1.25 - ln(1.25) ≈ 1.5625 - 0.22314355 = 1.33935645 y1 = 1 + (0.25/2) * [1 + 1.33935645] = 1 + 0.125 * (2.33935645) = 1 + 0.292419556 = 1.292419556 Làm tròn đến 4 chữ số thập phân: y1 ≈ 1.2924 - i = 1: x1 = 1.25, y1 ≈ 1.2924 Dự đoán y*2: y*2 = y1 + h * f(x1, y1) = 1.2924 + 0.25 * (1.25 * 1.2924 - ln(1.2924)) ln(1.2924) ≈ 0.256577 y*2 = 1.2924 + 0.25 * (1.6155 - 0.256577) = 1.2924 + 0.25 * (1.358923) = 1.2924 + 0.33973075 = 1.63213075 x2 = x1 + h = 1.25 + 0.25 = 1.5 Cải tiến y2: y2 = y1 + (h/2) * [f(x1, y1) + f(x2, y*2)] f(x1, y1) = f(1.25, 1.2924) ≈ 1.358923 f(x2, y*2) = f(1.5, 1.6321) = 1.5 * 1.6321 - ln(1.6321) ln(1.6321) ≈ 0.489843 f(1.5, 1.6321) ≈ 2.44815 - 0.489843 = 1.958307 y2 = 1.2924 + (0.25/2) * [1.358923 + 1.958307] = 1.2924 + 0.125 * (3.31723) = 1.2924 + 0.41465375 = 1.70705375 Làm tròn đến 4 chữ số thập phân: y2 ≈ 1.7071 - i = 2: x2 = 1.5, y2 ≈ 1.7071 Dự đoán y*3: y*3 = y2 + h * f(x2, y2) = 1.7071 + 0.25 * (1.5 * 1.7071 - ln(1.7071)) ln(1.7071) ≈ 0.53474 y*3 = 1.7071 + 0.25 * (2.56065 - 0.53474) = 1.7071 + 0.25 * (2.02591) = 1.7071 + 0.5064775 = 2.2135775 x3 = x2 + h = 1.5 + 0.25 = 1.75 Cải tiến y3: y3 = y2 + (h/2) * [f(x2, y2) + f(x3, y*3)] f(x2, y2) = f(1.5, 1.7071) ≈ 2.02591 f(x3, y*3) = f(1.75, 2.2136) = 1.75 * 2.2136 - ln(2.2136) ln(2.2136) ≈ 0.79456 f(1.75, 2.2136) ≈ 3.8738 - 0.79456 = 3.07924 y3 = 1.7071 + (0.25/2) * [2.02591 + 3.07924] = 1.7071 + 0.125 * (5.10515) = 1.7071 + 0.63814375 = 2.34524375 Làm tròn đến 4 chữ số thập phân: y3 ≈ 2.3452 - i = 3: x3 = 1.75, y3 ≈ 2.3452 Dự đoán y*4: y*4 = y3 + h * f(x3, y3) = 2.3452 + 0.25 * (1.75 * 2.3452 - ln(2.3452)) ln(2.3452) ≈ 0.85263 y*4 = 2.3452 + 0.25 * (4.1041 - 0.85263) = 2.3452 + 0.25 * (3.25147) = 2.3452 + 0.8128675 = 3.1580675 x4 = x3 + h = 1.75 + 0.25 = 2 Cải tiến y4: y4 = y3 + (h/2) * [f(x3, y3) + f(x4, y*4)] f(x3, y3) = f(1.75, 2.3452) ≈ 3.25147 f(x4, y*4) = f(2, 3.1581) = 2 * 3.1581 - ln(3.1581) ln(3.1581) ≈ 1.15003 f(2, 3.1581) ≈ 6.3162 - 1.15003 = 5.16617 y4 = 2.3452 + (0.25/2) * [3.25147 + 5.16617] = 2.3452 + 0.125 * (8.41764) = 2.3452 + 1.052205 = 3.397405 Làm tròn đến 4 chữ số thập phân: y4 ≈ 3.3974 Vậy, theo phương pháp Euler cải tiến, y(2) ≈ 3.3974. **Kết luận:** - Phương pháp Euler: y(2) ≈ 2.7858 - Phương pháp Euler cải tiến: y(2) ≈ 3.3974 Do không có các lựa chọn đáp án cụ thể để chọn là đúng, nên ta chỉ có thể cung cấp lời giải chi tiết cho câu hỏi này.