Giải phương trình vi phân Cauchy-Euler sau

x2y′′ - 3xy′ + 3y = x⁴ cos x.

Câu hỏi yêu cầu giải bài toán giá trị ban đầu cho một phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ số hằng bằng phương pháp biến đổi Laplace.

Các bước giải bài toán giá trị ban đầu bằng biến đổi Laplace:
1. Áp dụng phép biến đổi Laplace cho cả hai vế của phương trình vi phân.
- Sử dụng các tính chất của biến đổi Laplace cho đạo hàm: $\mathcal{L}\{y''(t)\} = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0)$, $\mathcal{L}\{y'(t)\} = sY(s) - y(0)$, với $Y(s) = \mathcal{L}\{y(t)\}$.
- Áp dụng biến đổi Laplace cho vế phải: $\mathcal{L}\{e^{-3t}\} = \frac{1}{s+3}$.
2. Thay các giá trị ban đầu $y(0)=1$ và $y'(0)=-1$ vào phương trình sau khi biến đổi Laplace.
3. Giải phương trình đại số tìm $Y(s)$.
- Phương trình sau biến đổi Laplace là: $(s^2Y(s) - s(1) - (-1)) - 3(sY(s) - 1) + 2Y(s) = \frac{1}{s+3}$.
- Rút gọn: $s^2Y(s) - s + 1 - 3sY(s) + 3 + 2Y(s) = \frac{1}{s+3}$.
- Gom các số hạng chứa $Y(s)$: $(s^2 - 3s + 2)Y(s) - s + 4 = \frac{1}{s+3}$.
- Chuyển vế: $(s^2 - 3s + 2)Y(s) = s - 4 + \frac{1}{s+3}$.
- Tìm mẫu số chung: $(s^2 - 3s + 2)Y(s) = \frac{(s-4)(s+3) + 1}{s+3} = \frac{s^2 - s - 12 + 1}{s+3} = \frac{s^2 - s - 11}{s+3}$.
- Giải tìm $Y(s)$: $Y(s) = \frac{s^2 - s - 11}{(s+3)(s^2 - 3s + 2)}$.
4. Phân tích $Y(s)$ thành các phân thức đơn giản hơn bằng phương pháp phân tích thành phân thức tối giản (partial fraction decomposition).
- Phân tích mẫu số: $s^2 - 3s + 2 = (s-1)(s-2)$.
- Vậy $Y(s) = \frac{s^2 - s - 11}{(s+3)(s-1)(s-2)}$.
- Đặt $Y(s) = \frac{A}{s+3} + \frac{B}{s-1} + \frac{C}{s-2}$.
- Nhân hai vế với mẫu số chung: $s^2 - s - 11 = A(s-1)(s-2) + B(s+3)(s-2) + C(s+3)(s-1)$.
- Tìm các hệ số A, B, C:
- Cho $s=1$: $1^2 - 1 - 11 = B(1+3)(1-2) \Rightarrow -11 = B(4)(-1) \Rightarrow -11 = -4B \Rightarrow B = \frac{11}{4}$.
- Cho $s=2$: $2^2 - 2 - 11 = C(2+3)(2-1) \Rightarrow 4 - 2 - 11 = C(5)(1) \Rightarrow -9 = 5C \Rightarrow C = -\frac{9}{5}$.
- Cho $s=-3$: $(-3)^2 - (-3) - 11 = A(-3-1)(-3-2) \Rightarrow 9 + 3 - 11 = A(-4)(-5) \Rightarrow 1 = 20A \Rightarrow A = \frac{1}{20}$.
- Vậy $Y(s) = \frac{1/20}{s+3} + \frac{11/4}{s-1} - \frac{9/5}{s-2}$.
5. Tìm phép biến đổi Laplace ngược của $Y(s)$ để tìm $y(t)$.
- Sử dụng các phép biến đổi Laplace ngược cơ bản: $\mathcal{L}^{-1}\{\frac{1}{s-a}\} = e^{at}$.
- $y(t) = \mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\} = \frac{1}{20}\mathcal{L}^{-1}\{\frac{1}{s+3}\} + \frac{11}{4}\mathcal{L}^{-1}\{\frac{1}{s-1}\} - \frac{9}{5}\mathcal{L}^{-1}\{\frac{1}{s-2}\}$.
- $y(t) = \frac{1}{20}e^{-3t} + \frac{11}{4}e^{t} - \frac{9}{5}e^{2t}$.

Vì câu hỏi không cung cấp các lựa chọn đáp án (dạng trắc nghiệm), nên không có 'answer_iscorrect' là số thứ tự. Nếu đây là câu hỏi tự luận cần cung cấp đáp án, thì đáp án là $y(t) = \frac{1}{20}e^{-3t} + \frac{11}{4}e^{t} - \frac{9}{5}e^{2t}$. Tuy nhiên, theo yêu cầu chỉ định 'answer_iscorrect' là số thứ tự 1-based của đáp án đúng hoặc null nếu không có, và câu hỏi không có đáp án để chọn, ta đặt là 'null'.

Để chứng tỏ phương trình vi phân (x^2 + 2y^2)dx - xydy = 0 là phương trình vi phân thuần nhất, ta cần kiểm tra xem nó có dạng M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0, trong đó M(x, y) và N(x, y) là các hàm thuần nhất cùng bậc hay không.

Ta có M(x, y) = x^2 + 2y^2 và N(x, y) = -xy.
Kiểm tra tính thuần nhất của M(x, y): M(tx, ty) = (tx)^2 + 2(ty)^2 = t^2x^2 + 2t^2y^2 = t^2(x^2 + 2y^2) = t^2M(x, y). Vậy M(x, y) là hàm thuần nhất bậc 2.
Kiểm tra tính thuần nhất của N(x, y): N(tx, ty) = -(tx)(ty) = -t^2xy = t^2(-xy) = t^2N(x, y). Vậy N(x, y) là hàm thuần nhất bậc 2.
Do cả M(x, y) và N(x, y) đều là các hàm thuần nhất bậc 2, nên phương trình vi phân đã cho là phương trình vi phân thuần nhất.

Để tìm nghiệm của phương trình, ta đặt y = vx, suy ra dy = vdx + xdv. Thay vào phương trình vi phân:
(x^2 + 2(vx)^2)dx - x(vx)(vdx + xdv) = 0
(x^2 + 2v^2x^2)dx - vx^2(vdx + xdv) = 0
x^2(1 + 2v^2)dx - vx^3(vdx + xdv) = 0
Chia cả hai vế cho x^3 (với x khác 0):
(1/x)(1 + 2v^2)dx - v(vdx + xdv) = 0
(1/x)(1 + 2v^2)dx - v^2dx - vx dv = 0
[(1/x) + 2v^2/x - v^2]dx - vx dv = 0
[(1 + 2v^2 - v^2x)/x]dx - vx dv = 0
(1 + v^2)/x dx = v dv

Đây là phương trình vi phân tách biến. Tách biến ta có:
(1 + v^2)/v dv = x dx

Lấy tích phân hai vế:
∫(1 + v^2)/v dv = ∫x dx
∫(1/v + v) dv = ∫x dx
ln|v| + v^2/2 = x^2/2 + C1

Thay v = y/x vào:
ln|y/x| + (y/x)^2/2 = x^2/2 + C1

Sử dụng điều kiện ban đầu y(-1) = 1 để tìm hằng số C1.
Khi x = -1, y = 1:
ln|1/(-1)| + (1/(-1))^2/2 = (-1)^2/2 + C1
ln(1) + (-1)^2/2 = 1/2 + C1
0 + 1/2 = 1/2 + C1
C1 = 0

Vậy nghiệm riêng của phương trình là:
ln|y/x| + (y/x)^2/2 = x^2/2

Câu hỏi yêu cầu áp dụng phương pháp Euler và phương pháp Euler cải tiến để tìm giá trị gần đúng của nghiệm tại y(2) cho phương trình vi phân y′ = xy - ln y với điều kiện ban đầu y(1) = 1 và bước chia h = 0.25. Đây là bài toán áp dụng các phương pháp số để giải phương trình vi phân thường bậc nhất.

Phân tích bài toán:
Chúng ta có phương trình vi phân: y' = f(x, y) = xy - ln y
Điều kiện ban đầu: (x0, y0) = (1, 1)
Bước chia: h = 0.25
Mục tiêu: Tính y(2) bằng hai phương pháp và ghi rõ kết quả từng bước.

1. Phương pháp Euler:
Công thức nghiệm số: y_{i+1} = y_i + h * f(x_i, y_i)
Và x_{i+1} = x_i + h

Chúng ta cần tính các giá trị sau:
- i = 0: x0 = 1, y0 = 1
y1 = y0 + h * f(x0, y0) = 1 + 0.25 * (1*1 - ln(1)) = 1 + 0.25 * (1 - 0) = 1 + 0.25 = 1.25
x1 = x0 + h = 1 + 0.25 = 1.25

- i = 1: x1 = 1.25, y1 = 1.25
y2 = y1 + h * f(x1, y1) = 1.25 + 0.25 * (1.25 * 1.25 - ln(1.25))
ln(1.25) ≈ 0.22314355
y2 = 1.25 + 0.25 * (1.5625 - 0.22314355) = 1.25 + 0.25 * (1.33935645) = 1.25 + 0.33483911 = 1.58483911
Làm tròn đến 4 chữ số thập phân: y2 ≈ 1.5848
x2 = x1 + h = 1.25 + 0.25 = 1.5

- i = 2: x2 = 1.5, y2 ≈ 1.5848
y3 = y2 + h * f(x2, y2) = 1.5848 + 0.25 * (1.5 * 1.5848 - ln(1.5848))
ln(1.5848) ≈ 0.4606515
y3 = 1.5848 + 0.25 * (2.3772 - 0.4606515) = 1.5848 + 0.25 * (1.9165485) = 1.5848 + 0.479137125 = 2.063937125
Làm tròn đến 4 chữ số thập phân: y3 ≈ 2.0639
x3 = x2 + h = 1.5 + 0.25 = 1.75

- i = 3: x3 = 1.75, y3 ≈ 2.0639
y4 = y3 + h * f(x3, y3) = 2.0639 + 0.25 * (1.75 * 2.0639 - ln(2.0639))
ln(2.0639) ≈ 0.7242633
y4 = 2.0639 + 0.25 * (3.611825 - 0.7242633) = 2.0639 + 0.25 * (2.8875617) = 2.0639 + 0.721890425 = 2.785790425
Làm tròn đến 4 chữ số thập phân: y4 ≈ 2.7858
x4 = x3 + h = 1.75 + 0.25 = 2

Vậy, theo phương pháp Euler, y(2) ≈ 2.7858.

2. Phương pháp Euler cải tiến (Modified Euler hay Heun's method):
Công thức nghiệm số:
y*_{i+1} = y_i + h * f(x_i, y_i) (dự đoán giá trị y_{i+1})
y_{i+1} = y_i + (h/2) * [f(x_i, y_i) + f(x_{i+1}, y*_{i+1})] (cải tiến giá trị)
Và x_{i+1} = x_i + h

Chúng ta cần tính các giá trị sau:
- i = 0: x0 = 1, y0 = 1
Dự đoán y*1: y*1 = y0 + h * f(x0, y0) = 1 + 0.25 * (1*1 - ln(1)) = 1 + 0.25 * 1 = 1.25
x1 = x0 + h = 1 + 0.25 = 1.25
Cải tiến y1: y1 = y0 + (h/2) * [f(x0, y0) + f(x1, y*1)]
f(x0, y0) = 1*1 - ln(1) = 1
f(x1, y*1) = f(1.25, 1.25) = 1.25 * 1.25 - ln(1.25) ≈ 1.5625 - 0.22314355 = 1.33935645
y1 = 1 + (0.25/2) * [1 + 1.33935645] = 1 + 0.125 * (2.33935645) = 1 + 0.292419556 = 1.292419556
Làm tròn đến 4 chữ số thập phân: y1 ≈ 1.2924

- i = 1: x1 = 1.25, y1 ≈ 1.2924
Dự đoán y*2: y*2 = y1 + h * f(x1, y1) = 1.2924 + 0.25 * (1.25 * 1.2924 - ln(1.2924))
ln(1.2924) ≈ 0.256577
y*2 = 1.2924 + 0.25 * (1.6155 - 0.256577) = 1.2924 + 0.25 * (1.358923) = 1.2924 + 0.33973075 = 1.63213075
x2 = x1 + h = 1.25 + 0.25 = 1.5
Cải tiến y2: y2 = y1 + (h/2) * [f(x1, y1) + f(x2, y*2)]
f(x1, y1) = f(1.25, 1.2924) ≈ 1.358923
f(x2, y*2) = f(1.5, 1.6321) = 1.5 * 1.6321 - ln(1.6321)
ln(1.6321) ≈ 0.489843
f(1.5, 1.6321) ≈ 2.44815 - 0.489843 = 1.958307
y2 = 1.2924 + (0.25/2) * [1.358923 + 1.958307] = 1.2924 + 0.125 * (3.31723) = 1.2924 + 0.41465375 = 1.70705375
Làm tròn đến 4 chữ số thập phân: y2 ≈ 1.7071

- i = 2: x2 = 1.5, y2 ≈ 1.7071
Dự đoán y*3: y*3 = y2 + h * f(x2, y2) = 1.7071 + 0.25 * (1.5 * 1.7071 - ln(1.7071))
ln(1.7071) ≈ 0.53474
y*3 = 1.7071 + 0.25 * (2.56065 - 0.53474) = 1.7071 + 0.25 * (2.02591) = 1.7071 + 0.5064775 = 2.2135775
x3 = x2 + h = 1.5 + 0.25 = 1.75
Cải tiến y3: y3 = y2 + (h/2) * [f(x2, y2) + f(x3, y*3)]
f(x2, y2) = f(1.5, 1.7071) ≈ 2.02591
f(x3, y*3) = f(1.75, 2.2136) = 1.75 * 2.2136 - ln(2.2136)
ln(2.2136) ≈ 0.79456
f(1.75, 2.2136) ≈ 3.8738 - 0.79456 = 3.07924
y3 = 1.7071 + (0.25/2) * [2.02591 + 3.07924] = 1.7071 + 0.125 * (5.10515) = 1.7071 + 0.63814375 = 2.34524375
Làm tròn đến 4 chữ số thập phân: y3 ≈ 2.3452

- i = 3: x3 = 1.75, y3 ≈ 2.3452
Dự đoán y*4: y*4 = y3 + h * f(x3, y3) = 2.3452 + 0.25 * (1.75 * 2.3452 - ln(2.3452))
ln(2.3452) ≈ 0.85263
y*4 = 2.3452 + 0.25 * (4.1041 - 0.85263) = 2.3452 + 0.25 * (3.25147) = 2.3452 + 0.8128675 = 3.1580675
x4 = x3 + h = 1.75 + 0.25 = 2
Cải tiến y4: y4 = y3 + (h/2) * [f(x3, y3) + f(x4, y*4)]
f(x3, y3) = f(1.75, 2.3452) ≈ 3.25147
f(x4, y*4) = f(2, 3.1581) = 2 * 3.1581 - ln(3.1581)
ln(3.1581) ≈ 1.15003
f(2, 3.1581) ≈ 6.3162 - 1.15003 = 5.16617
y4 = 2.3452 + (0.25/2) * [3.25147 + 5.16617] = 2.3452 + 0.125 * (8.41764) = 2.3452 + 1.052205 = 3.397405
Làm tròn đến 4 chữ số thập phân: y4 ≈ 3.3974

Vậy, theo phương pháp Euler cải tiến, y(2) ≈ 3.3974.

Kết luận:
- Phương pháp Euler: y(2) ≈ 2.7858
- Phương pháp Euler cải tiến: y(2) ≈ 3.3974

Do không có các lựa chọn đáp án cụ thể để chọn là đúng, nên ta chỉ có thể cung cấp lời giải chi tiết cho câu hỏi này.

Câu hỏi này kiểm tra hai kỹ năng chính trong đại số tuyến tính: phép nhân ma trận và giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss-Jordan (biện luận theo tham số).

Phần a) yêu cầu tính tích của hai ma trận A và B. Để thực hiện phép nhân ma trận, số cột của ma trận thứ nhất (A) phải bằng số hàng của ma trận thứ hai (B). Ma trận A có kích thước 3x2 và ma trận B có kích thước 2x3. Do đó, tích AB là khả thi và sẽ cho kết quả là một ma trận có kích thước 3x3. Các phần tử của ma trận kết quả được tính bằng tổng của các tích tương ứng của các phần tử trên hàng của ma trận thứ nhất và cột của ma trận thứ hai. Cụ thể, phần tử ở hàng i, cột j của ma trận AB là tổng của (phần tử ở hàng i, cột k của A) nhân với (phần tử ở hàng k, cột j của B) với k chạy từ 1 đến số cột của A (hoặc số hàng của B). Công thức tổng quát cho phần tử $c_{ij}$ của ma trận $C = AB$ là $c_{ij} = \sum_{k=1}^{p} a_{ik} b_{kj}$, với $p$ là số cột của A (cũng là số hàng của B).

Phần b) yêu cầu giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính theo tham số m. Đây là một hệ 3 phương trình 3 ẩn. Phương pháp phổ biến để giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính là sử dụng ma trận bổ sung và đưa về dạng bậc thang rút gọn bằng phép biến đổi sơ cấp trên hàng (phương pháp Gauss-Jordan). Đầu tiên, ta thiết lập ma trận bổ sung cho hệ phương trình. Sau đó, thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên hàng để đưa ma trận này về dạng bậc thang rút gọn. Trong quá trình biến đổi, sự xuất hiện của các trường hợp khác nhau (ví dụ: có hàng dạng [0 0 0 | d] với d khác 0, hoặc có hàng chỉ chứa số 0 ở vế trái) sẽ phụ thuộc vào giá trị của tham số m. Dựa vào các trường hợp này, ta sẽ biện luận và đưa ra nghiệm hoặc kết luận về số nghiệm của hệ phương trình tương ứng với từng giá trị của m.

Đối với phần a), ta thực hiện phép nhân: $AB = \begin{pmatrix} m & 3 \\ -2 & 2 \\ 5 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ -2 & -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} m(1) + 3(-2) & m(2) + 3(-3) & m(0) + 3(1) \\ (-2)(1) + 2(-2) & (-2)(2) + 2(-3) & (-2)(0) + 2(1) \\ 5(1) + 4(-2) & 5(2) + 4(-3) & 5(0) + 4(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} m-6 & 2m-9 & 3 \\ -6 & -10 & 2 \\ -3 & -2 & 4 \end{pmatrix}$.

Đối với phần b), ta lập ma trận bổ sung: $\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & | & 8 \\ 2 & -1 & 1 & | & 3 \\ -1 & 1 & m & | & 4 \end{pmatrix}$.
Thực hiện phép biến đổi sơ cấp trên hàng:
$H_2 \leftarrow H_2 - 2H_1$: $\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & | & 8 \\ 0 & 1 & 3 & | & -13 \\ -1 & 1 & m & | & 4 \end{pmatrix}$
$H_3 \leftarrow H_3 + H_1$: $\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & | & 8 \\ 0 & 1 & 3 & | & -13 \\ 0 & 0 & m-1 & | & 12 \end{pmatrix}$.

Bây giờ, ta xét các trường hợp dựa trên phần tử $m-1$:
Trường hợp 1: $m-1 \neq 0 \Leftrightarrow m \neq 1$.
Khi đó, hệ có duy nhất một nghiệm. Từ hàng thứ ba, ta có $(m-1)x_3 = 12 \Rightarrow x_3 = \frac{12}{m-1}$.
Từ hàng thứ hai, $x_2 + 3x_3 = -13 \Rightarrow x_2 = -13 - 3x_3 = -13 - 3\left(\frac{12}{m-1}\right) = -13 - \frac{36}{m-1} = \frac{-13(m-1) - 36}{m-1} = \frac{-13m + 13 - 36}{m-1} = \frac{-13m - 23}{m-1}$.
Từ hàng thứ nhất, $x_1 - x_2 - x_3 = 8 \Rightarrow x_1 = 8 + x_2 + x_3 = 8 + \frac{-13m - 23}{m-1} + \frac{12}{m-1} = 8 + \frac{-13m - 23 + 12}{m-1} = 8 + \frac{-13m - 11}{m-1} = \frac{8(m-1) - 13m - 11}{m-1} = \frac{8m - 8 - 13m - 11}{m-1} = \frac{-5m - 19}{m-1}$.
Vậy, khi $m \neq 1$, hệ có nghiệm duy nhất là $x_1 = \frac{-5m-19}{m-1}$, $x_2 = \frac{-13m-23}{m-1}$, $x_3 = \frac{12}{m-1}$.

Trường hợp 2: $m-1 = 0 \Leftrightarrow m = 1$.
Khi đó, hàng thứ ba của ma trận trở thành [0 0 0 | 12]. Phương trình tương ứng là $0x_1 + 0x_2 + 0x_3 = 12$, tức là $0 = 12$, điều này vô lý. Do đó, khi $m = 1$, hệ phương trình vô nghiệm.

Kết luận:
- Nếu $m \neq 1$, hệ có nghiệm duy nhất $x_1 = \frac{-5m-19}{m-1}$, $x_2 = \frac{-13m-23}{m-1}$, $x_3 = \frac{12}{m-1}$.
- Nếu $m = 1$, hệ vô nghiệm.