Giải bài toán giá trị ban đầu sau bằng cách SỬ DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE

y′′ - 3y′ + 2y = e^-3t, y(0) = 1, y′(0) = -1.

Để chứng tỏ phương trình vi phân (x^2 + 2y^2)dx - xydy = 0 là phương trình vi phân thuần nhất, ta cần kiểm tra xem nó có dạng M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0, trong đó M(x, y) và N(x, y) là các hàm thuần nhất cùng bậc hay không.

Ta có M(x, y) = x^2 + 2y^2 và N(x, y) = -xy.
Kiểm tra tính thuần nhất của M(x, y): M(tx, ty) = (tx)^2 + 2(ty)^2 = t^2x^2 + 2t^2y^2 = t^2(x^2 + 2y^2) = t^2M(x, y). Vậy M(x, y) là hàm thuần nhất bậc 2.
Kiểm tra tính thuần nhất của N(x, y): N(tx, ty) = -(tx)(ty) = -t^2xy = t^2(-xy) = t^2N(x, y). Vậy N(x, y) là hàm thuần nhất bậc 2.
Do cả M(x, y) và N(x, y) đều là các hàm thuần nhất bậc 2, nên phương trình vi phân đã cho là phương trình vi phân thuần nhất.

Để tìm nghiệm của phương trình, ta đặt y = vx, suy ra dy = vdx + xdv. Thay vào phương trình vi phân:
(x^2 + 2(vx)^2)dx - x(vx)(vdx + xdv) = 0
(x^2 + 2v^2x^2)dx - vx^2(vdx + xdv) = 0
x^2(1 + 2v^2)dx - vx^3(vdx + xdv) = 0
Chia cả hai vế cho x^3 (với x khác 0):
(1/x)(1 + 2v^2)dx - v(vdx + xdv) = 0
(1/x)(1 + 2v^2)dx - v^2dx - vx dv = 0
[(1/x) + 2v^2/x - v^2]dx - vx dv = 0
[(1 + 2v^2 - v^2x)/x]dx - vx dv = 0
(1 + v^2)/x dx = v dv

Đây là phương trình vi phân tách biến. Tách biến ta có:
(1 + v^2)/v dv = x dx

Lấy tích phân hai vế:
∫(1 + v^2)/v dv = ∫x dx
∫(1/v + v) dv = ∫x dx
ln|v| + v^2/2 = x^2/2 + C1

Thay v = y/x vào:
ln|y/x| + (y/x)^2/2 = x^2/2 + C1

Sử dụng điều kiện ban đầu y(-1) = 1 để tìm hằng số C1.
Khi x = -1, y = 1:
ln|1/(-1)| + (1/(-1))^2/2 = (-1)^2/2 + C1
ln(1) + (-1)^2/2 = 1/2 + C1
0 + 1/2 = 1/2 + C1
C1 = 0

Vậy nghiệm riêng của phương trình là:
ln|y/x| + (y/x)^2/2 = x^2/2

Câu hỏi yêu cầu áp dụng phương pháp Euler và phương pháp Euler cải tiến để tìm giá trị gần đúng của nghiệm tại y(2) cho phương trình vi phân y′ = xy - ln y với điều kiện ban đầu y(1) = 1 và bước chia h = 0.25. Đây là bài toán áp dụng các phương pháp số để giải phương trình vi phân thường bậc nhất.

Phân tích bài toán:
Chúng ta có phương trình vi phân: y' = f(x, y) = xy - ln y
Điều kiện ban đầu: (x0, y0) = (1, 1)
Bước chia: h = 0.25
Mục tiêu: Tính y(2) bằng hai phương pháp và ghi rõ kết quả từng bước.

1. Phương pháp Euler:
Công thức nghiệm số: y_{i+1} = y_i + h * f(x_i, y_i)
Và x_{i+1} = x_i + h

Chúng ta cần tính các giá trị sau:
- i = 0: x0 = 1, y0 = 1
y1 = y0 + h * f(x0, y0) = 1 + 0.25 * (1*1 - ln(1)) = 1 + 0.25 * (1 - 0) = 1 + 0.25 = 1.25
x1 = x0 + h = 1 + 0.25 = 1.25

- i = 1: x1 = 1.25, y1 = 1.25
y2 = y1 + h * f(x1, y1) = 1.25 + 0.25 * (1.25 * 1.25 - ln(1.25))
ln(1.25) ≈ 0.22314355
y2 = 1.25 + 0.25 * (1.5625 - 0.22314355) = 1.25 + 0.25 * (1.33935645) = 1.25 + 0.33483911 = 1.58483911
Làm tròn đến 4 chữ số thập phân: y2 ≈ 1.5848
x2 = x1 + h = 1.25 + 0.25 = 1.5

- i = 2: x2 = 1.5, y2 ≈ 1.5848
y3 = y2 + h * f(x2, y2) = 1.5848 + 0.25 * (1.5 * 1.5848 - ln(1.5848))
ln(1.5848) ≈ 0.4606515
y3 = 1.5848 + 0.25 * (2.3772 - 0.4606515) = 1.5848 + 0.25 * (1.9165485) = 1.5848 + 0.479137125 = 2.063937125
Làm tròn đến 4 chữ số thập phân: y3 ≈ 2.0639
x3 = x2 + h = 1.5 + 0.25 = 1.75

- i = 3: x3 = 1.75, y3 ≈ 2.0639
y4 = y3 + h * f(x3, y3) = 2.0639 + 0.25 * (1.75 * 2.0639 - ln(2.0639))
ln(2.0639) ≈ 0.7242633
y4 = 2.0639 + 0.25 * (3.611825 - 0.7242633) = 2.0639 + 0.25 * (2.8875617) = 2.0639 + 0.721890425 = 2.785790425
Làm tròn đến 4 chữ số thập phân: y4 ≈ 2.7858
x4 = x3 + h = 1.75 + 0.25 = 2

Vậy, theo phương pháp Euler, y(2) ≈ 2.7858.

2. Phương pháp Euler cải tiến (Modified Euler hay Heun's method):
Công thức nghiệm số:
y*_{i+1} = y_i + h * f(x_i, y_i) (dự đoán giá trị y_{i+1})
y_{i+1} = y_i + (h/2) * [f(x_i, y_i) + f(x_{i+1}, y*_{i+1})] (cải tiến giá trị)
Và x_{i+1} = x_i + h

Chúng ta cần tính các giá trị sau:
- i = 0: x0 = 1, y0 = 1
Dự đoán y*1: y*1 = y0 + h * f(x0, y0) = 1 + 0.25 * (1*1 - ln(1)) = 1 + 0.25 * 1 = 1.25
x1 = x0 + h = 1 + 0.25 = 1.25
Cải tiến y1: y1 = y0 + (h/2) * [f(x0, y0) + f(x1, y*1)]
f(x0, y0) = 1*1 - ln(1) = 1
f(x1, y*1) = f(1.25, 1.25) = 1.25 * 1.25 - ln(1.25) ≈ 1.5625 - 0.22314355 = 1.33935645
y1 = 1 + (0.25/2) * [1 + 1.33935645] = 1 + 0.125 * (2.33935645) = 1 + 0.292419556 = 1.292419556
Làm tròn đến 4 chữ số thập phân: y1 ≈ 1.2924

- i = 1: x1 = 1.25, y1 ≈ 1.2924
Dự đoán y*2: y*2 = y1 + h * f(x1, y1) = 1.2924 + 0.25 * (1.25 * 1.2924 - ln(1.2924))
ln(1.2924) ≈ 0.256577
y*2 = 1.2924 + 0.25 * (1.6155 - 0.256577) = 1.2924 + 0.25 * (1.358923) = 1.2924 + 0.33973075 = 1.63213075
x2 = x1 + h = 1.25 + 0.25 = 1.5
Cải tiến y2: y2 = y1 + (h/2) * [f(x1, y1) + f(x2, y*2)]
f(x1, y1) = f(1.25, 1.2924) ≈ 1.358923
f(x2, y*2) = f(1.5, 1.6321) = 1.5 * 1.6321 - ln(1.6321)
ln(1.6321) ≈ 0.489843
f(1.5, 1.6321) ≈ 2.44815 - 0.489843 = 1.958307
y2 = 1.2924 + (0.25/2) * [1.358923 + 1.958307] = 1.2924 + 0.125 * (3.31723) = 1.2924 + 0.41465375 = 1.70705375
Làm tròn đến 4 chữ số thập phân: y2 ≈ 1.7071

- i = 2: x2 = 1.5, y2 ≈ 1.7071
Dự đoán y*3: y*3 = y2 + h * f(x2, y2) = 1.7071 + 0.25 * (1.5 * 1.7071 - ln(1.7071))
ln(1.7071) ≈ 0.53474
y*3 = 1.7071 + 0.25 * (2.56065 - 0.53474) = 1.7071 + 0.25 * (2.02591) = 1.7071 + 0.5064775 = 2.2135775
x3 = x2 + h = 1.5 + 0.25 = 1.75
Cải tiến y3: y3 = y2 + (h/2) * [f(x2, y2) + f(x3, y*3)]
f(x2, y2) = f(1.5, 1.7071) ≈ 2.02591
f(x3, y*3) = f(1.75, 2.2136) = 1.75 * 2.2136 - ln(2.2136)
ln(2.2136) ≈ 0.79456
f(1.75, 2.2136) ≈ 3.8738 - 0.79456 = 3.07924
y3 = 1.7071 + (0.25/2) * [2.02591 + 3.07924] = 1.7071 + 0.125 * (5.10515) = 1.7071 + 0.63814375 = 2.34524375
Làm tròn đến 4 chữ số thập phân: y3 ≈ 2.3452

- i = 3: x3 = 1.75, y3 ≈ 2.3452
Dự đoán y*4: y*4 = y3 + h * f(x3, y3) = 2.3452 + 0.25 * (1.75 * 2.3452 - ln(2.3452))
ln(2.3452) ≈ 0.85263
y*4 = 2.3452 + 0.25 * (4.1041 - 0.85263) = 2.3452 + 0.25 * (3.25147) = 2.3452 + 0.8128675 = 3.1580675
x4 = x3 + h = 1.75 + 0.25 = 2
Cải tiến y4: y4 = y3 + (h/2) * [f(x3, y3) + f(x4, y*4)]
f(x3, y3) = f(1.75, 2.3452) ≈ 3.25147
f(x4, y*4) = f(2, 3.1581) = 2 * 3.1581 - ln(3.1581)
ln(3.1581) ≈ 1.15003
f(2, 3.1581) ≈ 6.3162 - 1.15003 = 5.16617
y4 = 2.3452 + (0.25/2) * [3.25147 + 5.16617] = 2.3452 + 0.125 * (8.41764) = 2.3452 + 1.052205 = 3.397405
Làm tròn đến 4 chữ số thập phân: y4 ≈ 3.3974

Vậy, theo phương pháp Euler cải tiến, y(2) ≈ 3.3974.

Kết luận:
- Phương pháp Euler: y(2) ≈ 2.7858
- Phương pháp Euler cải tiến: y(2) ≈ 3.3974

Do không có các lựa chọn đáp án cụ thể để chọn là đúng, nên ta chỉ có thể cung cấp lời giải chi tiết cho câu hỏi này.

Câu hỏi này kiểm tra hai kỹ năng chính trong đại số tuyến tính: phép nhân ma trận và giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss-Jordan (biện luận theo tham số).

Phần a) yêu cầu tính tích của hai ma trận A và B. Để thực hiện phép nhân ma trận, số cột của ma trận thứ nhất (A) phải bằng số hàng của ma trận thứ hai (B). Ma trận A có kích thước 3x2 và ma trận B có kích thước 2x3. Do đó, tích AB là khả thi và sẽ cho kết quả là một ma trận có kích thước 3x3. Các phần tử của ma trận kết quả được tính bằng tổng của các tích tương ứng của các phần tử trên hàng của ma trận thứ nhất và cột của ma trận thứ hai. Cụ thể, phần tử ở hàng i, cột j của ma trận AB là tổng của (phần tử ở hàng i, cột k của A) nhân với (phần tử ở hàng k, cột j của B) với k chạy từ 1 đến số cột của A (hoặc số hàng của B). Công thức tổng quát cho phần tử $c_{ij}$ của ma trận $C = AB$ là $c_{ij} = \sum_{k=1}^{p} a_{ik} b_{kj}$, với $p$ là số cột của A (cũng là số hàng của B).

Phần b) yêu cầu giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính theo tham số m. Đây là một hệ 3 phương trình 3 ẩn. Phương pháp phổ biến để giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính là sử dụng ma trận bổ sung và đưa về dạng bậc thang rút gọn bằng phép biến đổi sơ cấp trên hàng (phương pháp Gauss-Jordan). Đầu tiên, ta thiết lập ma trận bổ sung cho hệ phương trình. Sau đó, thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên hàng để đưa ma trận này về dạng bậc thang rút gọn. Trong quá trình biến đổi, sự xuất hiện của các trường hợp khác nhau (ví dụ: có hàng dạng [0 0 0 | d] với d khác 0, hoặc có hàng chỉ chứa số 0 ở vế trái) sẽ phụ thuộc vào giá trị của tham số m. Dựa vào các trường hợp này, ta sẽ biện luận và đưa ra nghiệm hoặc kết luận về số nghiệm của hệ phương trình tương ứng với từng giá trị của m.

Đối với phần a), ta thực hiện phép nhân: $AB = \begin{pmatrix} m & 3 \\ -2 & 2 \\ 5 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ -2 & -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} m(1) + 3(-2) & m(2) + 3(-3) & m(0) + 3(1) \\ (-2)(1) + 2(-2) & (-2)(2) + 2(-3) & (-2)(0) + 2(1) \\ 5(1) + 4(-2) & 5(2) + 4(-3) & 5(0) + 4(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} m-6 & 2m-9 & 3 \\ -6 & -10 & 2 \\ -3 & -2 & 4 \end{pmatrix}$.

Đối với phần b), ta lập ma trận bổ sung: $\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & | & 8 \\ 2 & -1 & 1 & | & 3 \\ -1 & 1 & m & | & 4 \end{pmatrix}$.
Thực hiện phép biến đổi sơ cấp trên hàng:
$H_2 \leftarrow H_2 - 2H_1$: $\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & | & 8 \\ 0 & 1 & 3 & | & -13 \\ -1 & 1 & m & | & 4 \end{pmatrix}$
$H_3 \leftarrow H_3 + H_1$: $\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & | & 8 \\ 0 & 1 & 3 & | & -13 \\ 0 & 0 & m-1 & | & 12 \end{pmatrix}$.

Bây giờ, ta xét các trường hợp dựa trên phần tử $m-1$:
Trường hợp 1: $m-1 \neq 0 \Leftrightarrow m \neq 1$.
Khi đó, hệ có duy nhất một nghiệm. Từ hàng thứ ba, ta có $(m-1)x_3 = 12 \Rightarrow x_3 = \frac{12}{m-1}$.
Từ hàng thứ hai, $x_2 + 3x_3 = -13 \Rightarrow x_2 = -13 - 3x_3 = -13 - 3\left(\frac{12}{m-1}\right) = -13 - \frac{36}{m-1} = \frac{-13(m-1) - 36}{m-1} = \frac{-13m + 13 - 36}{m-1} = \frac{-13m - 23}{m-1}$.
Từ hàng thứ nhất, $x_1 - x_2 - x_3 = 8 \Rightarrow x_1 = 8 + x_2 + x_3 = 8 + \frac{-13m - 23}{m-1} + \frac{12}{m-1} = 8 + \frac{-13m - 23 + 12}{m-1} = 8 + \frac{-13m - 11}{m-1} = \frac{8(m-1) - 13m - 11}{m-1} = \frac{8m - 8 - 13m - 11}{m-1} = \frac{-5m - 19}{m-1}$.
Vậy, khi $m \neq 1$, hệ có nghiệm duy nhất là $x_1 = \frac{-5m-19}{m-1}$, $x_2 = \frac{-13m-23}{m-1}$, $x_3 = \frac{12}{m-1}$.

Trường hợp 2: $m-1 = 0 \Leftrightarrow m = 1$.
Khi đó, hàng thứ ba của ma trận trở thành [0 0 0 | 12]. Phương trình tương ứng là $0x_1 + 0x_2 + 0x_3 = 12$, tức là $0 = 12$, điều này vô lý. Do đó, khi $m = 1$, hệ phương trình vô nghiệm.

Kết luận:
- Nếu $m \neq 1$, hệ có nghiệm duy nhất $x_1 = \frac{-5m-19}{m-1}$, $x_2 = \frac{-13m-23}{m-1}$, $x_3 = \frac{12}{m-1}$.
- Nếu $m = 1$, hệ vô nghiệm.

Câu hỏi yêu cầu giải phương trình vi phân Cauchy-Euler tuyến tính không thuần nhất bậc hai: x²y'' - 3xy' + 3y = x⁴ cos x.

Để giải phương trình này, chúng ta thực hiện theo các bước sau:

1. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng:
Phương trình thuần nhất là: x²y'' - 3xy' + 3y = 0.
Đây là phương trình Cauchy-Euler. Ta đặt y = x^r. Khi đó, y' = rx^(r-1) và y'' = r(r-1)x^(r-2).
Thay vào phương trình thuần nhất:
x²[r(r-1)x^(r-2)] - 3x[rx^(r-1)] + 3x^r = 0
r(r-1)x^r - 3rx^r + 3x^r = 0
x^r [r(r-1) - 3r + 3] = 0
Vì x^r ≠ 0, ta có phương trình đặc trưng:
r(r-1) - 3r + 3 = 0
r² - r - 3r + 3 = 0
r² - 4r + 3 = 0
(r-1)(r-3) = 0
Vậy, phương trình có hai nghiệm phân biệt: r₁ = 1 và r₂ = 3.
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là: y_h = C₁x¹ + C₂x³ = C₁x + C₂x³.

2. Tìm một nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất:
Phương trình không thuần nhất là: x²y'' - 3xy' + 3y = x⁴ cos x.
Ta chia hai vế cho x² để đưa về dạng chuẩn:
y'' - (3/x)y' + (3/x²)y = x² cos x.
Vế phải của phương trình không thuần nhất là f(x) = x² cos x.
Vì đây là phương trình không thuần nhất có hệ số biến đổi (do có các số hạng 1/x và 1/x²), ta sẽ sử dụng phương pháp biến thiên hằng số (phương pháp Lagrange) để tìm nghiệm riêng y_p.
Giả sử nghiệm riêng có dạng: y_p = u₁(x)y₁(x) + u₂(x)y₂(x), trong đó y₁(x) = x và y₂(x) = x³ là các nghiệm cơ bản của phương trình thuần nhất.
Ta có các hệ phương trình sau để tìm u₁' và u₂':
u₁'y₁ + u₂'y₂ = 0 => u₁'x + u₂'x³ = 0 (1)
u₁'y₁' + u₂'y₂' = f(x) => u₁'(1) + u₂'(3x²) = x² cos x (2) (với y₁'=1, y₂'=3x²)
Từ (1), ta có u₂' = -u₁'(x/x³) = -u₁'/x².
Thay vào (2):
u₁' + (-u₁'/x²)(3x²) = x² cos x
u₁' - 3u₁' = x² cos x
Điều này cho thấy có lỗi ở bước biến đổi phương trình ban đầu sang dạng chuẩn hoặc trong việc áp dụng phương pháp biến thiên hằng số. Cách tiếp cận phổ biến cho phương trình Cauchy-Euler không thuần nhất với vế phải phức tạp là đưa về phương trình vi phân tuyến tính có hệ số hằng bằng phép đổi biến.

Áp dụng phép đổi biến: Đặt x = e^t, suy ra t = ln x. Đặt Y(t) = y(x(t)) = y(e^t).
Ta có các công thức liên hệ:
dy/dx = (dy/dt)(dt/dx) = Y'(t) * (1/x) = Y'(t)e^(-t)
x(dy/dx) = Y'(t)
d²y/dx² = d/dx [Y'(t)e^(-t)] = [d/dt (Y'(t)e^(-t))] * (dt/dx)
= [Y''(t)e^(-t) - Y'(t)e^(-t)] * (1/x)
= (Y''(t) - Y'(t))e^(-2t)
x²(d²y/dx²) = Y''(t) - Y'(t)

Thay vào phương trình ban đầu:
x²y'' - 3xy' + 3y = x⁴ cos x
(Y''(t) - Y'(t)) - 3Y'(t) + 3Y(t) = (e^t)⁴ cos(e^t)
Y''(t) - 4Y'(t) + 3Y(t) = e^(4t) cos(e^t)
Đây là phương trình vi phân tuyến tính bậc hai với hệ số hằng. Phương trình đặc trưng cho phần thuần nhất Y'' - 4Y' + 3Y = 0 là r² - 4r + 3 = 0, với nghiệm r₁ = 1, r₂ = 3.
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là: Y_h(t) = C₁e^t + C₂e^(3t).

Bây giờ ta cần tìm nghiệm riêng Y_p(t) cho phương trình không thuần nhất: Y''(t) - 4Y'(t) + 3Y(t) = e^(4t) cos(e^t).
Vế phải g(t) = e^(4t) cos(e^t) có dạng phức tạp, không thuộc các trường hợp đơn giản của phương pháp hệ số bất định. Ta cần dùng phương pháp biến thiên hằng số cho phương trình với hệ số hằng.
Giả sử nghiệm riêng có dạng: Y_p(t) = u₁(t)e^t + u₂(t)e^(3t).
Ta có hệ phương trình:
u₁'e^t + u₂'e^(3t) = 0 (a)
u₁'e^t + 3u₂'e^(3t) = e^(4t) cos(e^t) (b)
Từ (a), u₂' = -u₁'(e^t / e^(3t)) = -u₁'e^(-2t).
Thay vào (b):
u₁'e^t + 3(-u₁'e^(-2t))e^(3t) = e^(4t) cos(e^t)
u₁'e^t + 3u₁'e^t = e^(4t) cos(e^t)
4u₁'e^t = e^(4t) cos(e^t)
u₁' = (1/4)e^(3t) cos(e^t).
Để tìm u₁, ta cần tích phân u₁'. Tích phân này (∫ (1/4)e^(3t) cos(e^t) dt) không thể tính được bằng các hàm sơ cấp.

Kết luận: Do vế phải của phương trình sau khi đổi biến có dạng e^(4t) cos(e^t), tích phân để tìm nghiệm riêng bằng phương pháp biến thiên hằng số không thể biểu diễn dưới dạng hàm sơ cấp. Do đó, bài toán này có thể không có lời giải dưới dạng hàm sơ cấp hoặc đề bài có thể có sai sót. Trong các bài tập thông thường, vế phải của phương trình sẽ cho phép tìm nghiệm riêng dễ dàng hơn.

Nếu đề bài yêu cầu giải bằng các phương pháp cơ bản, thì với vế phải như đã cho, không thể đưa ra đáp án bằng hàm sơ cấp một cách tường minh.
Tuy nhiên, nếu xem xét các đáp án lựa chọn (nếu có) hoặc nếu bài toán có thể được diễn giải theo một cách khác, thì có thể có lời giải. Nhưng dựa trên phân tích kỹ thuật thông thường, đây là một trường hợp khó.