Tính thông lượng của \(\vec F = (6z - 2{y^3})\vec i + (2x - 3z)\vec j + (2{y^3} - 4x)\vec k\) qua mặt cong \(S:2{x^2} + {y^4} + 3{z^2} = 1,z \ge 0\) hướng lên trên.

Ta sử dụng định lý Gauss (hay định lý phân kỳ) để giải bài toán này. Định lý Gauss nói rằng: \(\iint_S \vec{F} \cdot d\vec{S} = \iiint_V (\nabla \cdot \vec{F}) dV\) Trong đó: - \(S\) là mặt cong kín. - \(V\) là thể tích được bao bởi mặt \(S\). - \(\vec{F}\) là trường vector. - \(\nabla \cdot \vec{F}\) là div của \(\vec{F}\). Tính div của \(\vec{F}\): \(\nabla \cdot \vec{F} = \frac{\partial}{\partial x}(6z - 2y^3) + \frac{\partial}{\partial y}(2x - 3z) + \frac{\partial}{\partial z}(2y^3 - 4x) = 0 + 0 + 0 = 0\) Vậy: \(\iiint_V (\nabla \cdot \vec{F}) dV = \iiint_V 0 dV = 0\) Tuy nhiên, mặt S đã cho không kín. Để áp dụng định lý Gauss, ta cần "đóng" mặt S lại. Mặt S có phương trình \(2x^2 + y^4 + 3z^2 = 1, z \ge 0\). Ta có thể "đóng" mặt S bằng mặt phẳng \(z = 0\). Gọi mặt này là \(S_1\). Khi đó, mặt kín \(S' = S \cup S_1\). Theo định lý Gauss: \(\iint_{S'} \vec{F} \cdot d\vec{S'} = \iint_S \vec{F} \cdot d\vec{S} + \iint_{S_1} \vec{F} \cdot d\vec{S_1} = 0\) Do đó: \(\iint_S \vec{F} \cdot d\vec{S} = - \iint_{S_1} \vec{F} \cdot d\vec{S_1}\) Trên mặt \(S_1: z = 0\), vector pháp tuyến là \(\vec{n} = (0, 0, -1)\) (do hướng xuống dưới). Vậy \(d\vec{S_1} = (0, 0, -1) dA\), với \(dA = dxdy\). \(\vec{F} = (6z - 2y^3, 2x - 3z, 2y^3 - 4x)\), khi \(z = 0\), ta có \(\vec{F} = (-2y^3, 2x, 2y^3 - 4x)\). \(\vec{F} \cdot d\vec{S_1} = (6z - 2y^3, 2x - 3z, 2y^3 - 4x) \cdot (0, 0, -1) dA = -(2y^3 - 4x) dA = (4x - 2y^3) dA\) \(\iint_{S_1} \vec{F} \cdot d\vec{S_1} = \iint_{S_1} (4x - 2y^3) dA\) Mặt \(S_1\) là hình chiếu của \(S\) lên mặt phẳng \(xy\), được cho bởi \(2x^2 + y^4 = 1\). \(\iint_{S_1} 4x dA = 0\) vì tích phân của một hàm lẻ trên một miền đối xứng. \(\iint_{S_1} -2y^3 dA = 0\) vì tích phân của một hàm lẻ trên một miền đối xứng. Vậy \(\iint_{S_1} (4x - 2y^3) dA = 0\). Do đó, \(\iint_S \vec{F} \cdot d\vec{S} = - \iint_{S_1} \vec{F} \cdot d\vec{S_1} = -0 = 0\).