Tính \(\int_{ABC} 5 {y^4}dx - 4{x^3}dy\) với ABC là đường gấp khúc đi qua các điểm \(A(0,1);B(1,0);C(0, - 1)\)

Để tính tích phân đường loại hai \(\int_{ABC} 5 {y^4}dx - 4{x^3}dy\) với ABC là đường gấp khúc đi qua các điểm \(A(0,1);B(1,0);C(0, - 1)\), ta có thể sử dụng định lý Green. Định lý Green phát biểu rằng: \(\oint_C Pdx + Qdy = \iint_D (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})dA\) Trong trường hợp này, ta có \(P = 5y^4\) và \(Q = -4x^3\). Vậy, \(\frac{\partial Q}{\partial x} = -12x^2\) và \(\frac{\partial P}{\partial y} = 20y^3\). Do đó, \(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = -12x^2 - 20y^3\) Vì ABC là đường gấp khúc từ A đến B rồi đến C, ta không thể áp dụng trực tiếp định lý Green trên miền đóng. Tuy nhiên, ta có thể tính tích phân đường trên từng đoạn AB và BC, rồi cộng lại. 1. **Đoạn AB:** Tham số hóa đoạn thẳng AB: \(x = t, y = 1 - t, 0 \le t \le 1\) \(dx = dt, dy = -dt\) \(\int_{AB} 5y^4dx - 4x^3dy = \int_0^1 5(1-t)^4dt + 4t^3dt = \int_0^1 [5(1-4t+6t^2-4t^3+t^4) + 4t^3]dt = \int_0^1 (5 - 20t + 30t^2 - 20t^3 + 5t^4 + 4t^3)dt = \int_0^1 (5 - 20t + 30t^2 - 16t^3 + 5t^4)dt = [5t - 10t^2 + 10t^3 - 4t^4 + t^5]_0^1 = 5 - 10 + 10 - 4 + 1 = 2\) 2. **Đoạn BC:** Tham số hóa đoạn thẳng BC: \(x = 1 - t, y = -t, 0 \le t \le 1\) \(dx = -dt, dy = -dt\) \(\int_{BC} 5y^4dx - 4x^3dy = \int_0^1 5(-t)^4(-dt) - 4(1-t)^3(-dt) = \int_0^1 -5t^4 + 4(1-3t+3t^2-t^3)dt = \int_0^1 (-5t^4 + 4 - 12t + 12t^2 - 4t^3)dt = [-\frac{5}{5}t^5 + 4t - 6t^2 + 4t^3 - t^4]_0^1 = -1 + 4 - 6 + 4 - 1 = 0\) Vậy, \(\int_{ABC} 5y^4dx - 4x^3dy = \int_{AB} 5y^4dx - 4x^3dy + \int_{BC} 5y^4dx - 4x^3dy = 2 + 0 = 2\) Vậy đáp án đúng là A.