Tìm hằng số a,b để biểu thức \([{y^2} + axy + y\sin (xy)]dx + [{x^2} + bxy + x\sin (xy)]dy\) là vi phân toàn phần của một hàm số \(u(x,y)\) nào đó

Câu 8:

Tính khối lượng của đường cong vật chất L có phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \cos t}\\{y = \sin t}\\{0 \le t \le \frac{\pi }{2}}\end{array}} \right.\) biết hàm mật độ là \(p(x,y) = y\)

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để tính khối lượng của đường cong vật chất L, ta sử dụng công thức tích phân đường loại 1:
\[m = \int_L p(x, y) ds\]
Trong đó, \(p(x, y) = y\) là hàm mật độ và \(ds\) là phần tử độ dài cung.

Đường cong L được tham số hóa bởi:
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \cos t}\\{y = \sin t}\\{0 \le t \le \frac{\pi }{2}}\end{array}} \right.\]

Tính đạo hàm của x và y theo t:
\[\frac{dx}{dt} = -\sin t\]
\[\frac{dy}{dt} = \cos t\]

Tính độ dài phần tử cung ds:
\[ds = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} dt = \sqrt{(-\sin t)^2 + (\cos t)^2} dt = \sqrt{\sin^2 t + \cos^2 t} dt = dt\]

Thay vào công thức tính khối lượng:
\[m = \int_L p(x, y) ds = \int_0^{\frac{\pi}{2}} y dt = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin t dt\]

Tính tích phân:
\[m = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin t dt = [-\cos t]_0^{\frac{\pi}{2}} = -\cos(\frac{\pi}{2}) + \cos(0) = -0 + 1 = 1\]

Vậy, khối lượng của đường cong vật chất L là 1 (đvkl).

Câu 9:

Cho là phía ngoài mặt \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 1\) với điều kiện \(x \ge 0,y \ge 0,z \ge 0\). Chọn đáp án gần nhất với kết quả của I

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Bài toán yêu cầu tính tích phân trên một phần của mặt cầu. Do không có thông tin về hàm cần tích phân, ta không thể tính trực tiếp giá trị của I. Tuy nhiên, dựa vào các đáp án cho trước, ta có thể suy đoán đây là một bài toán mẹo hoặc có một số thông tin bị thiếu. Vì không có thông tin gì thêm về tích phân I, nên không thể xác định đáp án chính xác. Trong trường hợp này, không có đáp án đúng.

Câu 10:

Tính với S là mặt \(2z = {x^2} + {y^2},z \le 2\) theo chiều âm của trục Ox

Lời giải:

Đáp án đúng: C

The problem requires calculating a surface integral over the surface S defined by 2z = x^2 + y^2, with z <= 2, oriented with the negative x-axis. Without a specific vector field to integrate, a general approach is outlined. First, parametrize the surface. Then, compute the normal vector. Finally, set up the surface integral based on the given orientation. The absence of a vector field in the integral prevents a numerical answer.

Câu 11:

Tính với \(S\) là mặt nằm trong của nửa cầu \(z = - \sqrt {16 - ({x^2} + {y^2} + {z^2})} \)

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Câu hỏi này yêu cầu tính một tích phân mặt trên một nửa mặt cầu. Để giải quyết bài toán này, ta cần sử dụng các kiến thức về tích phân mặt loại 2 và cách tham số hóa mặt cầu.

Tuy nhiên, câu hỏi có vẻ không đầy đủ vì không cung cấp biểu thức tích phân cần tính trên mặt S. Do đó, không thể xác định đáp án chính xác mà không có thông tin này. Các đáp án A, B, C, D chỉ là các con số, và không có cơ sở để lựa chọn một đáp án cụ thể nào là đúng nếu không biết biểu thức tích phân.

Vì thiếu thông tin quan trọng để giải quyết bài toán, không thể xác định đáp án đúng.

Câu 12:

Tính diện tích mặt \(S\): \(z = \sqrt {{x^2} + {y^2}} ,z \le 3\)

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để tính diện tích mặt S cho bởi \(z = \sqrt{x^2 + y^2}, z \le 3\), ta thực hiện các bước sau:

1. Tham số hóa mặt S: Sử dụng tọa độ cực, đặt \(x = r\cos\theta\) và \(y = r\sin\theta\). Khi đó, \(z = \sqrt{r^2} = r\).
Vì \(z \le 3\), suy ra \(0 \le r \le 3\) và \(0 \le \theta \le 2\pi\).

2. Tính các đạo hàm riêng:
Ta có \(\vec{r}(r, \theta) = (r\cos\theta, r\sin\theta, r)\).
Tính các đạo hàm riêng:
\(\frac{\partial \vec{r}}{\partial r} = (\cos\theta, \sin\theta, 1)\)
\(\frac{\partial \vec{r}}{\partial \theta} = (-r\sin\theta, r\cos\theta, 0)\)

3. Tính tích có hướng:
\(\frac{\partial \vec{r}}{\partial r} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial \theta} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \cos\theta & \sin\theta & 1 \\ -r\sin\theta & r\cos\theta & 0 \end{vmatrix} = (-r\cos\theta, -r\sin\theta, r(\cos^2\theta + \sin^2\theta)) = (-r\cos\theta, -r\sin\theta, r)\)

4. Tính độ dài của tích có hướng:
\(|\frac{\partial \vec{r}}{\partial r} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial \theta}| = \sqrt{(-r\cos\theta)^2 + (-r\sin\theta)^2 + r^2} = \sqrt{r^2\cos^2\theta + r^2\sin^2\theta + r^2} = \sqrt{r^2 + r^2} = \sqrt{2r^2} = r\sqrt{2}\)

5. Tính diện tích mặt S:
\(A(S) = \iint_D |\frac{\partial \vec{r}}{\partial r} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial \theta}| dA = \int_0^{2\pi} \int_0^3 r\sqrt{2} dr d\theta = \sqrt{2} \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^3 r dr = \sqrt{2} (2\pi) [\frac{r^2}{2}]_0^3 = \sqrt{2} (2\pi) (\frac{9}{2}) = 9\pi\sqrt{2}\)

Vậy, diện tích mặt S là \(9\pi\sqrt{2}\).

Câu 13:

Cho \(u(x,y,z) = {x^3} + 3y{x^2} + 2y{z^2}\). Tính \(\frac{{\partial u}}{{\partial \overrightarrow n }}(A)\) với \(\vec n\) là vecto pháp tuyến hướng ra ngoài của mặt cầu \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 3,z \le 0\) tại điểm \(A(1,1, - 1)\)

Lời giải: