Tính với \(S\) là mặt nằm trong của nửa cầu \(z = - \sqrt {16 - ({x^2} + {y^2} + {z^2})} \)

Để tính diện tích mặt S cho bởi \(z = \sqrt{x^2 + y^2}, z \le 3\), ta thực hiện các bước sau:

1. Tham số hóa mặt S: Sử dụng tọa độ cực, đặt \(x = r\cos\theta\) và \(y = r\sin\theta\). Khi đó, \(z = \sqrt{r^2} = r\).
Vì \(z \le 3\), suy ra \(0 \le r \le 3\) và \(0 \le \theta \le 2\pi\).

2. Tính các đạo hàm riêng:
Ta có \(\vec{r}(r, \theta) = (r\cos\theta, r\sin\theta, r)\).
Tính các đạo hàm riêng:
\(\frac{\partial \vec{r}}{\partial r} = (\cos\theta, \sin\theta, 1)\)
\(\frac{\partial \vec{r}}{\partial \theta} = (-r\sin\theta, r\cos\theta, 0)\)

3. Tính tích có hướng:
\(\frac{\partial \vec{r}}{\partial r} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial \theta} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \cos\theta & \sin\theta & 1 \\ -r\sin\theta & r\cos\theta & 0 \end{vmatrix} = (-r\cos\theta, -r\sin\theta, r(\cos^2\theta + \sin^2\theta)) = (-r\cos\theta, -r\sin\theta, r)\)

4. Tính độ dài của tích có hướng:
\(|\frac{\partial \vec{r}}{\partial r} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial \theta}| = \sqrt{(-r\cos\theta)^2 + (-r\sin\theta)^2 + r^2} = \sqrt{r^2\cos^2\theta + r^2\sin^2\theta + r^2} = \sqrt{r^2 + r^2} = \sqrt{2r^2} = r\sqrt{2}\)

5. Tính diện tích mặt S:
\(A(S) = \iint_D |\frac{\partial \vec{r}}{\partial r} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial \theta}| dA = \int_0^{2\pi} \int_0^3 r\sqrt{2} dr d\theta = \sqrt{2} \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^3 r dr = \sqrt{2} (2\pi) [\frac{r^2}{2}]_0^3 = \sqrt{2} (2\pi) (\frac{9}{2}) = 9\pi\sqrt{2}\)

Vậy, diện tích mặt S là \(9\pi\sqrt{2}\).

Để giải quyết bài toán này, ta cần thực hiện các bước sau:

1. Tính gradient của hàm u(x, y, z):
Gradient của hàm u được định nghĩa là \(\nabla u = \left( \frac{{\partial u}}{{\partial x}}, \frac{{\partial u}}{{\partial y}}, \frac{{\partial u}}{{\partial z}} \right)\). Ta tính các đạo hàm riêng:
- \(\frac{{\partial u}}{{\partial x}} = 3{x^2} + 6yx\)
- \(\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = 3{x^2} + 2{z^2}\)
- \(\frac{{\partial u}}{{\partial z}} = 4yz\)
Vậy, \(\nabla u = (3{x^2} + 6yx, 3{x^2} + 2{z^2}, 4yz)\)

2. Tính gradient tại điểm A(1, 1, -1):
Thay x = 1, y = 1, z = -1 vào gradient:
\(\nabla u(A) = (3(1)^2 + 6(1)(1), 3(1)^2 + 2(-1)^2, 4(1)(-1)) = (9, 5, -4)\)

3. Tìm vector pháp tuyến \(\vec n\) của mặt cầu tại điểm A:
Mặt cầu có phương trình \(g(x, y, z) = {x^2} + {y^2} + {z^2} - 3 = 0\). Vector pháp tuyến của mặt cầu tại điểm A là gradient của g tại A:
\(\nabla g = (2x, 2y, 2z)\)
Tại A(1, 1, -1): \(\nabla g(A) = (2(1), 2(1), 2(-1)) = (2, 2, -2)\)
Vì \(\vec n\) là vector pháp tuyến hướng ra ngoài, ta có thể lấy \(\vec n = (2, 2, -2)\). Để đơn giản, ta có thể chuẩn hóa vector này bằng cách chia cho 2, tức là \(\vec n = (1, 1, -1)\).

4. Tính đạo hàm theo hướng của \(\vec n\):
Đạo hàm theo hướng của \(\vec n\) được tính bởi công thức:
\(\frac{{\partial u}}{{\partial \overrightarrow n }}(A) = \nabla u(A) \cdot \frac{{\vec n}}{|\vec n|}\)
Trước tiên, tính độ dài của \(\vec n\): \(|\vec n| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}\)
Vậy, vector đơn vị theo hướng \(\vec n\) là \(\frac{{\vec n}}{|\vec n|} = \left( \frac{1}{{\sqrt{3}}}, \frac{1}{{\sqrt{3}}}, \frac{{-1}}{{\sqrt{3}}} \right)\)
\(\frac{{\partial u}}{{\partial \overrightarrow n }}(A) = (9, 5, -4) \cdot \left( \frac{1}{{\sqrt{3}}}, \frac{1}{{\sqrt{3}}}, \frac{{-1}}{{\sqrt{3}}} \right) = \frac{9}{{\sqrt{3}}} + \frac{5}{{\sqrt{3}}} + \frac{4}{{\sqrt{3}}} = \frac{{18}}{{\sqrt{3}}} = \frac{{18\sqrt{3}}}{3} = 6\sqrt{3}\)

Tuy nhiên, không có đáp án nào trùng với kết quả tính toán. Xem lại các bước tính toán, có thể có sai sót ở đâu đó. Cụ thể, kiểm tra lại đạo hàm riêng và vector pháp tuyến.

Sau khi kiểm tra lại, nhận thấy không có lỗi trong quá trình tính toán. Tuy nhiên, do không có đáp án nào phù hợp với kết quả tính toán là \(6\sqrt{3}\), có thể có lỗi trong đề bài hoặc các đáp án.

Điểm xoáy là điểm mà tại đó curl của trường vector khác 0. Ta cần tính curl của trường vector \(\vec F = ({z^2} + 2xy)\vec i + (3{x^2} - 2yz)\vec j - {z^2}\vec k\).\n\nCurl \(\vec F = \nabla \times \vec F = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ z^2 + 2xy & 3x^2 - 2yz & -z^2 \end{vmatrix} = (\frac{\partial}{\partial y}(-z^2) - \frac{\partial}{\partial z}(3x^2 - 2yz))\vec i - (\frac{\partial}{\partial x}(-z^2) - \frac{\partial}{\partial z}(z^2 + 2xy))\vec j + (\frac{\partial}{\partial x}(3x^2 - 2yz) - \frac{\partial}{\partial y}(z^2 + 2xy))\vec k = (0 - (-2y))\vec i - (0 - 2z)\vec j + (6x - 2x)\vec k = 2y\vec i + 2z\vec j + 4x\vec k\n\nBây giờ, ta sẽ kiểm tra từng điểm:\n\nA. (1,0,0): Curl \(\vec F\) = 2(0)\vec i + 2(0)\vec j + 4(1)\vec k = 4\vec k \neq \vec 0. Vậy (1,0,0) là điểm xoáy.\nB. (0,0,1): Curl \(\vec F\) = 2(0)\vec i + 2(1)\vec j + 4(0)\vec k = 2\vec j \neq \vec 0. Vậy (0,0,1) là điểm xoáy.\nC. (0,0,0): Curl \(\vec F\) = 2(0)\vec i + 2(0)\vec j + 4(0)\vec k = \vec 0. Vậy (0,0,0) không phải là điểm xoáy.\nD. (0,1,0): Curl \(\vec F\) = 2(1)\vec i + 2(0)\vec j + 4(0)\vec k = 2\vec i \neq \vec 0. Vậy (0,1,0) là điểm xoáy.\n\nVậy điểm không phải điểm xoáy là (0,0,0).

Để tìm hàm thế vị \(u(x, y, z)\) cho trường vector \(\vec F = (3x^2 + yz)\vec i + (6y^2 + xz)\vec j + (z^2 + xy + e^z)\vec k\), ta cần tìm một hàm sao cho \(\vec F = \nabla u\), tức là:

\(\frac{\partial u}{\partial x} = 3x^2 + yz\)
\(\frac{\partial u}{\partial y} = 6y^2 + xz\)
\(\frac{\partial u}{\partial z} = z^2 + xy + e^z\)

Ta tích phân từng phương trình để tìm \(u(x, y, z)\):

1. Tích phân \(\frac{\partial u}{\partial x} = 3x^2 + yz\) theo \(x\): \(u(x, y, z) = \int (3x^2 + yz) dx = x^3 + xyz + f(y, z)\)

2. Lấy đạo hàm của \(u(x, y, z)\) theo \(y\): \(\frac{\partial u}{\partial y} = xz + \frac{\partial f(y, z)}{\partial y}\). So sánh với \(\frac{\partial u}{\partial y} = 6y^2 + xz\), ta có \(\frac{\partial f(y, z)}{\partial y} = 6y^2\). Tích phân theo \(y\): \(f(y, z) = \int 6y^2 dy = 2y^3 + g(z)\)

Vậy, \(u(x, y, z) = x^3 + xyz + 2y^3 + g(z)\)

3. Lấy đạo hàm của \(u(x, y, z)\) theo \(z\): \(\frac{\partial u}{\partial z} = xy + g'(z)\). So sánh với \(\frac{\partial u}{\partial z} = z^2 + xy + e^z\), ta có \(g'(z) = z^2 + e^z\). Tích phân theo \(z\): \(g(z) = \int (z^2 + e^z) dz = \frac{z^3}{3} + e^z + C\)

Vậy, \(u(x, y, z) = x^3 + 2y^3 + \frac{z^3}{3} + e^z + xyz + C\).

Vậy đáp án đúng là B.

Để tính lưu số của trường vector \(\vec F = {x^2}{y^3}\vec i + \vec j + z\vec k\) dọc theo đường tròn C: \({x^2} + {y^2} = 1,z = 0\) giới hạn mặt cầu \(z = \sqrt {1 - {x^2} - {y^2}} \), ta sử dụng định lý Stokes.

Định lý Stokes cho phép ta chuyển tích phân đường dọc theo đường cong kín C thành tích phân mặt trên một mặt S giới hạn bởi C:

\(\oint_C \vec F \cdot d\vec r = \iint_S (\nabla \times \vec F) \cdot d\vec S\)

Tính rotor của \(\vec F\):

\(\nabla \times \vec F = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ x^2y^3 & 1 & z \end{vmatrix} = (0 - 0)\vec i - (0 - 0)\vec j + (0 - 3x^2y^2)\vec k = -3x^2y^2 \vec k\)

Mặt S là nửa mặt cầu \(z = \sqrt {1 - {x^2} - {y^2}} \). Vector pháp tuyến đơn vị hướng lên trên là:

\(\vec n = \frac{x\vec i + y\vec j + z\vec k}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} = x\vec i + y\vec j + z\vec k\) (vì \(x^2 + y^2 + z^2 = 1\))

Vậy, \(d\vec S = \vec n dS = (x\vec i + y\vec j + z\vec k)dS\)

Khi đó:

\((\nabla \times \vec F) \cdot d\vec S = (-3x^2y^2 \vec k) \cdot (x\vec i + y\vec j + z\vec k)dS = -3x^2y^2z dS\)

Ta chuyển sang tọa độ cực: \(x = r\cos\theta, y = r\sin\theta, z = \sqrt{1-r^2}\), \(dS = r dr d\theta\)

\(\iint_S (\nabla \times \vec F) \cdot d\vec S = \iint_D -3(r\cos\theta)^2(r\sin\theta)^2 \sqrt{1-r^2} r dr d\theta = -3 \int_0^{2\pi} \cos^2\theta \sin^2\theta d\theta \int_0^1 r^5 \sqrt{1-r^2} dr\)

Tính \(\int_0^{2\pi} \cos^2\theta \sin^2\theta d\theta = \frac{1}{4} \int_0^{2\pi} \sin^2(2\theta) d\theta = \frac{1}{4} \pi\)

Tính \(\int_0^1 r^5 \sqrt{1-r^2} dr\). Đặt \(u = r^2\), thì \(du = 2r dr\). Khi đó:

\(\int_0^1 r^5 \sqrt{1-r^2} dr = \frac{1}{2} \int_0^1 u^2 \sqrt{1-u} du\)

Đặt \(t = \sqrt{1-u}\), thì \(u = 1-t^2\) và \(du = -2t dt\). Khi đó:

\(\frac{1}{2} \int_0^1 u^2 \sqrt{1-u} du = \frac{1}{2} \int_1^0 (1-t^2)^2 t (-2t) dt = \int_0^1 (1-2t^2+t^4)t^2 dt = \int_0^1 (t^2 - 2t^4 + t^6) dt = [\frac{t^3}{3} - \frac{2t^5}{5} + \frac{t^7}{7}]_0^1 = \frac{1}{3} - \frac{2}{5} + \frac{1}{7} = \frac{35 - 42 + 15}{105} = \frac{8}{105}\)

Vậy, \(\iint_S (\nabla \times \vec F) \cdot d\vec S = -3 \cdot \frac{\pi}{4} \cdot \frac{8}{105} = -\frac{2\pi}{35}\)

Tuy nhiên, không có đáp án nào trùng khớp với kết quả tính toán. Có thể có sai sót trong quá trình tính toán hoặc đề bài.