Biểu diễn tích phân \(\int_0^{ + \infty } {\frac{{{x^2}}}{{{{(1 + {x^4})}^4}}}} dx\) theo hàm Gamma:

Đường tròn \(C\) có phương trình \(x^2 + y^2 = 2x\) tương đương với \((x-1)^2 + y^2 = 1\). Đây là đường tròn tâm \(I(1, 0)\) và bán kính \(R = 1\).

Tham số hóa đường tròn \(C\): \(x = 1 + \cos t, y = \sin t\), với \(t \in [0, 2\pi]\).
Khi đó, \(x - y = 1 + \cos t - \sin t\).

Tính \(ds\): \(ds = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} dt = \sqrt{(-\sin t)^2 + (\cos t)^2} dt = dt\).

Vậy, \(\int_C (x - y) ds = \int_0^{2\pi} (1 + \cos t - \sin t) dt = \int_0^{2\pi} 1 dt + \int_0^{2\pi} \cos t dt - \int_0^{2\pi} \sin t dt\).

Ta có: \(\int_0^{2\pi} 1 dt = t \Big|_0^{2\pi} = 2\pi\).
\(\int_0^{2\pi} \cos t dt = \sin t \Big|_0^{2\pi} = \sin(2\pi) - \sin(0) = 0\).
\(\int_0^{2\pi} \sin t dt = -\cos t \Big|_0^{2\pi} = -\cos(2\pi) + \cos(0) = -1 + 1 = 0\).

Do đó, \(\int_C (x - y) ds = 2\pi + 0 - 0 = 2\pi\).

Vậy đáp án đúng là B.

Để tính tích phân đường loại hai \(\int_{ABC} 5 {y^4}dx - 4{x^3}dy\) với ABC là đường gấp khúc đi qua các điểm \(A(0,1);B(1,0);C(0, - 1)\), ta có thể sử dụng định lý Green.

Định lý Green phát biểu rằng:
\(\oint_C Pdx + Qdy = \iint_D (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})dA\)

Trong trường hợp này, ta có \(P = 5y^4\) và \(Q = -4x^3\). Vậy, \(\frac{\partial Q}{\partial x} = -12x^2\) và \(\frac{\partial P}{\partial y} = 20y^3\).

Do đó,
\(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = -12x^2 - 20y^3\)

Vì ABC là đường gấp khúc từ A đến B rồi đến C, ta không thể áp dụng trực tiếp định lý Green trên miền đóng. Tuy nhiên, ta có thể tính tích phân đường trên từng đoạn AB và BC, rồi cộng lại.

1. Đoạn AB: Tham số hóa đoạn thẳng AB:
\(x = t, y = 1 - t, 0 \le t \le 1\)
\(dx = dt, dy = -dt\)
\(\int_{AB} 5y^4dx - 4x^3dy = \int_0^1 5(1-t)^4dt + 4t^3dt = \int_0^1 [5(1-4t+6t^2-4t^3+t^4) + 4t^3]dt = \int_0^1 (5 - 20t + 30t^2 - 20t^3 + 5t^4 + 4t^3)dt = \int_0^1 (5 - 20t + 30t^2 - 16t^3 + 5t^4)dt = [5t - 10t^2 + 10t^3 - 4t^4 + t^5]_0^1 = 5 - 10 + 10 - 4 + 1 = 2\)

2. Đoạn BC: Tham số hóa đoạn thẳng BC:
\(x = 1 - t, y = -t, 0 \le t \le 1\)
\(dx = -dt, dy = -dt\)
\(\int_{BC} 5y^4dx - 4x^3dy = \int_0^1 5(-t)^4(-dt) - 4(1-t)^3(-dt) = \int_0^1 -5t^4 + 4(1-3t+3t^2-t^3)dt = \int_0^1 (-5t^4 + 4 - 12t + 12t^2 - 4t^3)dt = [-\frac{5}{5}t^5 + 4t - 6t^2 + 4t^3 - t^4]_0^1 = -1 + 4 - 6 + 4 - 1 = 0\)

Vậy,
\(\int_{ABC} 5y^4dx - 4x^3dy = \int_{AB} 5y^4dx - 4x^3dy + \int_{BC} 5y^4dx - 4x^3dy = 2 + 0 = 2\)

Vậy đáp án đúng là A.

Để tích phân đường không phụ thuộc vào đường đi, điều kiện cần và đủ là biểu thức dưới dấu tích phân phải là vi phân toàn phần của một hàm số nào đó. Tức là, nếu ta có \(P(x, y)dx + Q(x, y)dy\), thì phải có \(\frac{{\partial P}}{{\partial y}} = \frac{{\partial Q}}{{\partial x}}\)

Trong trường hợp này, ta có:
\(P(x, y) = e^x(2x + ay^2 + 1)\)
\(Q(x, y) = bx + 2y\)

Tính đạo hàm riêng:
\(\frac{{\partial P}}{{\partial y}} = e^x(2ay)\)
\(\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} = b\)

Để tích phân không phụ thuộc đường đi, ta cần:
\(e^x(2ay) = b\)

Điều này chỉ xảy ra khi \(a = 0\) và \(b = 0\).

Vậy, \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 0}\\{b = 0}\end{array}} \right.\)