Với \(C\) là đường tròn \({x^2} + {y^2} = 2x\), tính \(\int_C {(x - y)} ds\)

Để tính tích phân đường loại hai \(\int_{ABC} 5 {y^4}dx - 4{x^3}dy\) với ABC là đường gấp khúc đi qua các điểm \(A(0,1);B(1,0);C(0, - 1)\), ta có thể sử dụng định lý Green.

Định lý Green phát biểu rằng:
\(\oint_C Pdx + Qdy = \iint_D (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})dA\)

Trong trường hợp này, ta có \(P = 5y^4\) và \(Q = -4x^3\). Vậy, \(\frac{\partial Q}{\partial x} = -12x^2\) và \(\frac{\partial P}{\partial y} = 20y^3\).

Do đó,
\(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = -12x^2 - 20y^3\)

Vì ABC là đường gấp khúc từ A đến B rồi đến C, ta không thể áp dụng trực tiếp định lý Green trên miền đóng. Tuy nhiên, ta có thể tính tích phân đường trên từng đoạn AB và BC, rồi cộng lại.

1. Đoạn AB: Tham số hóa đoạn thẳng AB:
\(x = t, y = 1 - t, 0 \le t \le 1\)
\(dx = dt, dy = -dt\)
\(\int_{AB} 5y^4dx - 4x^3dy = \int_0^1 5(1-t)^4dt + 4t^3dt = \int_0^1 [5(1-4t+6t^2-4t^3+t^4) + 4t^3]dt = \int_0^1 (5 - 20t + 30t^2 - 20t^3 + 5t^4 + 4t^3)dt = \int_0^1 (5 - 20t + 30t^2 - 16t^3 + 5t^4)dt = [5t - 10t^2 + 10t^3 - 4t^4 + t^5]_0^1 = 5 - 10 + 10 - 4 + 1 = 2\)

2. Đoạn BC: Tham số hóa đoạn thẳng BC:
\(x = 1 - t, y = -t, 0 \le t \le 1\)
\(dx = -dt, dy = -dt\)
\(\int_{BC} 5y^4dx - 4x^3dy = \int_0^1 5(-t)^4(-dt) - 4(1-t)^3(-dt) = \int_0^1 -5t^4 + 4(1-3t+3t^2-t^3)dt = \int_0^1 (-5t^4 + 4 - 12t + 12t^2 - 4t^3)dt = [-\frac{5}{5}t^5 + 4t - 6t^2 + 4t^3 - t^4]_0^1 = -1 + 4 - 6 + 4 - 1 = 0\)

Vậy,
\(\int_{ABC} 5y^4dx - 4x^3dy = \int_{AB} 5y^4dx - 4x^3dy + \int_{BC} 5y^4dx - 4x^3dy = 2 + 0 = 2\)

Vậy đáp án đúng là A.

Để tích phân đường không phụ thuộc vào đường đi, điều kiện cần và đủ là biểu thức dưới dấu tích phân phải là vi phân toàn phần của một hàm số nào đó. Tức là, nếu ta có \(P(x, y)dx + Q(x, y)dy\), thì phải có \(\frac{{\partial P}}{{\partial y}} = \frac{{\partial Q}}{{\partial x}}\)

Trong trường hợp này, ta có:
\(P(x, y) = e^x(2x + ay^2 + 1)\)
\(Q(x, y) = bx + 2y\)

Tính đạo hàm riêng:
\(\frac{{\partial P}}{{\partial y}} = e^x(2ay)\)
\(\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} = b\)

Để tích phân không phụ thuộc đường đi, ta cần:
\(e^x(2ay) = b\)

Điều này chỉ xảy ra khi \(a = 0\) và \(b = 0\).

Vậy, \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 0}\\{b = 0}\end{array}} \right.\)

Để biểu thức \([{y^2} + axy + y\sin (xy)]dx + [{x^2} + bxy + x\sin (xy)]dy\) là vi phân toàn phần của một hàm số \(u(x, y)\), điều kiện cần và đủ là:

\(\frac{{\partial P}}{{\partial y}} = \frac{{\partial Q}}{{\partial x}}\)

Trong đó:

\(P(x, y) = {y^2} + axy + y\sin (xy)\)
\(Q(x, y) = {x^2} + bxy + x\sin (xy)\)

Tính đạo hàm riêng:

\(\frac{{\partial P}}{{\partial y}} = 2y + ax + \sin (xy) + xy\cos (xy)\)
\(\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} = 2x + by + \sin (xy) + xy\cos (xy)\)

Để \(\frac{{\partial P}}{{\partial y}} = \frac{{\partial Q}}{{\partial x}}\), ta phải có:

\(2y + ax + \sin (xy) + xy\cos (xy) = 2x + by + \sin (xy) + xy\cos (xy)\)

\(2y + ax = 2x + by\)

\(ax - 2x = by - 2y\)

\((a - 2)x = (b - 2)y\)

Để đẳng thức này đúng với mọi x, y thì:

\(a - 2 = 0\) và \(b - 2 = 0\)

Suy ra \(a = 2\) và \(b = 2\).

Tuy nhiên, không có đáp án nào thỏa mãn a=2 và b=2. Xem xét lại quá trình giải, ta thấy có một lỗi nhỏ. Điều kiện để biểu thức là vi phân toàn phần là \(\frac{{\partial P}}{{\partial y}} = \frac{{\partial Q}}{{\partial x}}\) phải đúng với mọi x, y. Vì thế ta cần có \(a=2\) và \(b=2\). Các đáp án đều không chính xác. Tuy nhiên, nếu đề bài đúng, đáp án gần đúng nhất có thể là C nếu có sự nhầm lẫn trong việc ghi đáp án.

Để tính khối lượng của đường cong vật chất L, ta sử dụng công thức tích phân đường loại 1:
\[m = \int_L p(x, y) ds\]
Trong đó, \(p(x, y) = y\) là hàm mật độ và \(ds\) là phần tử độ dài cung.

Đường cong L được tham số hóa bởi:
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \cos t}\\{y = \sin t}\\{0 \le t \le \frac{\pi }{2}}\end{array}} \right.\]

Tính đạo hàm của x và y theo t:
\[\frac{dx}{dt} = -\sin t\]
\[\frac{dy}{dt} = \cos t\]

Tính độ dài phần tử cung ds:
\[ds = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} dt = \sqrt{(-\sin t)^2 + (\cos t)^2} dt = \sqrt{\sin^2 t + \cos^2 t} dt = dt\]

Thay vào công thức tính khối lượng:
\[m = \int_L p(x, y) ds = \int_0^{\frac{\pi}{2}} y dt = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin t dt\]

Tính tích phân:
\[m = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin t dt = [-\cos t]_0^{\frac{\pi}{2}} = -\cos(\frac{\pi}{2}) + \cos(0) = -0 + 1 = 1\]

Vậy, khối lượng của đường cong vật chất L là 1 (đvkl).