Tính lưu số của \(\vec F = {x^2}{y^3}\vec i + \vec j + z\vec k\) dọc theo đường tròn có phương trình
C: \({x^2} + {y^2} = 1,z = 0\) giới hạn mặt cầu \(z = \sqrt {1 - {x^2} - {y^2}} \)
Trả lời:
Đáp án đúng: B
Để tính lưu số của trường vector \(\vec F = {x^2}{y^3}\vec i + \vec j + z\vec k\) dọc theo đường tròn C: \({x^2} + {y^2} = 1,z = 0\) giới hạn mặt cầu \(z = \sqrt {1 - {x^2} - {y^2}} \), ta sử dụng định lý Stokes.
Định lý Stokes cho phép ta chuyển tích phân đường dọc theo đường cong kín C thành tích phân mặt trên một mặt S giới hạn bởi C:
\(\oint_C \vec F \cdot d\vec r = \iint_S (\nabla \times \vec F) \cdot d\vec S\)
Tính rotor của \(\vec F\):
\(\nabla \times \vec F = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ x^2y^3 & 1 & z \end{vmatrix} = (0 - 0)\vec i - (0 - 0)\vec j + (0 - 3x^2y^2)\vec k = -3x^2y^2 \vec k\)
Mặt S là nửa mặt cầu \(z = \sqrt {1 - {x^2} - {y^2}} \). Vector pháp tuyến đơn vị hướng lên trên là:
\(\vec n = \frac{x\vec i + y\vec j + z\vec k}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} = x\vec i + y\vec j + z\vec k\) (vì \(x^2 + y^2 + z^2 = 1\))
Vậy, \(d\vec S = \vec n dS = (x\vec i + y\vec j + z\vec k)dS\)
Khi đó:
\((\nabla \times \vec F) \cdot d\vec S = (-3x^2y^2 \vec k) \cdot (x\vec i + y\vec j + z\vec k)dS = -3x^2y^2z dS\)
Ta chuyển sang tọa độ cực: \(x = r\cos\theta, y = r\sin\theta, z = \sqrt{1-r^2}\), \(dS = r dr d\theta\)
\(\iint_S (\nabla \times \vec F) \cdot d\vec S = \iint_D -3(r\cos\theta)^2(r\sin\theta)^2 \sqrt{1-r^2} r dr d\theta = -3 \int_0^{2\pi} \cos^2\theta \sin^2\theta d\theta \int_0^1 r^5 \sqrt{1-r^2} dr\)
Tính \(\int_0^{2\pi} \cos^2\theta \sin^2\theta d\theta = \frac{1}{4} \int_0^{2\pi} \sin^2(2\theta) d\theta = \frac{1}{4} \pi\)
Tính \(\int_0^1 r^5 \sqrt{1-r^2} dr\). Đặt \(u = r^2\), thì \(du = 2r dr\). Khi đó:
\(\int_0^1 r^5 \sqrt{1-r^2} dr = \frac{1}{2} \int_0^1 u^2 \sqrt{1-u} du\)
Đặt \(t = \sqrt{1-u}\), thì \(u = 1-t^2\) và \(du = -2t dt\). Khi đó:
\(\frac{1}{2} \int_0^1 u^2 \sqrt{1-u} du = \frac{1}{2} \int_1^0 (1-t^2)^2 t (-2t) dt = \int_0^1 (1-2t^2+t^4)t^2 dt = \int_0^1 (t^2 - 2t^4 + t^6) dt = [\frac{t^3}{3} - \frac{2t^5}{5} + \frac{t^7}{7}]_0^1 = \frac{1}{3} - \frac{2}{5} + \frac{1}{7} = \frac{35 - 42 + 15}{105} = \frac{8}{105}\)
Vậy, \(\iint_S (\nabla \times \vec F) \cdot d\vec S = -3 \cdot \frac{\pi}{4} \cdot \frac{8}{105} = -\frac{2\pi}{35}\)
Tuy nhiên, không có đáp án nào trùng khớp với kết quả tính toán. Có thể có sai sót trong quá trình tính toán hoặc đề bài.
