Câu hỏi này thuộc lĩnh vực xác suất thống kê, cụ thể là bài toán về phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc và kỳ vọng của biến ngẫu nhiên đó.
Phần a) yêu cầu tìm luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X, là số lần gặp đèn đỏ khi đi từ nhà đến cơ quan. Người này đi qua 3 ngã tư, và tại mỗi ngã tư, xác suất gặp đèn đỏ được cho trước. Biến ngẫu nhiên X có thể nhận các giá trị 0, 1, 2, 3 (tương ứng với việc gặp 0, 1, 2, hoặc 3 đèn đỏ).
Để tìm luật phân phối xác suất, ta cần tính P(X=k) với k = 0, 1, 2, 3.
- P(X=0): Xác suất không gặp đèn đỏ ở cả 3 ngã tư. Gọi A1, A2, A3 lần lượt là biến cố gặp đèn đỏ ở ngã tư 1, 2, 3. Vậy P(A1)=0.2, P(A2)=0.4, P(A3)=0.5. Xác suất không gặp đèn đỏ ở ngã tư i là P(Ai') = 1 - P(Ai).
P(X=0) = P(A1' ∩ A2' ∩ A3') = P(A1') * P(A2') * P(A3') (do các sự kiện độc lập)
P(X=0) = (1 - 0.2) * (1 - 0.4) * (1 - 0.5) = 0.8 * 0.6 * 0.5 = 0.24.
- P(X=1): Xác suất gặp đúng 1 đèn đỏ. Có 3 trường hợp: gặp ở ngã tư 1 (và không gặp ở 2, 3), hoặc gặp ở ngã tư 2 (và không gặp ở 1, 3), hoặc gặp ở ngã tư 3 (và không gặp ở 1, 2).
P(X=1) = P(A1 ∩ A2' ∩ A3') + P(A1' ∩ A2 ∩ A3') + P(A1' ∩ A2' ∩ A3)
P(X=1) = P(A1)P(A2')P(A3') + P(A1')P(A2)P(A3') + P(A1')P(A2')P(A3)
P(X=1) = (0.2 * 0.6 * 0.5) + (0.8 * 0.4 * 0.5) + (0.8 * 0.6 * 0.5)
P(X=1) = 0.06 + 0.16 + 0.24 = 0.46.
- P(X=2): Xác suất gặp đúng 2 đèn đỏ. Có 3 trường hợp: gặp ở 1, 2 (không gặp ở 3); gặp ở 1, 3 (không gặp ở 2); gặp ở 2, 3 (không gặp ở 1).
P(X=2) = P(A1 ∩ A2 ∩ A3') + P(A1 ∩ A2' ∩ A3) + P(A1' ∩ A2 ∩ A3)
P(X=2) = P(A1)P(A2)P(A3') + P(A1)P(A2')P(A3) + P(A1')P(A2)P(A3)
P(X=2) = (0.2 * 0.4 * 0.5) + (0.2 * 0.6 * 0.5) + (0.8 * 0.4 * 0.5)
P(X=2) = 0.04 + 0.06 + 0.16 = 0.26.
- P(X=3): Xác suất gặp đèn đỏ ở cả 3 ngã tư.
P(X=3) = P(A1 ∩ A2 ∩ A3) = P(A1) * P(A2) * P(A3)
P(X=3) = 0.2 * 0.4 * 0.5 = 0.04.
Kiểm tra tổng xác suất: 0.24 + 0.46 + 0.26 + 0.04 = 1.00. Vậy các xác suất đã tính là đúng.
Luật phân phối xác suất của X:
X | 0 | 1 | 2 | 3
--|---|---|---|---
P(X=x) | 0.24 | 0.46 | 0.26 | 0.04
Phần b) yêu cầu tính thời gian trung bình phải dừng trên đường chờ đèn đỏ. Đây là kỳ vọng của biến ngẫu nhiên liên quan đến thời gian chờ. Nếu mỗi lần gặp đèn đỏ phải chờ 50 giây, thì thời gian chờ trung bình là 50 giây nhân với số lần trung bình gặp đèn đỏ. Số lần trung bình gặp đèn đỏ chính là kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu là E(X).
E(X) = Σ [x * P(X=x)]
E(X) = (0 * 0.24) + (1 * 0.46) + (2 * 0.26) + (3 * 0.04)
E(X) = 0 + 0.46 + 0.52 + 0.12 = 1.12
Thời gian trung bình phải dừng trên đường chờ đèn đỏ = E(X) * 50 giây
Thời gian trung bình = 1.12 * 50 = 56 giây.
Do đó, không có đáp án đúng được cung cấp trong bài để đánh giá. Tuy nhiên, dựa trên phân tích, các bước tính toán cho thấy cách giải bài toán này. Nếu có các lựa chọn đáp án, ta sẽ so sánh kết quả tính toán với các lựa chọn đó.