Một người đi làm từ nhà đến cơ quan phải đi qua 3 ngã tư. Xác suất để người đó gặp đèn đỏ ở các ngã tư đó tương ứng là 0.2; 0.4; 0.5. Gọi X là số lần gặp đèn đỏ trong mỗi lần đi làm.

a) Tìm luật phân phối xác suất của X?

b) Hỏi thời gian trung bình phải dừng trên đường chờ đèn đỏ là bao nhiêu? Giả sử rằng mỗi lần gặp đèn đỏ phải chờ đợi xấp xỉ 50 giây?

Câu hỏi này thuộc lĩnh vực xác suất thống kê, cụ thể là phân phối nhị thức và các đặc trưng của nó. Yêu cầu bài toán là tính toán các xác suất liên quan đến số lỗi trong một mẫu hóa đơn, dựa trên tỷ lệ lỗi đã biết.

Chúng ta có thể mô hình hóa bài toán này bằng phân phối nhị thức B(n, p), trong đó n là số lần thử (số hóa đơn được xử lý), và p là xác suất thành công của mỗi lần thử (xác suất một hóa đơn có lỗi). Ở đây, n = 10 và p = 0.4 (tỷ lệ hóa đơn có lỗi).

a) Tính xác suất có đúng 3 hóa đơn mắc sai sót: Đây là việc tính P(X=3) với X ~ B(10, 0.4). Công thức tính xác suất trong phân phối nhị thức là P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k).
Vậy, P(X=3) = C(10, 3) * (0.4)^3 * (0.6)^(10-3) = 120 * (0.4)^3 * (0.6)^7 ≈ 0.1115.

b) Tính xác suất có ít nhất 2 hóa đơn có sai sót: Đây là việc tính P(X ≥ 2). Cách dễ nhất để tính là lấy 1 trừ đi xác suất có ít hơn 2 hóa đơn có sai sót, tức là 1 - [P(X=0) + P(X=1)].
P(X=0) = C(10, 0) * (0.4)^0 * (0.6)^10 = 1 * 1 * (0.6)^10 ≈ 0.0060
P(X=1) = C(10, 1) * (0.4)^1 * (0.6)^9 = 10 * 0.4 * (0.6)^9 ≈ 0.0403
Vậy, P(X ≥ 2) = 1 - (P(X=0) + P(X=1)) ≈ 1 - (0.0060 + 0.0403) = 1 - 0.0463 ≈ 0.9537.

c) Tính số hóa đơn trung bình và độ phân tán của số hóa đơn mắc sai sót:
Số hóa đơn trung bình (kỳ vọng) của phân phối nhị thức được tính bằng E(X) = n * p.
E(X) = 10 * 0.4 = 4.
Độ phân tán (phương sai) của phân phối nhị thức được tính bằng Var(X) = n * p * (1-p).
Var(X) = 10 * 0.4 * (1-0.4) = 10 * 0.4 * 0.6 = 2.4.

Do câu hỏi không cung cấp các đáp án cụ thể để chọn (ví dụ: a, b, c, d), và yêu cầu là tính toán các giá trị, nên không thể xác định 'answer_iscorrect' là một đáp án duy nhất. Tuy nhiên, nếu giả định rằng các phần a, b, c là các câu hỏi con và cần trả lời lần lượt, thì chúng ta đã có kết quả cho từng phần.

Câu hỏi này đề cập đến các khái niệm thống kê như ước lượng khoảng tin cậy, kiểm định giả thuyết và xác định cỡ mẫu. Dữ liệu được cung cấp dưới dạng phân phối tần suất theo các khoảng giá xe.

a) Ước lượng khoảng tin cậy cho giá bán trung bình của xe "cận sang":
Xe "cận sang" được định nghĩa là xe có giá trên 745 triệu đồng. Từ bảng số liệu, ta có hai nhóm xe "cận sang" với các khoảng giá và số lượng người dùng tương ứng:
- Nhóm 1: 745 – 895 triệu đồng, có 30 người dùng.
- Nhóm 2: 895 - 1045 triệu đồng, có 110 người dùng.

Để ước lượng giá bán trung bình, trước tiên ta cần tìm điểm giữa của mỗi nhóm giá để đại diện cho giá trị trong nhóm:
- Điểm giữa Nhóm 1: (745 + 895) / 2 = 820 triệu đồng.
- Điểm giữa Nhóm 2: (895 + 1045) / 2 = 970 triệu đồng.

Tổng số xe "cận sang" là N = 30 + 110 = 140.

Ước lượng giá bán trung bình cho xe "cận sang" có thể được tính bằng trung bình có trọng số:
̄x_can_sang = (30 * 820 + 110 * 970) / (30 + 110) = (24600 + 106700) / 140 = 131300 / 140 ≈ 937.86 triệu đồng.

Để xây dựng khoảng tin cậy 95% cho trung bình này, ta cần độ lệch chuẩn. Với dữ liệu nhóm, việc tính độ lệch chuẩn của tổng thể là phức tạp. Nếu giả định rằng ta có thể sử dụng dữ liệu này để ước lượng khoảng tin cậy, ta cần thêm thông tin hoặc giả định về cách tính độ lệch chuẩn từ dữ liệu nhóm.

Trong trường hợp thiếu thông tin về độ lệch chuẩn tổng thể hoặc mẫu, việc tính toán khoảng tin cậy chính xác là không thể thực hiện trực tiếp. Cần làm rõ phương pháp tính toán độ lệch chuẩn từ dữ liệu nhóm hoặc giả định thêm về phân phối của giá xe trong mỗi nhóm.

b) Ước lượng mức độ phân tán tối đa của giá bán xe trung bình với độ tin cậy 95%:
"Mức độ phân tán tối đa" thường ám chỉ đến phương sai hoặc độ lệch chuẩn. Tương tự câu a), việc ước lượng khoảng tin cậy cho phương sai hoặc độ lệch chuẩn từ dữ liệu nhóm cũng đòi hỏi các phương pháp tính toán phức tạp và có thể cần thêm thông tin hoặc giả định.

Nếu câu hỏi muốn ước lượng khoảng tin cậy cho độ lệch chuẩn, ta cần tính độ lệch chuẩn mẫu. Tuy nhiên, do những khó khăn đã nêu ở câu a) với dữ liệu nhóm, việc này cũng gặp trở ngại.

c) Xác định cỡ mẫu tối thiểu:
Để xác định cỡ mẫu tối thiểu với sai số E = 5 triệu đồng và độ tin cậy 95% (Z ≈ 1.96), công thức là n = (Z * σ / E)^2, trong đó σ là độ lệch chuẩn của tổng thể.

Ta cần ước lượng σ từ dữ liệu đã cho. Đầu tiên, tính trung bình chung của tất cả các xe:
Các điểm giữa khoảng: 430, 540, 670, 820, 970.
Số người dùng: 53, 150, 67, 30, 110.
Tổng số xe: N = 53 + 150 + 67 + 30 + 110 = 410.

Trung bình chung (̄x) = (53*430 + 150*540 + 67*670 + 30*820 + 110*970) / 410
= (22790 + 81000 + 44890 + 24600 + 106700) / 410 = 280000 / 410 ≈ 682.93 triệu đồng.

Tiếp theo, ước lượng độ lệch chuẩn mẫu (s) từ dữ liệu nhóm:
∑(f_i * (x_i - ̄x)^2) ≈ 16084720.3 (tính toán chi tiết ở trên).
Phương sai mẫu (s^2) ≈ 16084720.3 / (410 - 1) ≈ 39327.0.
Độ lệch chuẩn mẫu (s) ≈ √39327.0 ≈ 198.31 triệu đồng.

Áp dụng công thức cỡ mẫu tối thiểu:
n = (1.96 * 198.31 / 5)^2 ≈ (77.74)^2 ≈ 6043.7.
Làm tròn lên, cỡ mẫu tối thiểu cần là 6044 xe.

d) Kiểm định giả thuyết về tỷ lệ xe sang bán ra:
Giả định "xe sang" tương đương "xe cận sang" (giá > 745 triệu).
Năm trước: tỷ lệ p0 = 40% = 0.40.
Năm nay, tỷ lệ xe cận sang từ mẫu: p_hat = (30 + 110) / 410 = 140 / 410 ≈ 0.3415.

Kiểm định giả thuyết hai phía với mức ý nghĩa α = 0.05:
H0: p = 0.40
H1: p ≠ 0.40
Giá trị Z tới hạn: Z_{α/2} = 1.96.
Thống kê Z tính toán: Z = (p_hat - p0) / √(p0 * (1-p0) / n)
Z = (0.3415 - 0.40) / √(0.40 * 0.60 / 410) ≈ -2.417.
Vì |-2.417| > 1.96, ta bác bỏ H0. Có bằng chứng cho thấy tỷ lệ xe cận sang bán ra năm nay đã thay đổi (cụ thể là giảm).

Nếu xem xét "ảnh hưởng tới mức tiêu thụ" là giảm sút (kiểm định một phía):
H0: p ≥ 0.40
H1: p < 0.40
Z tới hạn: Z_{0.05} = -1.645.
Vì Z = -2.417 < -1.645, ta bác bỏ H0. Có bằng chứng cho thấy tỷ lệ xe cận sang đã giảm.

e) So sánh giá xe trung bình của Honda và Toyota:
Giá xe trung bình Honda cho trước là 600 triệu đồng.
Ước lượng giá xe trung bình Toyota từ dữ liệu mẫu là ̄x_Toyota ≈ 682.93 triệu đồng, với độ lệch chuẩn mẫu s_Toyota ≈ 198.31 và cỡ mẫu n = 410.

Ta muốn kiểm tra xem giá xe trung bình Honda có thấp hơn Toyota hay không, tức là μ_Honda < μ_Toyota.
Đặt kiểm định:
H0: μ_Toyota = 600 (giá trung bình Toyota bằng giá trung bình Honda)
H1: μ_Toyota > 600 (giá trung bình Toyota cao hơn giá trung bình Honda)
Mức ý nghĩa α = 0.05.

Thống kê Z tính toán (so sánh một mẫu với giá trị cho trước): Z = (̄x_Toyota - 600) / (s_Toyota / √N)
Z = (682.93 - 600) / (198.31 / √410) ≈ 8.47.

Giá trị Z tới hạn cho kiểm định một phía đuôi phải (α = 0.05) là Z_{0.05} = 1.645.
Vì Z = 8.47 > 1.645, ta bác bỏ giả thuyết H0. Điều này cho thấy có bằng chứng thống kê để kết luận rằng giá xe trung bình của Toyota cao hơn giá xe trung bình của Honda (600 triệu đồng) với mức ý nghĩa 5%.

Do đó, không thể cho rằng giá xe trung bình của Honda thấp hơn của Toyota, vì thực tế dữ liệu cho thấy điều ngược lại (Toyota có giá trung bình cao hơn).

Câu hỏi này thuộc lĩnh vực xác suất thống kê, cụ thể là áp dụng định lý Bayes để tính xác suất có điều kiện. Chúng ta có các thông tin sau:
- P(I): Xác suất một linh kiện đến từ nhà máy I = 40% = 0.4
- P(II): Xác suất một linh kiện đến từ nhà máy II = 1 - P(I) = 1 - 0.4 = 60% = 0.6
- P(ĐC|I): Xác suất một linh kiện đạt tiêu chuẩn biết nó đến từ nhà máy I = 90% = 0.9
- P(ĐC|II): Xác suất một linh kiện đạt tiêu chuẩn biết nó đến từ nhà máy II = 95% = 0.95
Chúng ta cần tìm P(I|ĐC): Xác suất một linh kiện đến từ nhà máy I biết nó đạt tiêu chuẩn.
Áp dụng định lý Bayes:
P(I|ĐC) = [P(ĐC|I) * P(I)] / P(ĐC)
Để tính P(ĐC), chúng ta sử dụng công thức xác suất toàn phần:
P(ĐC) = P(ĐC|I) * P(I) + P(ĐC|II) * P(II)
P(ĐC) = (0.9 * 0.4) + (0.95 * 0.6)
P(ĐC) = 0.36 + 0.57
P(ĐC) = 0.93
Bây giờ, thay vào công thức Bayes:
P(I|ĐC) = (0.9 * 0.4) / 0.93
P(I|ĐC) = 0.36 / 0.93
P(I|ĐC) ≈ 0.3871
Vậy, xác suất để chi tiết đó là chi tiết của nhà máy I, biết chi tiết lấy ra là đạt tiêu chuẩn, là khoảng 0.3871 hay 38.71%.