Để tìm các cực trị tương đối của hàm số hai biến f(x,y) = \tfrac{1}{4}x^{4} - 4xy^{2} - 2x^{2} + 8y^{2}, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
1. Tìm đạo hàm riêng bậc nhất: Tính đạo hàm riêng của hàm số theo x và theo y, sau đó cho chúng bằng 0 để tìm các điểm dừng.
* f_x = \partial f / \partial x = x^{3} - 4y^{2} - 4x
* f_y = \partial f / \partial y = -8xy + 16y
Cho f_x = 0 và f_y = 0:
* x^{3} - 4y^{2} - 4x = 0 (1)
* -8xy + 16y = 0 => 8y(-x + 2) = 0 => y = 0 hoặc x = 2 (2)
2. Giải hệ phương trình để tìm các điểm dừng:
* Trường hợp 1: y = 0. Thay y = 0 vào phương trình (1):
x^{3} - 4(0)^{2} - 4x = 0
x^{3} - 4x = 0
x(x^{2} - 4) = 0
x(x - 2)(x + 2) = 0
Các nghiệm là x = 0, x = 2, x = -2.
Vậy, ta có ba điểm dừng khi y = 0: (0, 0), (2, 0), (-2, 0).
* Trường hợp 2: x = 2. Thay x = 2 vào phương trình (1):
(2)^{3} - 4y^{2} - 4(2) = 0
8 - 4y^{2} - 8 = 0
-4y^{2} = 0
y^{2} = 0
y = 0.
Điểm dừng này đã được tìm thấy ở Trường hợp 1, đó là (2, 0).
Vậy, các điểm dừng của hàm số là (0, 0), (2, 0), và (-2, 0).
3. Tìm đạo hàm riêng bậc hai: Tính các đạo hàm riêng bậc hai:
* f_xx = \partial^{2} f / \partial x^{2} = 3x^{2} - 4
* f_yy = \partial^{2} f / \partial y^{2} = -8x + 16
* f_xy = \partial^{2} f / \partial x \partial y = -8y
* f_yx = \partial^{2} f / \partial y \partial x = -8y
(Ta thấy f_xy = f_yx, đúng theo lý thuyết).
4. Sử dụng tiêu chuẩn đạo hàm bậc hai để phân loại các điểm dừng: Tính định thức Hessian D = f_xx * f_yy - (f_xy)^{2}.
* Tại điểm (0, 0):
f_xx(0,0) = 3(0)^{2} - 4 = -4
f_yy(0,0) = -8(0) + 16 = 16
f_xy(0,0) = -8(0) = 0
D(0,0) = (-4)(16) - (0)^{2} = -64. Vì D < 0, điểm (0, 0) là điểm cực trị yên ngựa.
* Tại điểm (2, 0):
f_xx(2,0) = 3(2)^{2} - 4 = 3(4) - 4 = 12 - 4 = 8
f_yy(2,0) = -8(2) + 16 = -16 + 16 = 0
f_xy(2,0) = -8(0) = 0
D(2,0) = (8)(0) - (0)^{2} = 0. Khi D = 0, tiêu chuẩn đạo hàm bậc hai không cho kết quả xác định. Cần phân tích thêm.
* Tại điểm (-2, 0):
f_xx(-2,0) = 3(-2)^{2} - 4 = 3(4) - 4 = 12 - 4 = 8
f_yy(-2,0) = -8(-2) + 16 = 16 + 16 = 32
f_xy(-2,0) = -8(0) = 0
D(-2,0) = (8)(32) - (0)^{2} = 256. Vì D > 0 và f_xx(-2,0) = 8 > 0, điểm (-2, 0) là một điểm cực tiểu địa phương.
5. Phân tích điểm (2, 0) khi D = 0:
Chúng ta cần xem xét sự thay đổi của hàm f(x,y) xung quanh điểm (2, 0). Xét đường thẳng y = 0 đi qua (2, 0).
f(x, 0) = \tfrac{1}{4}x^{4} - 2x^{2}.
Đặt g(x) = \tfrac{1}{4}x^{4} - 2x^{2}.
g'(x) = x^{3} - 4x = x(x-2)(x+2).
g'(2) = 0. g''(x) = 3x^{2} - 4.
g''(2) = 3(2)^{2} - 4 = 12 - 4 = 8 > 0. Điều này cho thấy tại điểm (2, 0) trên đường y = 0, hàm số có cực tiểu.
Bây giờ, xét đường thẳng x = 2 đi qua (2, 0).
f(2, y) = \tfrac{1}{4}(2)^{4} - 4(2)y^{2} - 2(2)^{2} + 8y^{2}
f(2, y) = \tfrac{1}{4}(16) - 8y^{2} - 8 + 8y^{2}
f(2, y) = 4 - 8y^{2} - 8 + 8y^{2} = -4.
Khi x = 2, giá trị của hàm số luôn bằng -4, bất kể giá trị của y. Điều này có nghĩa là tại điểm (2, 0), hàm số không thay đổi giá trị ngay lập tức khi di chuyển dọc theo đường x=2. Tuy nhiên, nếu ta xem xét giá trị của hàm tại (2,0) là f(2,0) = 1/4*(16) - 4*2*0 - 2*4 + 8*0 = 4 - 0 - 8 + 0 = -4.
Xét giá trị của hàm số tại (2,0) so với các điểm lân cận.
f(x,y) = \tfrac{1}{4}x^{4} - 4xy^{2} - 2x^{2} + 8y^{2}
Ta có thể viết lại hàm số như sau:
f(x,y) = \tfrac{1}{4}x^{4} - 2x^{2} + 4y^{2}(2 - x/2)
Hoặc có thể thử lại bằng việc thay các giá trị gần (2,0).
Ví dụ: f(2, 0.1) = \tfrac{1}{4}(2)^{4} - 4(2)(0.1)^{2} - 2(2)^{2} + 8(0.1)^{2}
= 4 - 8(0.01) - 8 + 8(0.01)
= 4 - 0.08 - 8 + 0.08 = -4.
Có vẻ như có sự nhầm lẫn trong phân tích điểm D=0. Hãy xem lại các bước tính toán.
f_x = x^3 - 4y^2 - 4x = 0
f_y = -8xy + 16y = 8y(2-x) = 0 => y=0 hoặc x=2.
Khi y=0:
x^3 - 4x = 0 => x(x^2-4) = 0 => x=0, x=2, x=-2.
Điểm dừng: (0,0), (2,0), (-2,0).
Khi x=2:
2^3 - 4y^2 - 4(2) = 0
8 - 4y^2 - 8 = 0
-4y^2 = 0 => y=0.
Điểm dừng (2,0) đã được tìm.
Đạo hàm bậc hai:
f_xx = 3x^2 - 4
f_yy = -8x + 16
f_xy = -8y
Tại (0,0):
f_xx = -4, f_yy = 16, f_xy = 0. D = (-4)(16) - 0 = -64 < 0. Điểm yên ngựa.
Tại (-2,0):
f_xx = 3(-2)^2 - 4 = 12-4 = 8.
f_yy = -8(-2) + 16 = 16+16 = 32.
f_xy = -8(0) = 0.
D = (8)(32) - 0 = 256 > 0. f_xx = 8 > 0. Cực tiểu địa phương.
Tại (2,0):
f_xx = 3(2)^2 - 4 = 12-4 = 8.
f_yy = -8(2) + 16 = -16+16 = 0.
f_xy = -8(0) = 0.
D = (8)(0) - 0 = 0. Không xác định.
Xem xét hàm dọc theo đường y=mx qua (2,0).
f(x, mx) = \tfrac{1}{4}x^{4} - 4x(mx)^{2} - 2x^{2} + 8(mx)^{2}
f(x, mx) = \tfrac{1}{4}x^{4} - 4m^{2}x^{3} - 2x^{2} + 8m^{2}x^{2}
f(x, mx) = \tfrac{1}{4}x^{4} - 4m^{2}x^{3} + (8m^{2} - 2)x^{2}
Cho g(x) = \tfrac{1}{4}x^{4} - 4m^{2}x^{3} + (8m^{2} - 2)x^{2}.
g'(x) = x^{3} - 12m^{2}x^{2} + 2(8m^{2} - 2)x
g'(2) = 2^{3} - 12m^{2}(2^{2}) + 2(8m^{2} - 2)(2)
= 8 - 48m^{2} + 4(8m^{2} - 2)
= 8 - 48m^{2} + 32m^{2} - 8
= -16m^{2}.
Để (2,0) là cực trị, g'(2) phải bằng 0. Điều này xảy ra khi m=0.
Khi m=0, ta có đường y=0, và ta đã biết g'(x) = x^3 - 4x, g'(2) = 0.
Xem xét lại hàm:
f(x,y) = \tfrac{1}{4}x^{4} - 4xy^{2} - 2x^{2} + 8y^{2}.
Ta có thể nhóm lại:
f(x,y) = \tfrac{1}{4}x^{4} - 2x^{2} + y^{2}(8 - 4x).
Tại điểm (2,0), giá trị hàm là f(2,0) = -4.
Xét các điểm lân cận (2+h, k).
f(2+h, k) = \tfrac{1}{4}(2+h)^{4} - 4(2+h)k^{2} - 2(2+h)^{2} + 8k^{2}
= \tfrac{1}{4}(16 + 32h + 24h^{2} + ...) - (8+4h)k^{2} - 2(4 + 4h + h^{2}) + 8k^{2}
= (4 + 8h + 6h^{2} + ...) - 8k^{2} - 4h k^{2} - (8 + 8h + 2h^{2}) + 8k^{2}
= 4 + 8h + 6h^{2} - 8 - 8h - 2h^{2} - 4h k^{2}
= -4 + 4h^{2} - 4h k^{2} + ...
= -4 + 4h(h - k^{2}) + ...
Nếu h > 0 và h > k^{2}, thì f(2+h, k) > -4.
Nếu h > 0 và h < k^{2}, thì f(2+h, k) < -4.
Nếu h < 0, thì f(2+h, k) có thể lớn hơn hoặc nhỏ hơn -4 tùy thuộc vào dấu của h(h-k^2).
Điều này cho thấy điểm (2, 0) là một điểm yên ngựa.
Tóm lại:
* Điểm (0, 0) là điểm yên ngựa.
* Điểm (-2, 0) là điểm cực tiểu địa phương.
* Điểm (2, 0) là điểm yên ngựa.
Vậy, chỉ có một điểm cực trị tương đối là cực tiểu địa phương tại (-2, 0).