JavaScript is required

Cho hàm vector sau

\[ \mathbf{F}(t) = (1+t)\mathbf{i} - 3t\mathbf{j} + \sqrt{t}\,\mathbf{k}. \]

Tìm vector tiếp tuyến của đồ thị hàm F(t) tại t = 1 và tính tích phân \[ \int \mathbf{F}(t)\, dt. \]

Trả lời:

Đáp án đúng:


Câu hỏi yêu cầu thực hiện hai nhiệm vụ chính liên quan đến hàm vector F(t) = (1+t)i - 3tj + sqrt(t)k: 1. **Tìm vector tiếp tuyến của đồ thị hàm F(t) tại t = 1:** * Khái niệm cốt lõi: Vector tiếp tuyến của một đường cong cho bởi hàm vector F(t) tại một điểm t_0 được tính bằng đạo hàm của hàm vector đó tại t_0, tức là F'(t_0). * Các bước thực hiện: * Tính đạo hàm của hàm vector F(t) theo t: F'(t). * Thay t = 1 vào biểu thức F'(t) để tìm vector tiếp tuyến tại điểm đó. * Tính toán: * F(t) = (1+t)i - 3tj + t^(1/2)k * F'(t) = d/dt(1+t)i + d/dt(-3t)j + d/dt(t^(1/2))k * F'(t) = 1i - 3j + (1/2)t^(-1/2)k * F'(t) = i - 3j + 1/(2*sqrt(t))k * Tại t = 1, F'(1) = i - 3j + 1/(2*sqrt(1))k = i - 3j + (1/2)k. * Vậy, vector tiếp tuyến tại t = 1 là (1, -3, 1/2). 2. **Tính tích phân của hàm F(t):** * Khái niệm cốt lõi: Tích phân của một hàm vector được tính bằng cách lấy tích phân của từng thành phần của vector đó theo biến tương ứng. * Các bước thực hiện: * Tính tích phân của từng thành phần (1+t), (-3t), và (sqrt(t)) theo t. * Kết hợp các kết quả tích phân để có được tích phân của hàm vector F(t). * Tính toán: * ∫ F(t) dt = ∫ [(1+t)i - 3tj + sqrt(t)k] dt * ∫ F(t) dt = [∫(1+t) dt]i - [∫3t dt]j + [∫sqrt(t) dt]k * ∫(1+t) dt = t + (1/2)t^2 + C1 * ∫3t dt = (3/2)t^2 + C2 * ∫sqrt(t) dt = ∫t^(1/2) dt = (2/3)t^(3/2) + C3 * ∫ F(t) dt = (t + (1/2)t^2)i - ((3/2)t^2)j + ((2/3)t^(3/2))k + C (với C = C1i - C2j + C3k là hằng số vector). * Vậy, tích phân của F(t) là (t + (1/2)t^2)i - ((3/2)t^2)j + ((2/3)t^(3/2))k + C. Do câu hỏi yêu cầu tìm cả hai kết quả, nên một đáp án đúng cần bao gồm cả hai phần: vector tiếp tuyến tại t=1 và tích phân của F(t). Vì không có các lựa chọn đáp án để chọn, ta mặc định rằng câu hỏi đang yêu cầu trình bày cách giải và kết quả. Trong ngữ cảnh của một bài kiểm tra trắc nghiệm nơi cần chọn một đáp án, nếu các đáp án được cung cấp dưới dạng các cặp giá trị (vector tiếp tuyến, tích phân), thì đáp án đúng sẽ là cặp khớp với kết quả tính toán ở trên. Tuy nhiên, vì không có các lựa chọn đáp án, ta không thể xác định `answer_iscorrect` theo định nghĩa 1-based index. Tuy nhiên, yêu cầu là 'Nếu không có đáp án đúng, vẫn phải giải thích lý do', và ở đây là không có tùy chọn để chọn. Giả định rằng câu hỏi mong muốn một lời giải chi tiết hoặc một trong hai phần là đáp án. Nhưng vì câu hỏi có hai phần rõ rệt, nếu cần chọn một, nó sẽ không đầy đủ. Nếu đây là câu hỏi tự luận, thì việc trình bày đầy đủ hai kết quả là cách trả lời. Giả sử câu hỏi có các lựa chọn và một trong số đó chứa cả hai kết quả này, thì đó sẽ là đáp án đúng. Vì không có các đáp án để lựa chọn, chúng ta không thể xác định `answer_iscorrect` là một số thứ tự. Tuy nhiên, quy định là 'Nếu không có đáp án đúng, vẫn phải giải thích lý do'. Trong trường hợp này, không có 'đáp án đúng' để chọn từ một danh sách. Do đó, ta sẽ để `answer_iscorrect` là null và giải thích rằng không có lựa chọn được cung cấp để xác định.

Đề thi cuối kỳ môn Toán 3 (MATH132601) học kỳ 3 năm học 2024-2025 của Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM. Đề gồm 7 câu hỏi về hàm vector, trường vô hướng, phương trình mặt phẳng tiếp xúc, cực trị tương đối, tích phân bội hai, và trường vector (công thực hiện, độ phân kì, vector xoáy).


7 câu hỏi 90 phút

Câu hỏi liên quan