260+ câu trắc nghiệm Đại số tuyến tính có giải thích chi tiết từng câu - Đề 5

50 câu hỏi 60 phút

Thẻ ghi nhớ

Luyện tập

Thi thử

Nhấn để lật thẻ

1 / 50

Hệ vectơ nào sau đây không phải là không gian con của R³:

\(V = \left\{ {(x - y,y,0)/x,y \in R} \right\}\)

\(V = \left\{ {(x - y + z,z - y,x)/x,y,z \in R} \right\}\)

V gồm tất cả các vectơ được sinh ra bởi hệ \(\left\{ {(1,2,1),( - 2,0,1),(1,2, - 3),(3, - 2,1)} \right\}\)

\(V = \left\{ {(x,y,xy)/x,y \in R} \right\}\)

Đáp án

Đáp án đúng: D

Để xác định một tập hợp vectơ có phải là không gian con của R³ hay không, ta cần kiểm tra xem nó có thỏa mãn các điều kiện sau:

Chứa vectơ không (0, 0, 0).

Đóng với phép cộng vectơ. Tức là, nếu u và v thuộc V thì u + v cũng thuộc V.

Đóng với phép nhân vô hướng. Tức là, nếu u thuộc V và c là một số thực thì c*u cũng thuộc V.

Xét từng phương án:

Phương án 1: V = {(x - y, y, 0) / x, y ∈ R}. Nếu x = 0 và y = 0 thì (0, 0, 0) ∈ V. Giả sử u = (x₁ - y₁, y₁, 0) và v = (x₂ - y₂, y₂, 0) thuộc V. Khi đó u + v = (x₁ - y₁ + x₂ - y₂, y₁ + y₂, 0). Đặt x = x₁ + x₂, y = y₁ + y₂ thì u + v = (x - y, y, 0) ∈ V. Nếu c ∈ R thì c*u = (c*(x₁ - y₁), c*y₁, 0) = (cx₁ - cy₁, cy₁, 0). Đặt x' = cx₁, y' = cy₁. Vậy c*u = (x' - y', y', 0) ∈ V. Vậy V là không gian con.

Phương án 2: V = {(x - y + z, z - y, x) / x, y, z ∈ R}. Nếu x = 0, y = 0, z = 0 thì (0, 0, 0) ∈ V. Giả sử u = (x₁ - y₁ + z₁, z₁ - y₁, x₁) và v = (x₂ - y₂ + z₂, z₂ - y₂, x₂) thuộc V. Khi đó u + v = (x₁ - y₁ + z₁ + x₂ - y₂ + z₂, z₁ - y₁ + z₂ - y₂, x₁ + x₂). Đặt x = x₁ + x₂, y = y₁ + y₂, z = z₁ + z₂ thì u + v = (x - y + z, z - y, x) ∈ V. Nếu c ∈ R thì c*u = (c*(x₁ - y₁ + z₁), c*(z₁ - y₁), c*x₁) = (cx₁ - cy₁ + cz₁, cz₁ - cy₁, cx₁). Đặt x' = cx₁, y' = cy₁, z' = cz₁. Vậy c*u = (x' - y' + z', z' - y', x') ∈ V. Vậy V là không gian con.

Phương án 3: V gồm tất cả các vectơ được sinh ra bởi hệ {(1, 2, 1), (-2, 0, 1), (1, 2, -3), (3, -2, 1)}. Vì V là không gian sinh bởi một tập hợp các vectơ nên nó là một không gian con của R³.

Phương án 4: V = {(x, y, xy) / x, y ∈ R}. Nếu x = 0 và y = 0 thì (0, 0, 0) ∈ V. Xét u = (1, 1, 1) ∈ V (vì 1*1 = 1) và v = (2, 2, 4) ∈ V (vì 2*2 = 4). Khi đó u + v = (3, 3, 5). Tuy nhiên, 3*3 = 9 ≠ 5. Vậy u + v không thuộc V. Do đó V không phải là không gian con của R³.

Vậy, đáp án đúng là phương án 4.

Danh sách câu hỏi:

Câu 1:

Hệ vectơ nào sau đây không phải là không gian con của R³:

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Để xác định một tập hợp vectơ có phải là không gian con của R³ hay không, ta cần kiểm tra xem nó có thỏa mãn các điều kiện sau:

Chứa vectơ không (0, 0, 0).

Đóng với phép cộng vectơ. Tức là, nếu u và v thuộc V thì u + v cũng thuộc V.

Đóng với phép nhân vô hướng. Tức là, nếu u thuộc V và c là một số thực thì c*u cũng thuộc V.

Xét từng phương án:

Phương án 1: V = {(x - y, y, 0) / x, y ∈ R}. Nếu x = 0 và y = 0 thì (0, 0, 0) ∈ V. Giả sử u = (x₁ - y₁, y₁, 0) và v = (x₂ - y₂, y₂, 0) thuộc V. Khi đó u + v = (x₁ - y₁ + x₂ - y₂, y₁ + y₂, 0). Đặt x = x₁ + x₂, y = y₁ + y₂ thì u + v = (x - y, y, 0) ∈ V. Nếu c ∈ R thì c*u = (c*(x₁ - y₁), c*y₁, 0) = (cx₁ - cy₁, cy₁, 0). Đặt x' = cx₁, y' = cy₁. Vậy c*u = (x' - y', y', 0) ∈ V. Vậy V là không gian con.

Phương án 2: V = {(x - y + z, z - y, x) / x, y, z ∈ R}. Nếu x = 0, y = 0, z = 0 thì (0, 0, 0) ∈ V. Giả sử u = (x₁ - y₁ + z₁, z₁ - y₁, x₁) và v = (x₂ - y₂ + z₂, z₂ - y₂, x₂) thuộc V. Khi đó u + v = (x₁ - y₁ + z₁ + x₂ - y₂ + z₂, z₁ - y₁ + z₂ - y₂, x₁ + x₂). Đặt x = x₁ + x₂, y = y₁ + y₂, z = z₁ + z₂ thì u + v = (x - y + z, z - y, x) ∈ V. Nếu c ∈ R thì c*u = (c*(x₁ - y₁ + z₁), c*(z₁ - y₁), c*x₁) = (cx₁ - cy₁ + cz₁, cz₁ - cy₁, cx₁). Đặt x' = cx₁, y' = cy₁, z' = cz₁. Vậy c*u = (x' - y' + z', z' - y', x') ∈ V. Vậy V là không gian con.

Phương án 3: V gồm tất cả các vectơ được sinh ra bởi hệ {(1, 2, 1), (-2, 0, 1), (1, 2, -3), (3, -2, 1)}. Vì V là không gian sinh bởi một tập hợp các vectơ nên nó là một không gian con của R³.

Phương án 4: V = {(x, y, xy) / x, y ∈ R}. Nếu x = 0 và y = 0 thì (0, 0, 0) ∈ V. Xét u = (1, 1, 1) ∈ V (vì 1*1 = 1) và v = (2, 2, 4) ∈ V (vì 2*2 = 4). Khi đó u + v = (3, 3, 5). Tuy nhiên, 3*3 = 9 ≠ 5. Vậy u + v không thuộc V. Do đó V không phải là không gian con của R³.

Vậy, đáp án đúng là phương án 4.

Câu 2:

Cho A, B là các ma trận vuông cùng cấp và khả nghịch, đặt \(C = \left( {\frac{3}{5}{A^T}} \right)\left( {\frac{7}{4}B} \right)\). Khi đó:

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Ta có \(C = \left( {\frac{3}{5}{A^T}} \right)\left( {\frac{7}{4}B} \right) = \frac{{21}}{{20}}{A^T}B\)

Suy ra \({C^{ - 1}} = {\left( {\frac{{21}}{{20}}{A^T}B} \right)^{ - 1}} = {\left( {\frac{{21}}{{20}}} \right)^{ - 1}}{\left( {{A^T}B} \right)^{ - 1}} = \frac{{20}}{{21}}{B^{ - 1}}{\left( {{A^T}} \right)^{ - 1}} = \frac{{20}}{{21}}{B^{ - 1}}.{\left( {{A^{ - 1}}} \right)^T}\)

Vậy đáp án đúng là: \({C^{ - 1}} = \frac{{20}}{{21}}{B^{ - 1}}.{\left( {{A^{ - 1}}} \right)^T}\)

Câu 3:

Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất để số \(z = {( - \sqrt 3 + i)^n}\) là một số thực:

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Số phức z là số thực khi và chỉ khi phần ảo của nó bằng 0. Ta có:

\(- \sqrt 3 + i = 2\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right) = 2\left( {\cos \frac{{5\pi }}{6} + i\sin \frac{{5\pi }}{6}} \right) = 2{e^{i\frac{{5\pi }}{6}}}\)

Do đó, \(z = {( - \sqrt 3 + i)^n} = {2^n}{e^{i\frac{{5n\pi }}{6}}}\)

z là số thực khi và chỉ khi \(\frac{{5n\pi }}{6} = k\pi \) với k là một số nguyên.

\( \Rightarrow 5n = 6k \Rightarrow n = \frac{{6k}}{5}\)

n là số nguyên dương nhỏ nhất khi k = 5, suy ra n = 6.

Câu 4:

Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất để số \(z = {( - \sqrt 3 + i)^n}\) là một số thuần ảo:

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta có \(z = ( - \sqrt 3 + i)^n\). Để z là số thuần ảo thì phần thực của z phải bằng 0. Ta biến đổi \(-\sqrt 3 + i\) về dạng lượng giác: \(-\sqrt 3 + i = 2(-\frac{\sqrt 3}{2} + \frac{1}{2}i) = 2(cos\frac{5\pi}{6} + isin\frac{5\pi}{6}) = 2e^{i\frac{5\pi}{6}}
\)Khi đó \(z = (2e^{i\frac{5\pi}{6}})^n = 2^n e^{i\frac{5n\pi}{6}} = 2^n(cos\frac{5n\pi}{6} + isin\frac{5n\pi}{6})\). Để z là số thuần ảo thì \(cos\frac{5n\pi}{6} = 0 \Leftrightarrow \frac{5n\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + k\pi \Leftrightarrow \frac{5n}{6} = \frac{1}{2} + k \Leftrightarrow 5n = 3 + 6k \Leftrightarrow n = \frac{3 + 6k}{5}\). Với k = 0, 1, 2,... Ta cần tìm n nguyên dương nhỏ nhất nên ta chọn k sao cho 3 + 6k chia hết cho 5. Thử lần lượt với k = 0, 1, 2,... Ta thấy k = 2 thì n = \(\frac{3 + 6*2}{5} = \frac{15}{5} = 3\). Vậy n = 3 là số nguyên dương nhỏ nhất để z là số thuần ảo.

Câu 5:

Tìm \(\sqrt[3]{i}\) trong trường số phức:

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta có \(i = e^{i(\frac{\pi}{2} + 2k\pi )}\), với \(k \in \mathbb{Z}\).
Do đó, \(\sqrt[3]{i} = i^{\frac{1}{3}} = e^{i(\frac{\pi}{6} + \frac{2k\pi}{3})}\).

Với \(k = 0\), ta có \(z_0 = e^{\frac{i\pi}{6}}\).
Với \(k = 1\), ta có \(z_1 = e^{i(\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3})} = e^{\frac{5i\pi}{6}}\).
Với \(k = 2\), ta có \(z_2 = e^{i(\frac{\pi}{6} + \frac{4\pi}{3})} = e^{\frac{9i\pi}{6}} = e^{\frac{3i\pi}{2}}\).

Vậy, \(\sqrt[3]{i}\) có ba nghiệm là \(z_0 = e^{\frac{i\pi}{6}}, z_1 = e^{\frac{5i\pi}{6}}, z_2 = e^{\frac{9i\pi}{6}}\).