Cho M = {x, y, z} là tập sinh của không gian vecto thực V. Khẳng định nào sau đây luôn đúng?

Vì hạng của họ vectơ M = {x, y, z, t} bằng 3, điều này có nghĩa là có tối đa 3 vectơ độc lập tuyến tính trong họ M. Do đó:

• Phương án 1 không chắc chắn đúng, vì có thể x, y, z phụ thuộc tuyến tính.


• Phương án 2 đúng, vì hạng của một họ vectơ bằng số chiều của không gian con mà nó sinh ra. Trong trường hợp này, M sinh ra một không gian 3 chiều.


• Phương án 3 sai, vì M có hạng bằng 3 và có 4 vectơ, nên M chắc chắn phụ thuộc tuyến tính.


• Phương án 4 không chắc chắn đúng, vì chỉ biết hạng của M bằng 3, nên không thể khẳng định x là tổ hợp tuyến tính của {y, z, t}.

Vậy đáp án đúng là: M sinh ra không gian 3 chiều.

Tính định thức B theo cột 2, ta được:

\(B = 1.\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&m\\
1&2
\end{array}} \right| = 2 - m\)

Để B > 0 thì 2 - m > 0 <=> m < 2.

Let's calculate the determinant:

\(\begin{vmatrix} 1 & x & -1 & -1 \\ 1 & x^2 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & x & -1 & -1 \\ 0 & x^2 - x & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} x^2 - x & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 2 \end{vmatrix} = (x^2 - x) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 2(x^2 - x)\)

So we have the equation \(2(x^2 - x) = 0 \Leftrightarrow 2x(x - 1) = 0 \Leftrightarrow x = 0 \text{ or } x = 1\)

Thus, the equation has two distinct roots.