Cho V là không gian vecto có chiều bằng 5. Khẳng định nào là đủ?

Trong không gian vecto thực V cho họ M = {x, y, z} phụ thuộc tuyến tính. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Vì M là họ phụ thuộc tuyến tính nên tồn tại các số a, b, c không đồng thời bằng 0 sao cho ax + by + cz = 0. Nếu V là không gian vector thì tập hợp M không sinh ra V.

Câu 43:

Tìm tất cả m để \(M = {( 1 , 1 , 1 , 1 ) , ( 2, 1 , 3, 4 ) , ( 3,2,1 , m) , ( 1 , 0,2, 3 ) }\) sinh ra không gian 4 chiều?

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để tập hợp M sinh ra không gian 4 chiều, các vectơ trong M phải độc lập tuyến tính. Điều này có nghĩa là định thức của ma trận tạo bởi các vectơ này phải khác 0. Ta lập ma trận A với các hàng là các vectơ của M:

A = | 1 1 1 1 |
| 2 1 3 4 |
| 3 2 1 m |
| 1 0 2 3 |

Tính định thức của A, ta có thể sử dụng các phép biến đổi hàng để đơn giản hóa việc tính toán:

R2 -> R2 - 2R1
R3 -> R3 - 3R1
R4 -> R4 - R1

A' = | 1 1 1 1 |
| 0 -1 1 2 |
| 0 -1 -2 m-3|
| 0 -1 1 2 |

Nhận thấy hàng 2 và hàng 4 giống nhau, do đó định thức của ma trận bằng 0. Tuy nhiên, ta cần tìm điều kiện để 4 vector này sinh ra không gian 4 chiều, tức là chúng phải độc lập tuyến tính. Để 4 vector trên độc lập tuyến tính, ta cần một điều kiện khác. Vì hàng 2 và hàng 4 giống nhau, ta thấy rằng tập hợp này không thể sinh ra không gian 4 chiều với mọi m. Do đó, không tồn tại m để M sinh ra không gian 4 chiều.

Câu 44:

Cho M = {x, y, z, t} là tập sinh của không gian vecto V. Giả sử {x, y} là tập độc lập tuyến tính cực đại của M. Khẳng định nào sau đây luôn đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Vì {x, y} là tập độc lập tuyến tính cực đại của M = {x, y, z, t} nên z và t đều biểu diễn tuyến tính qua x và y. Hay span{x, y} = span{x, y, z, t} = V.
Phương án 1: {x, 2y, z} sinh ra V. Vì z biểu diễn tuyến tính qua x, y nên z = a*x + b*y. Khi đó, mọi vecto trong V đều biểu diễn tuyến tính qua x, 2y, z. Do đó {x, 2y, z} sinh ra V. Phương án này có thể đúng.
Phương án 2: {x, z, t} độc lập tuyến tính. Vì z, t biểu diễn tuyến tính qua x, y nên {x, z, t} phụ thuộc tuyến tính. Phương án này sai.
Phương án 3: {2x, 3y} không là cơ sở của V. Vì {x, y} là tập độc lập tuyến tính cực đại của M nên {x, y} là cơ sở của V. Do đó {2x, 3y} cũng là cơ sở của V. Phương án này sai.
Phương án 4: Hạng của họ {x + y, x, z, t} bằng 3. Vì z, t biểu diễn tuyến tính qua x, y nên z, t biểu diễn tuyến tính qua x+y, x. Do đó hạng của họ {x + y, x, z, t} bằng 2. Phương án này sai.
Vậy phương án đúng nhất là phương án 1.

Câu 45:

Cho \(V =<(1 , 1 ,1 ) , ( 2,1 , 0 ) , ( 5, 3, 1 ) >\). Khẳng định nào sau đây luôn đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Ta có \(V = \langle (1,1,1), (2,1,0), (5,3,1) \rangle\). Xét ma trận có các vector sinh là các hàng:
\(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 5 & 3 & 1 \end{pmatrix}\)
Thực hiện phép biến đổi sơ cấp trên hàng:
\(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 5 & 3 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{h_2 - 2h_1, h_3 - 5h_1} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & -2 & -4 \end{pmatrix} \xrightarrow{h_3 - 2h_2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)
Vậy hạng của ma trận bằng 2. Do đó, dim(V) = 2. Vậy đáp án B sai.
Xét đáp án A: \(\{(1,1,1), (0,0,1)\} \subset V\), mà V có số chiều là 2, nên đáp án A sai.
Xét đáp án C: Ta cần kiểm tra xem có tồn tại \(a,b,c\) sao cho \(a(1,1,1) + b(2,1,0) + c(5,3,1) = (1,0,-1)\) hay không.
Điều này tương đương với hệ phương trình:
\(\begin{cases} a + 2b + 5c = 1 \\ a + b + 3c = 0 \\ a + c = -1 \end{cases}\)
Giải hệ phương trình này, ta được:
\(\begin{cases} a = -1 - c \\ b = 1 - 2c \\ -1 - c + 1 - 2c + 3c = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a = -1 - c \\ b = 1 - 2c \\ 0 = 0 \end{cases}\)
Vì hệ có nghiệm, nên \((1,0,-1) \in V\). Vậy đáp án C đúng.
Vậy các đáp án khác sai.

Câu 46:

Cho {x, y, z} là tập sinh của không gian vecto V. Khẳng định nào dưới đây luôn đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Vì {x, y, z} là tập sinh của V, mọi vector trong V đều có thể biểu diễn được dưới dạng tổ hợp tuyến tính của x, y, z. Xét đáp án C, ta cần kiểm tra xem mọi vector trong V có thể biểu diễn được dưới dạng tổ hợp tuyến tính của x+y, x-y, 3z hay không. Thật vậy, với mọi vector v thuộc V, tồn tại các số a, b, c sao cho v = ax + by + cz. Ta có thể viết lại ax + by = k(x+y) + l(x-y) với k = (a+b)/2 v\u00e0 l = (a-b)/2. Do đó, v = k(x+y) + l(x-y) + (c/3)(3z). Điều này chứng tỏ x + y, x − y, 3z là tập sinh của V. Các đáp án còn lại không có đủ thông tin để xác định đúng sai.

Câu 47:

Cho x, y, x là ba vecto của không gian vecto thực V, biết M = {x+y+z,2x+y+z, x+2y+z} là cơ sở của V. Khẳng định nào luôn đúng?

Lời giải:

Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP

Câu 48:

Cho \({( 1 , 1 ,1 ) , ( 2,1 , 0 ) , ( 5, 3, 1 ) }\) là tập sinh của không gian con F. Khẳng định nào sau đây luôn đúng?

Lời giải:

Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP

Câu 49:

Trong không gian V cho vecto x có tọa độ trong cơ sở \(E = {e_1 + e_2 + e_3;2e_1 + 3e_2 + e_3; e_1 + e_2 + 3e_3}\) là (3, −4, 5)_E. Khẳng định nào sau đây đúng?

Lời giải:

Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP

Câu 50:

Tìm tọa độ vecto x trong cơ sở {(1, 1, 1); (2, 1, 1); (1, 2, 1)}, biết tọa độ vecto x trong cơ sở {(1, 1, 0); (1, 0, 1); (1, 1, 1) } là \((2, 3, 1)^T.\)