Cho V là không gian vecto có chiều bằng 5. Khẳng định nào là đủ?

Trong không gian vecto thực V cho họ M = {x, y, z} phụ thuộc tuyến tính. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Vì họ M = {x, y, z} phụ thuộc tuyến tính, nên tồn tại các hệ số k₁, k₂, k₃ không đồng thời bằng 0 sao cho k₁x + k₂y + k₃z = 0.

Điều này có nghĩa là ít nhất một trong các vector x, y, z có thể biểu diễn được thành tổ hợp tuyến tính của các vector còn lại. Do đó, phương án A "x là tổ hợp tuyến tính của y, z" có thể đúng, nhưng không phải lúc nào cũng đúng (ví dụ, nếu k₁ = 0).

Phương án B "Hạng của M bằng 2" cũng không đúng. Vì M phụ thuộc tuyến tính, hạng của M nhỏ hơn 3. Tuy nhiên, hạng của M có thể bằng 1 hoặc 2 tùy thuộc vào các vector x, y, z.

Phương án C "M không sinh ra V" là đúng. Nếu M phụ thuộc tuyến tính, không gian sinh bởi M có số chiều nhỏ hơn 3. Do đó, M không thể sinh ra toàn bộ không gian V (nếu V có số chiều lớn hơn 2).

Phương án D "2x là tổ hợp tuyến tính của M" là đúng. Vì M phụ thuộc tuyến tính, tồn tại k₁, k₂, k₃ không đồng thời bằng 0 sao cho k₁x + k₂y + k₃z = 0. Nếu k₁ khác 0, ta có thể biểu diễn x (và do đó 2x) thành tổ hợp tuyến tính của y và z. Nếu k₁ = 0, thì k₂y + k₃z = 0, và ta có thể biểu diễn y hoặc z (nếu k₂ hoặc k₃ khác 0) thành tổ hợp tuyến tính của nhau. Trong trường hợp này, 2x có thể được xem là tổ hợp tuyến tính tầm thường (với hệ số 0) của M. Vì vậy, đây là một khẳng định đúng.

Tuy nhiên, phương án C đúng trong mọi trường hợp, không phụ thuộc vào việc hệ số nào khác 0, còn phương án D có thể đúng, có thể không.

Vậy đáp án đúng nhất là: M không sinh ra V.

Câu 43:

Tìm tất cả m để \(M = {( 1 , 1 , 1 , 1 ) , ( 2, 1 , 3, 4 ) , ( 3,2,1 , m) , ( 1 , 0,2, 3 ) }\) sinh ra không gian 4 chiều?

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để \(M = {( 1 , 1 , 1 , 1 ) , ( 2, 1 , 3, 4 ) , ( 3,2,1 , m) , ( 1 , 0,2, 3 ) }\) sinh ra không gian 4 chiều thì các vector trong M phải độc lập tuyến tính. Tức là định thức của ma trận tạo bởi các vector này phải khác 0.

Ta lập ma trận A từ các vector:
\(A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 1 & m \\ 1 & 0 & 2 & 3 \end{bmatrix}\)

Tính định thức của A:
Sử dụng phép biến đổi sơ cấp trên dòng:
\(d_1 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 1 & m \\ 1 & 0 & 2 & 3 \end{vmatrix}\)
\(d_1 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & -2 & m-3 \\ 0 & -1 & 1 & 2 \end{vmatrix}\)

Nhận thấy dòng 2 và dòng 4 giống nhau nên định thức bằng 0. Vậy không tồn tại m để M sinh ra không gian 4 chiều.

Cách 2:
\(\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 1 & m \\ 1 & 0 & 2 & 3 \end{vmatrix} \)

\(= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & -2 & m-3 \\ 0 & -1 & 1 & 2 \end{vmatrix} \)

\(= \begin{vmatrix} -1 & 1 & 2 \\ -1 & -2 & m-3 \\ -1 & 1 & 2 \end{vmatrix} \)
Vì dòng 1 bằng dòng 3 nên định thức bằng 0. Vậy không tồn tại m.

Câu 44:

Cho M = {x, y, z, t} là tập sinh của không gian vecto V. Giả sử {x, y} là tập độc lập tuyến tính cực đại của M. Khẳng định nào sau đây luôn đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Vì {x, y} là tập độc lập tuyến tính cực đại của M = {x, y, z, t} nên z và t đều biểu diễn tuyến tính qua x và y. Hay span{x, y} = span{x, y, z, t} = V.
Phương án 1: {x, 2y, z} sinh ra V. Vì z biểu diễn tuyến tính qua x, y nên z = a*x + b*y. Khi đó, mọi vecto trong V đều biểu diễn tuyến tính qua x, 2y, z. Do đó {x, 2y, z} sinh ra V. Phương án này có thể đúng.
Phương án 2: {x, z, t} độc lập tuyến tính. Vì z, t biểu diễn tuyến tính qua x, y nên {x, z, t} phụ thuộc tuyến tính. Phương án này sai.
Phương án 3: {2x, 3y} không là cơ sở của V. Vì {x, y} là tập độc lập tuyến tính cực đại của M nên {x, y} là cơ sở của V. Do đó {2x, 3y} cũng là cơ sở của V. Phương án này sai.
Phương án 4: Hạng của họ {x + y, x, z, t} bằng 3. Vì z, t biểu diễn tuyến tính qua x, y nên z, t biểu diễn tuyến tính qua x+y, x. Do đó hạng của họ {x + y, x, z, t} bằng 2. Phương án này sai.
Vậy phương án đúng nhất là phương án 1.

Câu 45:

Cho \(V =<(1 , 1 ,1 ) , ( 2,1 , 0 ) , ( 5, 3, 1 ) >\). Khẳng định nào sau đây luôn đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Ta có \(V = \langle (1,1,1), (2,1,0), (5,3,1) \rangle\). Để xét các khẳng định, ta cần tìm một cơ sở của V.

Nhận thấy (5, 3, 1) = 2(2, 1, 0) + (1, 1, 1), do đó V chỉ được sinh bởi (1, 1, 1) và (2, 1, 0).

Vì (1, 1, 1) và (2, 1, 0) độc lập tuyến tính nên hệ này là một cơ sở của V. Vậy dim(V) = 2.

Xét đáp án:
1. Sai, vì \(\{(1, 1, 1), (0, 0, 1)\} \) độc lập tuyến tính và thuộc V nên nó là một cơ sở của V. Tuy nhiên (0,0,1) không thuộc V. (Vì nếu (0,0,1) thuộc V thì V có số chiều bằng 3).
2. Sai, vì dim(V) = 2.
3. \((1, 0, -1) = (2, 1, 0) - (1, 1, 1) \), do đó \((1, 0, -1) \in V\). Vậy đáp án này đúng.
4. Sai, vì có một đáp án đúng.

Câu 46:

Cho {x, y, z} là tập sinh của không gian vecto V. Khẳng định nào dưới đây luôn đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Vì {x, y, z} là tập sinh của V, nên mọi vector trong V đều biểu diễn tuyến tính qua x, y, z. Xét hệ x + y, x - y, 3z. Mọi vector v thuộc V có thể viết: v = a.x + b.y + c.z = a'. (x+y) + b'.(x-y) + c'.(3z). Như vậy, {x + y, x − y, 3z} cũng là tập sinh của V.

Câu 47:

Cho x, y, x là ba vecto của không gian vecto thực V, biết M = {x+y+z,2x+y+z, x+2y+z} là cơ sở của V. Khẳng định nào luôn đúng?

Lời giải:

Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP

Câu 48:

Cho \({( 1 , 1 ,1 ) , ( 2,1 , 0 ) , ( 5, 3, 1 ) }\) là tập sinh của không gian con F. Khẳng định nào sau đây luôn đúng?

Lời giải:

Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP

Câu 49:

Trong không gian V cho vecto x có tọa độ trong cơ sở \(E = {e_1 + e_2 + e_3;2e_1 + 3e_2 + e_3; e_1 + e_2 + 3e_3}\) là (3, −4, 5)_E. Khẳng định nào sau đây đúng?

Lời giải:

Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP

Câu 50:

Tìm tọa độ vecto x trong cơ sở {(1, 1, 1); (2, 1, 1); (1, 2, 1)}, biết tọa độ vecto x trong cơ sở {(1, 1, 0); (1, 0, 1); (1, 1, 1) } là \((2, 3, 1)^T.\)