Tìm tọa độ vecto x trong cơ sở {(1, 1, 1); (2, 1, 1); (1, 2, 1)}, biết tọa độ vecto x trong cơ sở {(1, 1, 0); (1, 0, 1); (1, 1, 1) } là \((2, 3, 1)^T.\)

Hệ vectơ nào sau đây không phải là không gian con của R³:

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Để một tập hợp con của R^3 là một không gian con, nó phải thỏa mãn ba điều kiện: (1) Chứa vector không (0,0,0); (2) Đóng với phép cộng vector; (3) Đóng với phép nhân với một số vô hướng.

Phương án 1: V = {(x - y, y, 0) / x, y ∈ R}. Ta có thể viết lại là V = {x(1,0,0) + y(-1,1,0) / x, y ∈ R}. Tập này chứa (0,0,0) khi x=y=0, và nó đóng với phép cộng và nhân vô hướng. Vậy nó là không gian con.

Phương án 2: V = {(x - y + z, z - y, x) / x, y, z ∈ R}. Ta có thể viết lại là V = {x(1,0,1) + y(-1,-1,0) + z(1,1,0) / x, y, z ∈ R}. Tập này chứa (0,0,0) khi x=y=z=0, và nó đóng với phép cộng và nhân vô hướng. Vậy nó là không gian con.

Phương án 3: V gồm tất cả các vectơ được sinh ra bởi hệ {(1,2,1),(-2,0,1),(1,2,-3),(3,-2,1)}. Vì V là không gian sinh bởi một hệ vectơ, nên nó chắc chắn là một không gian con của R^3.

Phương án 4: V = {(x, y, xy) / x, y ∈ R}. Xét hai vectơ thuộc V: u = (1, 1, 1) và v = (2, 2, 4). Cả hai vectơ này đều thuộc V. Tuy nhiên, u + v = (3, 3, 7). Vectơ này không thuộc V vì 3*3 = 9 ≠ 7. Do đó, V không đóng với phép cộng vectơ và không phải là không gian con của R^3.

Câu 2:

Cho A, B là các ma trận vuông cùng cấp và khả nghịch, đặt \(C = \left( {\frac{3}{5}{A^T}} \right)\left( {\frac{7}{4}B} \right)\). Khi đó:

Lời giải:

Đáp án đúng: C

We have C = \left( {\frac{3}{5}{A^T}} \right)\left( {\frac{7}{4}B} \right) = \frac{3}{5} \cdot \frac{7}{4} {A^T}B = \frac{{21}}{{20}}{A^T}B

Then {C^{ - 1}} = {\left( {\frac{{21}}{{20}}{A^T}B} \right)^{ - 1}} = {\left( {\frac{{21}}{{20}}} \right)^{ - 1}}{\left( {{A^T}B} \right)^{ - 1}} = \frac{{20}}{{21}}{B^{ - 1}}{\left( {{A^T}} \right)^{ - 1}} = \frac{{20}}{{21}}{B^{ - 1}}.{\left( {{A^{ - 1}}} \right)^T}

So the correct answer is: {C^{ - 1}} = \frac{{20}}{{21}}{B^{ - 1}}.{\left( {{A^{ - 1}}} \right)^T}

Câu 3:

Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất để số \(z = {( - \sqrt 3 + i)^n}\) là một số thực:

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Số phức z là số thực khi và chỉ khi phần ảo của nó bằng 0. Ta có:

\(- \sqrt 3 + i = 2\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right) = 2\left( {\cos \frac{{5\pi }}{6} + i\sin \frac{{5\pi }}{6}} \right) = 2{e^{i\frac{{5\pi }}{6}}}\)

Do đó, \(z = {( - \sqrt 3 + i)^n} = {2^n}{e^{i\frac{{5n\pi }}{6}}}\)

z là số thực khi và chỉ khi \(\frac{{5n\pi }}{6} = k\pi \) với k là một số nguyên.

\( \Rightarrow 5n = 6k \Rightarrow n = \frac{{6k}}{5}\)

n là số nguyên dương nhỏ nhất khi k = 5, suy ra n = 6.

Câu 4:

Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất để số \(z = {( - \sqrt 3 + i)^n}\) là một số thuần ảo:

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta có \(z = ( - \sqrt 3 + i)^n\). Để z là số thuần ảo thì phần thực của z phải bằng 0. Ta biến đổi \(-\sqrt 3 + i\) về dạng lượng giác: \(-\sqrt 3 + i = 2(-\frac{\sqrt 3}{2} + \frac{1}{2}i) = 2(cos\frac{5\pi}{6} + isin\frac{5\pi}{6}) = 2e^{i\frac{5\pi}{6}}
\)Khi đó \(z = (2e^{i\frac{5\pi}{6}})^n = 2^n e^{i\frac{5n\pi}{6}} = 2^n(cos\frac{5n\pi}{6} + isin\frac{5n\pi}{6})\). Để z là số thuần ảo thì \(cos\frac{5n\pi}{6} = 0 \Leftrightarrow \frac{5n\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + k\pi \Leftrightarrow \frac{5n}{6} = \frac{1}{2} + k \Leftrightarrow 5n = 3 + 6k \Leftrightarrow n = \frac{3 + 6k}{5}\). Với k = 0, 1, 2,... Ta cần tìm n nguyên dương nhỏ nhất nên ta chọn k sao cho 3 + 6k chia hết cho 5. Thử lần lượt với k = 0, 1, 2,... Ta thấy k = 2 thì n = \(\frac{3 + 6*2}{5} = \frac{15}{5} = 3\). Vậy n = 3 là số nguyên dương nhỏ nhất để z là số thuần ảo.

Câu 5:

Tìm \(\sqrt[3]{i}\) trong trường số phức:

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta có \(i = e^{i(\frac{\pi}{2} + 2k\pi )}\), với \(k \in \mathbb{Z}\).
Do đó, \(\sqrt[3]{i} = i^{\frac{1}{3}} = e^{i(\frac{\pi}{6} + \frac{2k\pi}{3})}\).

Với \(k = 0\), ta có \(z_0 = e^{\frac{i\pi}{6}}\).
Với \(k = 1\), ta có \(z_1 = e^{i(\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3})} = e^{\frac{5i\pi}{6}}\).
Với \(k = 2\), ta có \(z_2 = e^{i(\frac{\pi}{6} + \frac{4\pi}{3})} = e^{\frac{9i\pi}{6}} = e^{\frac{3i\pi}{2}}\).

Vậy, \(\sqrt[3]{i}\) có ba nghiệm là \(z_0 = e^{\frac{i\pi}{6}}, z_1 = e^{\frac{5i\pi}{6}}, z_2 = e^{\frac{9i\pi}{6}}\).

Câu 6:

Cho các số phức \(z = {e^{a + 2i}},a \in R\). Biểu diễn những số đó lên mặt phẳng phức ta được:

Lời giải: