Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất để số \(z = {( - \sqrt 3 + i)^n}\) là một số thực:

n = 12

n = 6

n = 3.

n = 8.

Trả lời:

Đáp án đúng: B

Số phức z là số thực khi và chỉ khi phần ảo của nó bằng 0. Ta có: \(- \sqrt 3 + i = 2\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right) = 2\left( {\cos \frac{{5\pi }}{6} + i\sin \frac{{5\pi }}{6}} \right) = 2{e^{i\frac{{5\pi }}{6}}}\) Do đó, \(z = {( - \sqrt 3 + i)^n} = {2^n}{e^{i\frac{{5n\pi }}{6}}}\) z là số thực khi và chỉ khi \(\frac{{5n\pi }}{6} = k\pi \) với k là một số nguyên. \( \Rightarrow 5n = 6k \Rightarrow n = \frac{{6k}}{5}\) n là số nguyên dương nhỏ nhất khi k = 5, suy ra n = 6.

260+ câu trắc nghiệm Đại số tuyến tính có giải thích chi tiết từng câu - Phần 5

Bộ 265 câu trắc nghiệm ôn thi môn Đại số tuyến tính có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn tham khảo!

50 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 4:

Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất để số \(z = {( - \sqrt 3 + i)^n}\) là một số thuần ảo:

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta có \(z = ( - \sqrt 3 + i)^n\). Để z là số thuần ảo thì phần thực của z phải bằng 0. Ta biến đổi \(-\sqrt 3 + i\) về dạng lượng giác: \(-\sqrt 3 + i = 2(-\frac{\sqrt 3}{2} + \frac{1}{2}i) = 2(cos\frac{5\pi}{6} + isin\frac{5\pi}{6}) = 2e^{i\frac{5\pi}{6}}
\)Khi đó \(z = (2e^{i\frac{5\pi}{6}})^n = 2^n e^{i\frac{5n\pi}{6}} = 2^n(cos\frac{5n\pi}{6} + isin\frac{5n\pi}{6})\). Để z là số thuần ảo thì \(cos\frac{5n\pi}{6} = 0 \Leftrightarrow \frac{5n\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + k\pi \Leftrightarrow \frac{5n}{6} = \frac{1}{2} + k \Leftrightarrow 5n = 3 + 6k \Leftrightarrow n = \frac{3 + 6k}{5}\). Với k = 0, 1, 2,... Ta cần tìm n nguyên dương nhỏ nhất nên ta chọn k sao cho 3 + 6k chia hết cho 5. Thử lần lượt với k = 0, 1, 2,... Ta thấy k = 2 thì n = \(\frac{3 + 6*2}{5} = \frac{15}{5} = 3\). Vậy n = 3 là số nguyên dương nhỏ nhất để z là số thuần ảo.

Câu 5:

Tìm \(\sqrt[3]{i}\) trong trường số phức:

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta có \(i = e^{i(\frac{\pi}{2} + 2k\pi )}\), với \(k \in \mathbb{Z}\).
Do đó, \(\sqrt[3]{i} = i^{\frac{1}{3}} = e^{i(\frac{\pi}{6} + \frac{2k\pi}{3})}\).

Với \(k = 0\), ta có \(z_0 = e^{\frac{i\pi}{6}}\).
Với \(k = 1\), ta có \(z_1 = e^{i(\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3})} = e^{\frac{5i\pi}{6}}\).
Với \(k = 2\), ta có \(z_2 = e^{i(\frac{\pi}{6} + \frac{4\pi}{3})} = e^{\frac{9i\pi}{6}} = e^{\frac{3i\pi}{2}}\).

Vậy, \(\sqrt[3]{i}\) có ba nghiệm là \(z_0 = e^{\frac{i\pi}{6}}, z_1 = e^{\frac{5i\pi}{6}}, z_2 = e^{\frac{9i\pi}{6}}\).

Câu 6:

Cho các số phức \(z = {e^{a + 2i}},a \in R\). Biểu diễn những số đó lên mặt phẳng phức ta được:

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta có \(z = {e^{a + 2i}} = {e^a}.{e^{2i}} = {e^a}.(cos2 + isin2)\)
\(\Rightarrow \left| z \right| = {e^a}\)
Vì \(a \in R\) nên \({e^a} > 0\), và \(\left| z \right|\) có thể nhận mọi giá trị dương.
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn bán kính \({e^a}\). Vì \(a\) thay đổi, bán kính thay đổi. Tuy nhiên, argument của z là 2, một hằng số. Do đó, các điểm biểu diễn z nằm trên tia có argument bằng 2. Vì \(\left| z \right|\) có thể nhận mọi giá trị dương, nên các điểm biểu diễn z nằm trên nửa đường thẳng.

Câu 7:

Tập hợp tất cả các số phức \(\left| {z - 5} \right| = \left| {z + 5} \right|\) trong mặt phẳng phức là:

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Gọi z = x + yi, với x, y là các số thực. Khi đó, |z - 5| = |(x - 5) + yi| = \(\sqrt{(x-5)^2 + y^2}\) và |z + 5| = |(x + 5) + yi| = \(\sqrt{(x+5)^2 + y^2}\).

Theo đề bài, |z - 5| = |z + 5|, suy ra \(\sqrt{(x-5)^2 + y^2} = \sqrt{(x+5)^2 + y^2}\).

Bình phương hai vế, ta được (x - 5)^2 + y^2 = (x + 5)^2 + y^2.

Khai triển và rút gọn, ta có x^2 - 10x + 25 + y^2 = x^2 + 10x + 25 + y^2, suy ra -10x = 10x, hay 20x = 0, do đó x = 0.

Vậy tập hợp các số phức z thỏa mãn điều kiện đã cho là tập hợp các số phức có phần thực bằng 0, tức là trục ảo, hay trục Oy.

Câu 8:

Tìm \(\sqrt i \) trong trường số phức:

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta có \(i = {e^{\frac{{i\pi }}{2}}}\). Khi đó, \(\sqrt i = {i^{\frac{1}{2}}} = {e^{\frac{{i\pi }}{4}}}\). Vì hàm mũ là hàm tuần hoàn với chu kỳ \(2\pi \) nên \({e^{\frac{{i\pi }}{4}}} = {e^{\frac{{i\pi }}{4} + i2\pi }} = {e^{\frac{{i9\pi }}{4}}}\). Để tìm căn bậc hai của \(i\), ta tìm hai giá trị phân biệt của \(z\) sao cho \({z^2} = i\). Do đó, ta có \({z_1} = {e^{\frac{{i\pi }}{4}}}\) và \({z_2} = {e^{\frac{{i(\pi + 4\pi )}}{4}}} = {e^{\frac{{5i\pi }}{4}}}\).

Câu 9:

Giải phương trình \((2 + i)z = {(1 - i)^2}\) trong C

Lời giải: