Tính \(z = \frac{{1 + {i^{20}}}}{{3 + i}}\)
Đáp án đúng: B
Ta có \(i^{20} = (i^4)^5 = 1^5 = 1\)
Suy ra \(z = \frac{{1 + {i^{20}}}}{{3 + i}} = \frac{{1 + 1}}{{3 + i}} = \frac{2}{{3 + i}}\)
Để khử mẫu, ta nhân cả tử và mẫu với liên hợp của mẫu:
\(z = \frac{{2(3 - i)}}{{(3 + i)(3 - i)}} = \frac{{6 - 2i}}{{9 - {i^2}}} = \frac{{6 - 2i}}{{9 - ( - 1)}} = \frac{{6 - 2i}}{{10}} = \frac{6}{{10}} - \frac{{2i}}{{10}} = \frac{3}{5} - \frac{1}{5}i = \frac{3}{5} + \frac{{ - 1}}{5}i\)
Vậy \(z=\frac{3}{5} - \frac{i}{5}\)
Bộ 265 câu trắc nghiệm ôn thi môn Đại số tuyến tính có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn tham khảo!
Câu hỏi liên quan
Gọi ma trận thứ nhất là B và ma trận thứ hai là C.
\(B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
3&1&5\\
2&3&2\\
5&{ - 1}&7
\end{array}} \right]\)
\(C = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&2&1\\
1&4&3\\
m&2&{ - 1}
\end{array}} \right]\)
Tính định thức của B:
\(\det(B) = 3(3*7 - (-1)*2) - 1(2*7 - 5*2) + 5(2*(-1) - 5*3) = 3(21+2) - (14-10) + 5(-2-15) = 3(23) - 4 + 5(-17) = 69 - 4 - 85 = -20\)
Tính định thức của C:
\(\det(C) = 1(4*(-1) - 3*2) - 2(1*(-1) - 3*m) + 1(1*2 - 4*m) = 1(-4-6) - 2(-1-3m) + (2-4m) = -10 + 2 + 6m + 2 - 4m = -6 + 2m\)
\(\det(A) = \det(B) * \det(C) = -20 * (-6 + 2m)\)
Để A khả nghịch thì \(\det(A) \ne 0\), tức là \(-20 * (-6 + 2m) \ne 0\)
\(-6 + 2m \ne 0 \Rightarrow 2m \ne 6 \Rightarrow m \ne 3\)
Vậy, A khả nghịch khi \(m \ne 3\).
Tính định thức của A:
det(A) = 1*(3*(2*8-7*5) - 4*(2*8-4*5) + 2*(2*7-4*3) - 1*(2*7-4*3)) - 1*(2*(2*8-7*5) - 4*(3*8-4*5) + 2*(3*7-4*4) - 5*(3*7-4*4)) + 2*(2*(4*8-5*7) - 3*(1*8-5*4) + 4*(1*7-5*2) - 5*(1*7-2*2)) - 1*(2*(4*7-5*4) - 3*(1*7-2*4) + 4*(1*5-2*2) - 7*(1*5-2*2))
det(A) = 1*(3*(-19) - 4*(-4) + 2*2 - 1*2) - 1*(2*(-19) - 4*4 + 2*5 - 5*5) + 2*(2*(-3) - 3*(-12) + 4*(-3) - 5*(-3)) - 1*(2*8 - 3*(-1) + 4*1 - 7*1)
det(A) = 1*(-57 + 16 + 4 - 2) - 1*(-38 - 16 + 10 - 25) + 2*(-6 + 36 - 12 + 15) - 1*(16 + 3 + 4 - 7)
det(A) = -39 - (-69) + 2*(33) - 16
det(A) = -39 + 69 + 66 - 16
det(A) = 80
Vì det(A) != 0, suy ra hạng(A) = 4.
Ma trận phụ hợp P_A có cấp bằng cấp của ma trận A, tức là 4x4.
Ta có công thức: A * P_A = det(A) * I_4, với I_4 là ma trận đơn vị cấp 4.
Vì det(A) != 0, nên P_A khả nghịch, tức là det(P_A) != 0.
Vậy, hạng(P_A) = 4.
det(A) = 1*(3*2 - 4*m) - 0 + 2*(2*4 - 3*3) = 6 - 4m + 2*(8 - 9) = 6 - 4m - 2 = 4 - 4m
Để det(A) ≠ 0, ta có:
4 - 4m ≠ 0
4m ≠ 4
m ≠ 1
Vậy, đáp án đúng là m ≠ 1.
Để hạng của ma trận A bằng 3, ta cần xét định thức của các ma trận con vuông cấp 3 của A. Ma trận A có kích thước 3x4, vì vậy hạng của A tối đa là 3. Ta sẽ biến đổi ma trận A về dạng bậc thang.
\(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&2&k&2\\
2&3&1&k\\
3&5&{2k}&k
\end{array}} \right]\)
Thực hiện phép biến đổi sơ cấp trên hàng: H2 = H2 - 2*H1, H3 = H3 - 3*H1
\(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&2&k&2\\
0&-1&1-2k&k-4\\
0&-1&-k&k-6
\end{array}} \right]\)
Thực hiện phép biến đổi sơ cấp trên hàng: H3 = H3 - H2
\(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&2&k&2\\
0&-1&1-2k&k-4\\
0&0&-1+k&-2
\end{array}} \right]\)
Để hạng của A bằng 3, thì tất cả các hàng của A phải khác 0, tức là \(-1+k \ne 0\) và \(-2 \ne 0\) (luôn đúng)
Suy ra \(k \ne 1\)
Theo đề bài, ma trận Fourier cấp n có dạng \(A = ({a_{k,j}})\) với \({a_{k,j}} = {z^{(k - 1).(j - 1)}}\), trong đó \(z = \cos \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right) - i\sin \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right)\).
Với n = 3, ta có \(z = \cos \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) - i\sin \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right)\).
Khi đó ma trận Fourier cấp 3 là:
\(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{z^{(1 - 1).(1 - 1)}}}&{{z^{(1 - 1).(2 - 1)}}}&{{z^{(1 - 1).(3 - 1)}}}\\
{{z^{(2 - 1).(1 - 1)}}}&{{z^{(2 - 1).(2 - 1)}}}&{{z^{(2 - 1).(3 - 1)}}}\\
{{z^{(3 - 1).(1 - 1)}}}&{{z^{(3 - 1).(2 - 1)}}}&{{z^{(3 - 1).(3 - 1)}}
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{z^0}}&{{z^0}}&{{z^0}}\\
{{z^0}}&{{z^1}}&{{z^2}}\\
{{z^0}}&{{z^2}}&{{z^4}}
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1\\
1&z&{{z^2}}\\
1&{{z^2}}&z
\end{array}} \right)\) (vì \({z^4} = z.z^3=z\) và \(z^0=1\))
Vậy đáp án đúng là:
\(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1\\
1&z&{{z^2}}\\
1&{{z^2}}&z
\end{array}} \right)\)
