Cho \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&k&2\\ 2&3&1&k\\ 3&5&{2k}&k \end{array}} \right]\) với giá trị nào của k thì hạng của ma trận A bằng 3?
Đáp án đúng: C
Để hạng của ma trận A bằng 3, ta cần xét định thức của các ma trận con vuông cấp 3 của A. Ma trận A có kích thước 3x4, vì vậy hạng của A tối đa là 3. Ta sẽ biến đổi ma trận A về dạng bậc thang.
\(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&k&2\\ 2&3&1&k\\ 3&5&{2k}&k \end{array}} \right]\)
Thực hiện phép biến đổi sơ cấp trên hàng: H2 = H2 - 2*H1, H3 = H3 - 3*H1
\(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&k&2\\ 0&-1&1-2k&k-4\\ 0&-1&-k&k-6 \end{array}} \right]\)
Thực hiện phép biến đổi sơ cấp trên hàng: H3 = H3 - H2
\(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&k&2\\ 0&-1&1-2k&k-4\\ 0&0&-1+k&-2 \end{array}} \right]\)
Để hạng của A bằng 3, thì tất cả các hàng của A phải khác 0, tức là \(-1+k \ne 0\) và \(-2 \ne 0\) (luôn đúng)
Suy ra \(k \ne 1\)
Bộ 265 câu trắc nghiệm ôn thi môn Đại số tuyến tính có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn tham khảo!
Câu hỏi liên quan
Theo đề bài, ma trận Fourier cấp n có dạng \(A = ({a_{k,j}})\) với \({a_{k,j}} = {z^{(k - 1).(j - 1)}}\), trong đó \(z = \cos \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right) - i\sin \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right)\).
Với n = 3, ta có \(z = \cos \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) - i\sin \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right)\).
Khi đó ma trận Fourier cấp 3 là:
\(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{z^{(1 - 1).(1 - 1)}}}&{{z^{(1 - 1).(2 - 1)}}}&{{z^{(1 - 1).(3 - 1)}}}\\
{{z^{(2 - 1).(1 - 1)}}}&{{z^{(2 - 1).(2 - 1)}}}&{{z^{(2 - 1).(3 - 1)}}}\\
{{z^{(3 - 1).(1 - 1)}}}&{{z^{(3 - 1).(2 - 1)}}}&{{z^{(3 - 1).(3 - 1)}}
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{z^0}}&{{z^0}}&{{z^0}}\\
{{z^0}}&{{z^1}}&{{z^2}}\\
{{z^0}}&{{z^2}}&{{z^4}}
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1\\
1&z&{{z^2}}\\
1&{{z^2}}&z
\end{array}} \right)\) (vì \({z^4} = z.z^3=z\) và \(z^0=1\))
Vậy đáp án đúng là:
\(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1\\
1&z&{{z^2}}\\
1&{{z^2}}&z
\end{array}} \right)\)
Ta có công thức (I-2.u.uT).X = X - 2(uTX)u
Tính uTX = (1/3 -2/3 2/3).(1 -2 1)T = 1/3 + 4/3 + 2/3 = 7/3
=> (I-2.u.uT).X = (1 -2 1)T - 2*7/3*(1/3 -2/3 2/3)T
= (1 -2 1)T - (14/9 -28/9 28/9)T = (-5/9 -18/9+28/9 9/9-28/9)T
= (-5/9 10/9 -19/9)T
Vậy không có đáp án nào đúng
1. Tính ma trận AB:
\(AB = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&2&{ - 1}\\
2&3&2\\
{ - 3}&1&4
\end{array}} \right) \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
2&{ - 1}&3\\
{ - 1}&4&0\\
3&{ - 1}&2
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
2 - 2 - 3&{ - 1 + 8 + 1}&{3 + 0 - 2}\\
4 - 3 + 6&{ - 2 + 12 - 2}&{6 + 0 + 4}\\
{ - 6 - 1 + 12}&{3 + 4 - 4}&{ - 9 + 0 + 8}
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 3}&8&1\\
7&8&{10}\\
5&3&{ - 1}
\end{array}} \right)\)
2. Tính tổng trị tuyệt đối của từng cột:
- Cột 1: |-3| + |7| + |5| = 3 + 7 + 5 = 15
- Cột 2: |8| + |8| + |3| = 8 + 8 + 3 = 19
- Cột 3: |1| + |10| + |-1| = 1 + 10 + 1 = 12
3. Tìm giá trị lớn nhất trong các tổng trên: max(15, 19, 12) = 19
Vậy, 1-chuẩn của ma trận AB là 19.
Các phép biến đổi sơ cấp trên hàng tương ứng với việc nhân ma trận A bên trái với một ma trận vuông cấp 3. Ta thực hiện các phép biến đổi trên ma trận đơn vị cấp 3 (\(I_3\)) để tìm ma trận cần tìm.
- Phép biến đổi 1: Cộng vào hàng 2, hàng 1 nhân với 3. Thực hiện trên \(I_3\) ta được ma trận: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&0\\3&1&0\\0&0&1\end{array}} \right]\)
- Phép biến đổi 2: Đổi chỗ hàng 2 và hàng 3. Thực hiện trên ma trận vừa tìm được ta được ma trận: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&0\\3&0&1\\0&1&0\end{array}} \right]\)
Vậy ma trận cần tìm là: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&0\\3&0&1\\0&1&0\end{array}} \right]\)
- a1,1 = z(1-1)(1-1) = z0 = 1
- a1,2 = z(1-1)(2-1) = z0 = 1
- a2,1 = z(2-1)(1-1) = z0 = 1
- a2,2 = z(2-1)(2-1) = z1 = z = -1
Do đó, ma trận Fourier cấp 2 là \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1\\ 1&{-1} \end{array}} \right)\).
