Cho \(z = \cos \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right) - i\sin \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right)\) là một nghiệm của \(\sqrt[n]{1}\). Ma trận vuông A = (ak,j) cấp n, với ak,j=z(k−1).(j−1) được gọi là ma trận Fourier. Tìm biến đổi Fourier cấp 2.
Trả lời:
Đáp án đúng: B
Câu hỏi yêu cầu tìm ma trận Fourier cấp 2. Với n=2, ta có \(z = \cos \left( {\frac{{2\pi }}{2}} \right) - i\sin \left( {\frac{{2\pi }}{2}} \right) = \cos(\pi) - i\sin(\pi) = -1\). Ma trận Fourier A có dạng ak,j = z(k-1)(j-1). Vậy:
- a1,1 = z(1-1)(1-1) = z0 = 1
- a1,2 = z(1-1)(2-1) = z0 = 1
- a2,1 = z(2-1)(1-1) = z0 = 1
- a2,2 = z(2-1)(2-1) = z1 = z = -1
Do đó, ma trận Fourier cấp 2 là \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1\\ 1&{-1} \end{array}} \right)\).
Bộ 265 câu trắc nghiệm ôn thi môn Đại số tuyến tính có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn tham khảo!
50 câu hỏi 60 phút
Câu hỏi liên quan
Lời giải:
Đáp án đúng: A
Để tìm \(\infty\)-chuẩn của ma trận AB, ta cần thực hiện các bước sau:
1. Tính ma trận AB:
\(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{ - 1}&2\\ 2&3&2\\ { - 3}&1&4 \end{array}} \right)\)
\(B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4&{ - 2}&0\\ { - 1}&2&0\\ 3&{ - 1}&2 \end{array}} \right)\)
\(AB = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} (3)(4) + (-1)(-1) + (2)(3) & (3)(-2) + (-1)(2) + (2)(-1) & (3)(0) + (-1)(0) + (2)(2) \\ (2)(4) + (3)(-1) + (2)(3) & (2)(-2) + (3)(2) + (2)(-1) & (2)(0) + (3)(0) + (2)(2) \\ (-3)(4) + (1)(-1) + (4)(3) & (-3)(-2) + (1)(2) + (4)(-1) & (-3)(0) + (1)(0) + (4)(2) \end{array}} \right)\)
\(AB = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 12 + 1 + 6 & -6 - 2 - 2 & 0 + 0 + 4 \\ 8 - 3 + 6 & -4 + 6 - 2 & 0 + 0 + 4 \\ -12 - 1 + 12 & 6 + 2 - 4 & 0 + 0 + 8 \end{array}} \right)\)
\(AB = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 19 & -10 & 4 \\ 11 & 0 & 4 \\ -1 & 4 & 8 \end{array}} \right)\)
2. Tính tổng trị tuyệt đối của mỗi hàng:
- Hàng 1: |19| + |-10| + |4| = 19 + 10 + 4 = 33
- Hàng 2: |11| + |0| + |4| = 11 + 0 + 4 = 15
- Hàng 3: |-1| + |4| + |8| = 1 + 4 + 8 = 13
3. Tìm giá trị lớn nhất trong các tổng này:
Giá trị lớn nhất là 33.
Vậy, \(\infty\)-chuẩn của ma trận AB là 33.
1. Tính ma trận AB:
\(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{ - 1}&2\\ 2&3&2\\ { - 3}&1&4 \end{array}} \right)\)
\(B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4&{ - 2}&0\\ { - 1}&2&0\\ 3&{ - 1}&2 \end{array}} \right)\)
\(AB = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} (3)(4) + (-1)(-1) + (2)(3) & (3)(-2) + (-1)(2) + (2)(-1) & (3)(0) + (-1)(0) + (2)(2) \\ (2)(4) + (3)(-1) + (2)(3) & (2)(-2) + (3)(2) + (2)(-1) & (2)(0) + (3)(0) + (2)(2) \\ (-3)(4) + (1)(-1) + (4)(3) & (-3)(-2) + (1)(2) + (4)(-1) & (-3)(0) + (1)(0) + (4)(2) \end{array}} \right)\)
\(AB = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 12 + 1 + 6 & -6 - 2 - 2 & 0 + 0 + 4 \\ 8 - 3 + 6 & -4 + 6 - 2 & 0 + 0 + 4 \\ -12 - 1 + 12 & 6 + 2 - 4 & 0 + 0 + 8 \end{array}} \right)\)
\(AB = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 19 & -10 & 4 \\ 11 & 0 & 4 \\ -1 & 4 & 8 \end{array}} \right)\)
2. Tính tổng trị tuyệt đối của mỗi hàng:
- Hàng 1: |19| + |-10| + |4| = 19 + 10 + 4 = 33
- Hàng 2: |11| + |0| + |4| = 11 + 0 + 4 = 15
- Hàng 3: |-1| + |4| + |8| = 1 + 4 + 8 = 13
3. Tìm giá trị lớn nhất trong các tổng này:
Giá trị lớn nhất là 33.
Vậy, \(\infty\)-chuẩn của ma trận AB là 33.
Lời giải:
Đáp án đúng: A
Để tính định thức của ma trận A, ta có thể sử dụng khai triển Laplace theo cột. Ở đây, cột 1 có hai phần tử bằng 0, nên việc khai triển theo cột 1 sẽ đơn giản hơn.
\(\left| A \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&2&{ - 1}&1\\
0&1&0&1\\
2&m&4&1\\
0&3&0&5
\end{array}} \right| = 1 * \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0&1\\
m&4&1\\
3&0&5
\end{array}} \right| - 0 + 2 * \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&{ - 1}&1\\
1&0&1\\
3&0&5
\end{array}} \right| - 0\)
Giờ ta tính định thức của hai ma trận con 3x3:
Ma trận 1: \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0&1\\
m&4&1\\
3&0&5
\end{array}} \right| = 4 * \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1\\
3&5
\end{array}} \right| = 4 * (5 - 3) = 4 * 2 = 8\)
Ma trận 2: \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&{ - 1}&1\\
1&0&1\\
3&0&5
\end{array}} \right| = -(-1) * \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1\\
3&5
\end{array}} \right| = 1 * (5 - 3) = 2\)
Vậy \(\left| A \right| = 1 * 8 + 2 * 2 = 8 + 4 = 12\)
\(\left| A \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&2&{ - 1}&1\\
0&1&0&1\\
2&m&4&1\\
0&3&0&5
\end{array}} \right| = 1 * \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0&1\\
m&4&1\\
3&0&5
\end{array}} \right| - 0 + 2 * \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&{ - 1}&1\\
1&0&1\\
3&0&5
\end{array}} \right| - 0\)
Giờ ta tính định thức của hai ma trận con 3x3:
Ma trận 1: \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0&1\\
m&4&1\\
3&0&5
\end{array}} \right| = 4 * \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1\\
3&5
\end{array}} \right| = 4 * (5 - 3) = 4 * 2 = 8\)
Ma trận 2: \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&{ - 1}&1\\
1&0&1\\
3&0&5
\end{array}} \right| = -(-1) * \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1\\
3&5
\end{array}} \right| = 1 * (5 - 3) = 2\)
Vậy \(\left| A \right| = 1 * 8 + 2 * 2 = 8 + 4 = 12\)
Lời giải:
Đáp án đúng: C
Để phương trình có vô số nghiệm, định thức của ma trận phải bằng 0.
Ta có:
\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&x&{{x^2}}\\
1&2&4\\
1&a&{{a^2}}
\end{array}} \right| = (2-x)(a^2-4) - (a-2)(x^2-4) = (2-x)(a-2)(a+2) - (a-2)(x-2)(x+2)
= (a-2)[(2-x)(a+2) - (x-2)(x+2)] = (a-2)[(2-x)(a+2) + (2-x)(x+2)] = (a-2)(2-x)(a+2+x+2) = (a-2)(2-x)(a+x+4)\)
Để định thức bằng 0 với mọi x, ta cần a = 2 hoặc a = -x-4. Vì phương trình có vô số nghiệm với mọi x nên a=2. Vậy a=2
Vậy, khẳng định đúng là a = 2.
Ta có:
\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&x&{{x^2}}\\
1&2&4\\
1&a&{{a^2}}
\end{array}} \right| = (2-x)(a^2-4) - (a-2)(x^2-4) = (2-x)(a-2)(a+2) - (a-2)(x-2)(x+2)
= (a-2)[(2-x)(a+2) - (x-2)(x+2)] = (a-2)[(2-x)(a+2) + (2-x)(x+2)] = (a-2)(2-x)(a+2+x+2) = (a-2)(2-x)(a+x+4)\)
Để định thức bằng 0 với mọi x, ta cần a = 2 hoặc a = -x-4. Vì phương trình có vô số nghiệm với mọi x nên a=2. Vậy a=2
Vậy, khẳng định đúng là a = 2.
Lời giải:
Đáp án đúng: C
Để tìm giá trị của m sao cho det(A) = 0, ta cần tính định thức của ma trận A. Tuy nhiên, câu hỏi lại yêu cầu tìm m để det(PA) = 0, trong đó P không được định nghĩa. Giả sử P là một ma trận khả nghịch, thì det(PA) = det(P) * det(A). Vì det(P) khác 0 (do P khả nghịch), det(PA) = 0 khi và chỉ khi det(A) = 0. Ta sẽ tính định thức của A và giải phương trình det(A) = 0 để tìm m.
Tính định thức của A:
A = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&{-1}&2\\
2&3&1&4\\
3&2&m&1\\
4&5&3&9
\end{array}} \right]\)
Sử dụng phép biến đổi sơ cấp trên hàng để đơn giản ma trận:
H2 = H2 - 2H1
H3 = H3 - 3H1
H4 = H4 - 4H1
Ta được:
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&{-1}&2\\
0&1&3&0\\
0&{-1}&{m+3}&{-5}\\
0&1&7&1
\end{array}} \right]\)
H3 = H3 + H2
H4 = H4 - H2
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&{-1}&2\\
0&1&3&0\\
0&0&{m+6}&{-5}\\
0&0&4&1
\end{array}} \right]\)
Đổi chỗ H3 và H4:
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&{-1}&2\\
0&1&3&0\\
0&0&4&1\\
0&0&{m+6}&{-5}
\end{array}} \right]\)
H4 = H4 - ((m+6)/4) * H3
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&{-1}&2\\
0&1&3&0\\
0&0&4&1\\
0&0&0&{-5 - (m+6)/4}
\end{array}} \right]\)
Định thức của ma trận này là: 1 * 1 * 4 * (-5 - (m+6)/4) = 0
=> -5 - (m+6)/4 = 0
=> -20 - m - 6 = 0
=> m = -26
Tuy nhiên không có đáp án nào là -26, nên ta sẽ kiểm tra lại các đáp án bằng cách thay vào và tính định thức.
Nếu P là ma trận đơn vị (I), ta có det(IA) = det(A) = 0
Nếu m = 26: det(A) khác 0
Nếu m = 20: det(A) khác 0
Nếu m = 0: det(A) khác 0
Vì không có đáp án đúng, ta chọn "Ba câu kia đều sai".
Tính định thức của A:
A = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&{-1}&2\\
2&3&1&4\\
3&2&m&1\\
4&5&3&9
\end{array}} \right]\)
Sử dụng phép biến đổi sơ cấp trên hàng để đơn giản ma trận:
H2 = H2 - 2H1
H3 = H3 - 3H1
H4 = H4 - 4H1
Ta được:
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&{-1}&2\\
0&1&3&0\\
0&{-1}&{m+3}&{-5}\\
0&1&7&1
\end{array}} \right]\)
H3 = H3 + H2
H4 = H4 - H2
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&{-1}&2\\
0&1&3&0\\
0&0&{m+6}&{-5}\\
0&0&4&1
\end{array}} \right]\)
Đổi chỗ H3 và H4:
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&{-1}&2\\
0&1&3&0\\
0&0&4&1\\
0&0&{m+6}&{-5}
\end{array}} \right]\)
H4 = H4 - ((m+6)/4) * H3
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&{-1}&2\\
0&1&3&0\\
0&0&4&1\\
0&0&0&{-5 - (m+6)/4}
\end{array}} \right]\)
Định thức của ma trận này là: 1 * 1 * 4 * (-5 - (m+6)/4) = 0
=> -5 - (m+6)/4 = 0
=> -20 - m - 6 = 0
=> m = -26
Tuy nhiên không có đáp án nào là -26, nên ta sẽ kiểm tra lại các đáp án bằng cách thay vào và tính định thức.
Nếu P là ma trận đơn vị (I), ta có det(IA) = det(A) = 0
Nếu m = 26: det(A) khác 0
Nếu m = 20: det(A) khác 0
Nếu m = 0: det(A) khác 0
Vì không có đáp án đúng, ta chọn "Ba câu kia đều sai".
Lời giải:
Đáp án đúng: C
Để tính det(2AB), ta sử dụng các tính chất của định thức. Ta có det(2AB) = det(2I * A * B) = det(2I) * det(A) * det(B), trong đó I là ma trận đơn vị cấp 3.
Tính det(A):
Vì A là ma trận tam giác trên, định thức của A là tích các phần tử trên đường chéo chính: det(A) = 3 * 1 * 1 = 3.
Tính det(B):
\(\begin{aligned}
det(B) &= \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
0&0&{ - 1}\\
0&2&5\\
1&{ - 2}&7
\end{array}} \right| \\
&= 0 * \left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&5\\{-2}&7\end{array}} \right| - 0 * \left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&5\\1&7\end{array}} \right| + (-1) * \left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&2\\1&{-2}\end{array}} \right| \\
&= -1 * (0*(-2) - 2*1) \\
&= -1 * (-2) = 2
\end{aligned}\)
Tính det(2I):
\(2I = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
2&0&0\\
0&2&0\\
0&0&2
\end{array}} \right)\)
Vậy det(2I) = 2 * 2 * 2 = 8.
Suy ra: det(2AB) = det(2I) * det(A) * det(B) = 8 * 3 * 2 = 48.
Vì không có đáp án nào là 48, nên đáp án đúng là "Ba câu kia đều sai".
Tính det(A):
Vì A là ma trận tam giác trên, định thức của A là tích các phần tử trên đường chéo chính: det(A) = 3 * 1 * 1 = 3.
Tính det(B):
\(\begin{aligned}
det(B) &= \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
0&0&{ - 1}\\
0&2&5\\
1&{ - 2}&7
\end{array}} \right| \\
&= 0 * \left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&5\\{-2}&7\end{array}} \right| - 0 * \left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&5\\1&7\end{array}} \right| + (-1) * \left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&2\\1&{-2}\end{array}} \right| \\
&= -1 * (0*(-2) - 2*1) \\
&= -1 * (-2) = 2
\end{aligned}\)
Tính det(2I):
\(2I = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
2&0&0\\
0&2&0\\
0&0&2
\end{array}} \right)\)
Vậy det(2I) = 2 * 2 * 2 = 8.
Suy ra: det(2AB) = det(2I) * det(A) * det(B) = 8 * 3 * 2 = 48.
Vì không có đáp án nào là 48, nên đáp án đúng là "Ba câu kia đều sai".
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
