Tìm bậc của f(x), biết \(f(x) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 4&{ - 1}&2&5\\ 1&2&6&{ - 1}\\ {{x^2}}&x&{{x^3} + 1}&{x + 4}\\ { - 1}&2&1&0 \end{array}} \right|\)

Ta thấy hệ phương trình thứ nhất có nghiệm là nghiệm của hệ phương trình thứ hai. Do đó, để hai hệ phương trình tương đương thì hệ phương trình thứ hai phải có nghiệm là nghiệm của hệ phương trình thứ nhất.

Giải hệ phương trình thứ nhất:

\(\left\{ \begin{array}{l}
x + 2y + 5z = 0 (1)\\
x + 3y + 7z = 0 (2)\\
x + 4y + 9z = 0 (3)
\end{array} \right.\)

Lấy (2) - (1) và (3) - (2) ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l}
y + 2z = 0\\
y + 2z = 0
\end{array} \right. \Rightarrow y = -2z\)

Thay vào (1) ta có:\(x + 2(-2z) + 5z = 0 \Rightarrow x + z = 0 \Rightarrow x = -z\)

Vậy hệ phương trình thứ nhất có nghiệm \((x; y; z) = (-z; -2z; z)\). Nghiệm này cũng là nghiệm của hệ phương trình thứ hai. Thay vào phương trình cuối của hệ thứ hai ta được:

\(3(-z) + 10(-2z) + mz = 0 \Leftrightarrow -3z - 20z + mz = 0 \Leftrightarrow (-23 + m)z = 0\)

Để điều này đúng với mọi z thì m = 23.

Ta biến đổi hệ phương trình về dạng bậc thang như sau:

\(\left\{ \begin{array}{l} x + y + z + t = 1\\ 2x + 3y + 4z - t = 3\\ 3x + y + 2z + 5t = 2\\ 4x + 6y + 3z + mt = 1 \end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y + z + t = 1\\ y + 2z - 3t = 1\\ - 2y - z + 2t = - 1\\ 2y - z + (m - 4)t = - 3 \end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y + z + t = 1\\ y + 2z - 3t = 1\\ 3z - 4t = 1\\ - 3z + (m - 1)t = - 5 \end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y + z + t = 1\\ y + 2z - 3t = 1\\ 3z - 4t = 1\\ (m - 5)t = - 4 \end{array} \right.\)

Hệ vô nghiệm khi và chỉ khi \(m - 5 = 0\) hay \(m = 5\).

Ta có: \(D = \begin{vmatrix}
m & 1 & 1 \\
1 & m & 1 \\
1 & 1 & m
\end{vmatrix} = m^3 - 3m + 2 = (m - 1)^2 (m + 2)\)

Xét các trường hợp:

+ Nếu \(m \ne 1\) và \(m \ne -2\) thì \(D \ne 0\), hệ có nghiệm duy nhất.

+ Nếu \(m = 1\), hệ trở thành \(\left\{ \begin{array}{l}
x + y + z = 1\\
x + y + z = 1\\
x + y + z = 1
\end{array} \right.\), hệ có vô số nghiệm.

+ Nếu \(m = -2\), hệ trở thành \(\left\{ \begin{array}{l}
-2x + y + z = 1\\
x - 2y + z = 1\\
x + y - 2z = -2
\end{array} \right.\)

Khi đó: \(D_x = \begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & -2 & 1 \\
-2 & 1 & -2
\end{vmatrix} = 4 + (-2) + 1 - 4 - 1 - 2 = -4\)

Vì \(D = 0\) và \(D_x \ne 0\) nên hệ vô nghiệm.

Vậy \(m = -2\) thì hệ vô nghiệm.

Để mọi nghiệm của hệ (I) là nghiệm của hệ (II), ta cần hệ (I) phải có vô số nghiệm (tức định thức của ma trận hệ số bằng 0) và các nghiệm đó thỏa mãn hệ (II).

Xét hệ (I):

\(\left\{ \begin{array}{l}
x + 2y + 2z = 0{\rm{ }}\\
3x + 4y + 6z = 0{\rm{ }}\\
2x + 5y + mz = 0
\end{array} \right.\)

Ta có định thức của ma trận hệ số là:

\(\begin{vmatrix}
1 & 2 & 2 \\
3 & 4 & 6 \\
2 & 5 & m
\end{vmatrix} = 1(4m - 30) - 2(3m - 12) + 2(15 - 8) = 4m - 30 - 6m + 24 + 14 = -2m + 8\)

Để hệ (I) có vô số nghiệm, định thức phải bằng 0:

\(-2m + 8 = 0 \Rightarrow m = 4\)

Khi \(m = 4\), hệ (I) trở thành:

\(\left\{ \begin{array}{l}
x + 2y + 2z = 0{\rm{ }}\\
3x + 4y + 6z = 0{\rm{ }}\\
2x + 5y + 4z = 0
\end{array} \right.\)

Từ phương trình (1) suy ra \(x = -2y - 2z\). Thay vào (2) và (3), ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}
3(-2y - 2z) + 4y + 6z = 0{\rm{ }}\\
2(-2y - 2z) + 5y + 4z = 0
\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}
-6y - 6z + 4y + 6z = 0{\rm{ }}\\
-4y - 4z + 5y + 4z = 0
\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}
-2y = 0{\rm{ }}\\
y = 0
\end{array} \right.\)

Vậy \(y = 0\) và \(x = -2z\). Nghiệm của hệ (I) là \((-2z, 0, z)\).

Xét hệ (II):

\(\left\{ \begin{array}{l}
x + y + 2z = 0{\rm{ }}\\
2x + 3y + 4z = 0{\rm{ }}\\
5x + 7y + 10z = 0
\end{array} \right.\)

Thay \(x = -2z\) và \(y = 0\) vào hệ (II), ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}
-2z + 0 + 2z = 0{\rm{ }}\\
2(-2z) + 3(0) + 4z = 0{\rm{ }}\\
5(-2z) + 7(0) + 10z = 0
\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}
0 = 0{\rm{ }}\\
0 = 0{\rm{ }}\\
0 = 0
\end{array} \right.\)

Vậy nghiệm của hệ (I) cũng là nghiệm của hệ (II) khi \(m = 4\). Tuy nhiên, đáp án này không có trong các lựa chọn. Do đó, đáp án đúng là "3 câu kia đều sai".

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về tập sinh của không gian vectơ. Một tập hợp các vectơ được gọi là tập sinh của không gian vectơ V nếu mọi vectơ trong V đều có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ trong tập hợp đó.

Xét các phương án:

• Phương án 1: {x, y, x + y + z} sinh ra V. Vì x + y + z là tổ hợp tuyến tính của x, y, z nên {x, y, x+y+z} vẫn là tập sinh của V.


• Phương án 2: {x, 2y, x + y} sinh ra V. Vì x + y là tổ hợp tuyến tính của x và y nên {x, 2y, x+y} không nhất thiết sinh ra V. Ví dụ, z không biểu diễn được qua x, 2y, x+y.


• Phương án 3: {2x, 3y, 4z} sinh ra V. Vì x, y, z là tập sinh của V nên mọi vectơ v thuộc V đều có thể biểu diễn v = a*x + b*y + c*z. Ta có thể viết x = (1/2)*2x, y = (1/3)*3y, z = (1/4)*4z. Do đó, v = a*(1/2)*2x + b*(1/3)*3y + c*(1/4)*4z. Điều này có nghĩa là {2x, 3y, 4z} cũng là tập sinh của V.


• Phương án 4: Hạng của họ {x, x, z} bằng 3. Vì x = x nên {x, x, z} tương đương {x, z}. Hạng của họ này tối đa là 2.

Vậy, phương án {2x, 3y, 4z} sinh ra V luôn đúng.