Tìm tất cả m để hệ phương trình sau vô nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l} mx + y + z = 1\\ x + my + z = 1\\ x + y + mz = m \end{array} \right.\)

Để mọi nghiệm của hệ (I) là nghiệm của hệ (II), ta cần hệ (I) phải có vô số nghiệm (tức định thức của ma trận hệ số bằng 0) và các nghiệm đó thỏa mãn hệ (II).

Xét hệ (I):

\(\left\{ \begin{array}{l}
x + 2y + 2z = 0{\rm{ }}\\
3x + 4y + 6z = 0{\rm{ }}\\
2x + 5y + mz = 0
\end{array} \right.\)

Ta có định thức của ma trận hệ số là:

\(\begin{vmatrix}
1 & 2 & 2 \\
3 & 4 & 6 \\
2 & 5 & m
\end{vmatrix} = 1(4m - 30) - 2(3m - 12) + 2(15 - 8) = 4m - 30 - 6m + 24 + 14 = -2m + 8\)

Để hệ (I) có vô số nghiệm, định thức phải bằng 0:

\(-2m + 8 = 0 \Rightarrow m = 4\)

Khi \(m = 4\), hệ (I) trở thành:

\(\left\{ \begin{array}{l}
x + 2y + 2z = 0{\rm{ }}\\
3x + 4y + 6z = 0{\rm{ }}\\
2x + 5y + 4z = 0
\end{array} \right.\)

Từ phương trình (1) suy ra \(x = -2y - 2z\). Thay vào (2) và (3), ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}
3(-2y - 2z) + 4y + 6z = 0{\rm{ }}\\
2(-2y - 2z) + 5y + 4z = 0
\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}
-6y - 6z + 4y + 6z = 0{\rm{ }}\\
-4y - 4z + 5y + 4z = 0
\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}
-2y = 0{\rm{ }}\\
y = 0
\end{array} \right.\)

Vậy \(y = 0\) và \(x = -2z\). Nghiệm của hệ (I) là \((-2z, 0, z)\).

Xét hệ (II):

\(\left\{ \begin{array}{l}
x + y + 2z = 0{\rm{ }}\\
2x + 3y + 4z = 0{\rm{ }}\\
5x + 7y + 10z = 0
\end{array} \right.\)

Thay \(x = -2z\) và \(y = 0\) vào hệ (II), ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}
-2z + 0 + 2z = 0{\rm{ }}\\
2(-2z) + 3(0) + 4z = 0{\rm{ }}\\
5(-2z) + 7(0) + 10z = 0
\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}
0 = 0{\rm{ }}\\
0 = 0{\rm{ }}\\
0 = 0
\end{array} \right.\)

Vậy nghiệm của hệ (I) cũng là nghiệm của hệ (II) khi \(m = 4\). Tuy nhiên, đáp án này không có trong các lựa chọn. Do đó, đáp án đúng là "3 câu kia đều sai".

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về tập sinh của không gian vectơ. Một tập hợp các vectơ được gọi là tập sinh của không gian vectơ V nếu mọi vectơ trong V đều có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ trong tập hợp đó.

Xét các phương án:

• Phương án 1: {x, y, x + y + z} sinh ra V. Vì x + y + z là tổ hợp tuyến tính của x, y, z nên {x, y, x+y+z} vẫn là tập sinh của V.


• Phương án 2: {x, 2y, x + y} sinh ra V. Vì x + y là tổ hợp tuyến tính của x và y nên {x, 2y, x+y} không nhất thiết sinh ra V. Ví dụ, z không biểu diễn được qua x, 2y, x+y.


• Phương án 3: {2x, 3y, 4z} sinh ra V. Vì x, y, z là tập sinh của V nên mọi vectơ v thuộc V đều có thể biểu diễn v = a*x + b*y + c*z. Ta có thể viết x = (1/2)*2x, y = (1/3)*3y, z = (1/4)*4z. Do đó, v = a*(1/2)*2x + b*(1/3)*3y + c*(1/4)*4z. Điều này có nghĩa là {2x, 3y, 4z} cũng là tập sinh của V.


• Phương án 4: Hạng của họ {x, x, z} bằng 3. Vì x = x nên {x, x, z} tương đương {x, z}. Hạng của họ này tối đa là 2.

Vậy, phương án {2x, 3y, 4z} sinh ra V luôn đúng.

Vì hạng của họ vectơ M = {x, y, z, t} bằng 3, điều này có nghĩa là có tối đa 3 vectơ độc lập tuyến tính trong họ M. Do đó:

• Phương án 1 không chắc chắn đúng, vì có thể x, y, z phụ thuộc tuyến tính.


• Phương án 2 đúng, vì hạng của một họ vectơ bằng số chiều của không gian con mà nó sinh ra. Trong trường hợp này, M sinh ra một không gian 3 chiều.


• Phương án 3 sai, vì M có hạng bằng 3 và có 4 vectơ, nên M chắc chắn phụ thuộc tuyến tính.


• Phương án 4 không chắc chắn đúng, vì chỉ biết hạng của M bằng 3, nên không thể khẳng định x là tổ hợp tuyến tính của {y, z, t}.

Vậy đáp án đúng là: M sinh ra không gian 3 chiều.

Để tính định thức của ma trận A, ta sử dụng khai triển theo dòng hoặc cột. Nhận thấy cột 3 có hai phần tử bằng 0, nên ta khai triển theo cột 3 để đơn giản hóa việc tính toán.

\(A= \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 1}&3\\ 0&1&0&1\\ 0&2&0&4\\ 3&1&5&7 \end{array}} \right|\)\) = -1 * (-1)^(1+3) * \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1&1\\ 0&2&4\\ 3&1&7 \end{array}} \right|\) + 0 + 0 + 5 * (-1)^(4+3) * \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3\\ 0&1&1\\ 0&2&4 \end{array}} \right|\)

Vậy A = -1 * \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1&1\\ 0&2&4\\ 3&1&7 \end{array}} \right|\) - 5 * \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3\\ 0&1&1\\ 0&2&4 \end{array}} \right|\)

Tính định thức của ma trận 3x3:

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1&1\\ 0&2&4\\ 3&1&7 \end{array}} \right|\) = 0*(2*7 - 4*1) - 1*(0*7 - 3*4) + 1*(0*1 - 3*2) = 0 + 12 - 6 = 6

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3\\ 0&1&1\\ 0&2&4 \end{array}} \right|\) = 1*(1*4 - 1*2) - 2*(0*4 - 0*1) + 3*(0*2 - 0*1) = 1*(4-2) = 2

Vậy A = -1 * 6 - 5 * 2 = -6 - 10 = -16

Tính định thức B theo cột 2, ta được:

\(B = 1.\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&m\\
1&2
\end{array}} \right| = 2 - m\)

Để B > 0 thì 2 - m > 0 <=> m < 2.