Tìm số nghiệm phận biệt k của phương trình \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&x&{ - 1}&{ - 1}\\ 1&{\mathop x\nolimits^2 }&{ - 1}&{ - 1}\\ 0&1&1&1\\ 0&2&0&2 \end{array}} \right| = 0\)

Trả lời:

Đáp án đúng: B

Let's calculate the determinant:

\(\begin{vmatrix} 1 & x & -1 & -1 \\ 1 & x^2 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & x & -1 & -1 \\ 0 & x^2 - x & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} x^2 - x & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 2 \end{vmatrix} = (x^2 - x) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 2(x^2 - x)\)

So we have the equation \(2(x^2 - x) = 0 \Leftrightarrow 2x(x - 1) = 0 \Leftrightarrow x = 0 \text{ or } x = 1\)

Thus, the equation has two distinct roots.

260+ câu trắc nghiệm Đại số tuyến tính có giải thích chi tiết từng câu - Phần 5

Bộ 265 câu trắc nghiệm ôn thi môn Đại số tuyến tính có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn tham khảo!

50 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 38:

Tính \(I=\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}&2&3\\ 2&1&3&0\\ { - 2}&2&{ - 4}&{ - 6}\\ 3&2&1&5 \end{array}} \right|\)

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Ta nhận thấy dòng 3 là -2 lần dòng 1, do đó định thức bằng 0.

Câu 39:

Cho \(A =\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1&1\\ 2&3&{ - 1}&4\\ { - 1}&1&0&2\\ 2&2&3&m \end{array}} \right)\). Với giá trị nào của m thì A khả nghịch.

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Để ma trận A khả nghịch, định thức của A phải khác 0. Ta tính định thức của A theo m. Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đơn giản hóa việc tính toán:

Bước 1: Trừ 2 lần dòng 1 vào dòng 2, cộng dòng 1 vào dòng 3, trừ 2 lần dòng 1 vào dòng 4, ta được:

\( \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1&1\\
0&1&-3&2\\
0&2&1&3\\
0&0&1&{m - 2}
\end{array}} \right)\)

Bước 2: Trừ 2 lần dòng 2 vào dòng 3, ta được:

\( \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1&1\\
0&1&-3&2\\
0&0&7&-1\\
0&0&1&{m - 2}
\end{array}} \right)\)

Bước 3: Đổi chỗ dòng 3 và dòng 4:

\( \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1&1\\
0&1&-3&2\\
0&0&1&{m - 2}\\
0&0&7&-1
\end{array}} \right)\)

Bước 4: Trừ 7 lần dòng 3 vào dòng 4:

\( \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1&1\\
0&1&-3&2\\
0&0&1&{m - 2}\\
0&0&0&{ - 1 - 7(m - 2)}
\end{array}} \right)\)

\( = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1&1\\
0&1&{ - 3}&2\\
0&0&1&{m - 2}\\
0&0&0&{13 - 7m}
\end{array}} \right)\)

Định thức của A là: \(1 * 1 * 1 * (13 - 7m) = 13 - 7m\)

Để A khả nghịch, \(13 - 7m \ne 0 \Rightarrow m \ne \frac{{13}}{7}\). Có lẽ có một lỗi đánh máy trong các phương án trả lời, đáp án gần đúng nhất là \(m \ne \frac{{12}}{7}\).
Tuy nhiên, đáp án chính xác phải là \(m \ne \frac{{13}}{7}\). Vì không có đáp án đúng nên chọn đáp án gần đúng nhất.
Kiểm tra lại:
Định thức sau khi đổi chỗ dòng 3 và dòng 4 là \(-(13 - 7m)\). Kết luận không thay đổi.

Có vẻ như không có đáp án đúng trong các lựa chọn đã cho. Tuy nhiên, đáp án gần đúng nhất là \(m \ne \frac{{12}}{7}\).

Câu 40:

Tính \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}&2&1\\ 2&{ - 2}&{m + 5}&{\mathop m\nolimits^2 + 1}\\ 1&{ - 1}&2&{m - 1} \end{array}} \right) \) với giá trị nào của m thì r(A)=3

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để hạng của ma trận A bằng 3, ta cần tìm điều kiện của m sao cho ít nhất một định thức con cấp 3 khác 0 và tất cả các định thức con cấp 4 (nếu có) bằng 0. Tuy nhiên, ma trận A đã cho chỉ có 3 hàng, do đó hạng của nó không thể lớn hơn 3. Vì vậy, ta cần tìm điều kiện của m sao cho hạng của A bằng 3.

Nhận thấy rằng hàng 1 và hàng 3 của A giống nhau khi m-1 = 1, tức là m = 2. Do đó, nếu m=2 thì rank(A) < 3.
Ta thực hiện phép biến đổi sơ cấp trên hàng: H2 -> H2 - 2H1
Khi đó ma trận A trở thành:
\(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}&2&1\\
0&{0}&{m + 1}&{\mathop m\nolimits^2 - 1}\\
1&{ - 1}&2&{m - 1}
\end{array}} \right) \)
Tiếp tục biến đổi H3 -> H3 - H1
\(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}&2&1\\
0&{0}&{m + 1}&{\mathop m\nolimits^2 - 1}\\
0&{ - 0}&0&{m - 2}
\end{array}} \right) \)
Để rank(A) = 3 thì m+1 phải khác 0 và m-2 phải khác 0. Tức là m khác -1 và m khác 2.
Vậy m ≠ 2 và m ≠ -1 thì r(A) = 3.

Câu 41:

Cho V là không gian vecto có chiều bằng 5. Khẳng định nào là đủ?

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Câu hỏi này kiểm tra kiến thức về không gian vector và các khái niệm liên quan như độc lập tuyến tính, tập sinh, và số chiều. Ta xét từng phương án:

Phương án 1: Mọi tập có 1 phần tử là ĐLTT. Điều này đúng, trừ khi phần tử đó là vector 0. Tuy nhiên, câu hỏi yêu cầu khẳng định "đủ", nên cần một điều kiện mạnh hơn.

Phương án 2: Mọi tập có 5 phần tử là tập sinh. Điều này sai. Một tập có 5 phần tử chỉ là tập sinh nếu nó là cơ sở của không gian vector V.

Phương án 3: Mọi tập có 6 phần tử là tập sinh. Vì V có chiều bằng 5, bất kỳ tập nào có nhiều hơn 5 vector đều là tập sinh của V. Điều này là do ta luôn có thể biểu diễn một trong các vector của tập này dưới dạng tổ hợp tuyến tính của 5 vector độc lập tuyến tính khác (hoặc ít hơn nếu số vector độc lập tuyến tính ít hơn 5). Do đó, tập này là tập sinh.

Phương án 4: Các câu khác đều sai. Vì phương án 3 đúng, phương án này sai.

Vậy phương án đúng là phương án 3.

Câu 42:

Trong không gian vecto thực V cho họ M = {x, y, z} phụ thuộc tuyến tính. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Vì M là họ phụ thuộc tuyến tính nên tồn tại các số a, b, c không đồng thời bằng 0 sao cho ax + by + cz = 0. Nếu V là không gian vector thì tập hợp M không sinh ra V.

Câu 43:

Tìm tất cả m để \(M = {( 1 , 1 , 1 , 1 ) , ( 2, 1 , 3, 4 ) , ( 3,2,1 , m) , ( 1 , 0,2, 3 ) }\) sinh ra không gian 4 chiều?

Lời giải: