Cho \(V =<(1 , 1 ,1 ) , ( 2,1 , 0 ) , ( 5, 3, 1 ) >\). Khẳng định nào sau đây luôn đúng?

Vì M = {x+y+z, 2x+y+z, x+2y+z} là cơ sở của V nên mọi vecto trong V đều biểu diễn tuyến tính được qua M.

Xét đáp án 1: {2x, 3y, 4z} là cơ sở của V. Ta cần chứng minh hệ này độc lập tuyến tính và sinh ra V.
Ta có:
2x = a(x+y+z) + b(2x+y+z) + c(x+2y+z)
3y = d(x+y+z) + e(2x+y+z) + f(x+2y+z)
4z = g(x+y+z) + h(2x+y+z) + i(x+2y+z)
Giải hệ này ta tìm được a, b, c, d, e, f, g, h, i => {2x, 3y, 4z} biểu diễn tuyến tính qua M, mà M là cơ sở của V => {2x, 3y, 4z} là cơ sở của V.

Xét đáp án 3: {x + y, x − y,2z} có hạng bằng 2. Ta cần chứng minh hệ này phụ thuộc tuyến tính.
Ta có: (x+y) + (x-y) = 2x. Nếu 2x và 2z độc lập tuyến tính thì hạng của hệ bằng 3, ngược lại thì hạng bằng 2. Vì không có thông tin gì về x, y, z nên ta không thể kết luận được.

Xét đáp án 4: {x + y, y + z, x − z} là cơ sở của V. Ta cần chứng minh hệ này độc lập tuyến tính và sinh ra V.
Ta có: (x+y) + (y+z) + (x-z) = 2x + 2y. Hệ này có thể không sinh ra V.

Vậy đáp án đúng là {2x, 3y, 4z} là cơ sở của V.

Phân tích câu hỏi:
Câu hỏi cho một tập sinh của không gian con F và yêu cầu xác định khẳng định đúng.
Để giải quyết bài toán này, ta cần kiểm tra tính độc lập tuyến tính của tập sinh, tìm cơ sở và số chiều của F, từ đó kiểm tra các khẳng định.

Đánh giá các phương án:
1. Phương án 1:
Ta cần kiểm tra xem (1, 0, -3) có thuộc F hay không, tức là có biểu diễn tuyến tính qua (1, 1, 1), (2, 1, 0), (5, 3, 1) hay không. Gọi (1, 0, -3) = a(1, 1, 1) + b(2, 1, 0) + c(5, 3, 1). Ta có hệ phương trình:
a + 2b + 5c = 1
a + b + 3c = 0
a + c = -3
Giải hệ phương trình này, ta có thể tìm ra a, b, c. Từ phương trình thứ ba, a = -3 - c. Thay vào hai phương trình đầu, ta được:
-3 - c + 2b + 5c = 1 => 2b + 4c = 4 => b + 2c = 2
-3 - c + b + 3c = 0 => b + 2c = 3
Hệ này vô nghiệm. Vậy (1, 0, -3) không thuộc F. Câu này sai.

2. Phương án 2:
Để xác định dim(F), ta cần tìm một cơ sở của F. Xét ma trận tạo bởi các vector sinh:
| 1 2 5 |
| 1 1 3 |
| 1 0 1 |
Thực hiện phép biến đổi sơ cấp trên dòng:
R2 = R2 - R1, R3 = R3 - R1
| 1 2 5 |
| 0 -1 -2 |
| 0 -2 -4 |
R3 = R3 - 2R2
| 1 2 5 |
| 0 -1 -2 |
| 0 0 0 |
Vì hạng của ma trận là 2, nên dim(F) = 2. Câu này sai.

3. Phương án 3:
Ta kiểm tra xem (1, 1, 1) và (2, 3, -1) có độc lập tuyến tính không và có thuộc F không.
Thật vậy, (1,1,1) thuộc F do là 1 trong các vector sinh. Với (2,3,-1)=a(1,1,1)+b(2,1,0)+c(5,3,1) ta được hệ:
a+2b+5c=2
a+b+3c=3
a+c=-1
Suy ra a=-1-c, thay vào hai pt đầu:
-1-c+2b+5c=2 -> 2b+4c=3
-1-c+b+3c=3 -> b+2c=4
Suy ra b=4-2c, thay vào pt trên: 2(4-2c)+4c=3 -> 8=3 (vô lý). Vậy (2,3,-1) không thuộc F, nên câu này sai.

4. Phương án 4: Vì cả 3 câu trên đều sai, nên câu này đúng.

Gọi cơ sở B = {(1, 1, 0); (1, 0, 1); (1, 1, 1) } và cơ sở C = {(1, 1, 1); (2, 1, 1); (1, 2, 1)}.
Ta có tọa độ của x trong cơ sở B là (2, 3, 1)^T, nghĩa là:
x = 2*(1, 1, 0) + 3*(1, 0, 1) + 1*(1, 1, 1) = (2, 2, 0) + (3, 0, 3) + (1, 1, 1) = (6, 3, 4).
Bây giờ, ta cần tìm tọa độ của x = (6, 3, 4) trong cơ sở C. Giả sử tọa độ của x trong cơ sở C là (a, b, c)^T. Khi đó:
x = a*(1, 1, 1) + b*(2, 1, 1) + c*(1, 2, 1) = (a + 2b + c, a + b + 2c, a + b + c).
Ta có hệ phương trình:
a + 2b + c = 6
a + b + 2c = 3
a + b + c = 4
Trừ phương trình thứ ba cho phương trình thứ hai, ta được: c = -1.
Thay c = -1 vào phương trình thứ ba, ta được: a + b = 5.
Thay c = -1 vào phương trình thứ nhất, ta được: a + 2b = 7.
Giải hệ phương trình:
a + b = 5
a + 2b = 7
Lấy phương trình thứ hai trừ phương trình thứ nhất, ta được: b = 2.
Suy ra: a = 5 - b = 5 - 2 = 3.
Vậy tọa độ của x trong cơ sở C là (3, 2, -1)^T.