Cho \({( 1 , 1 ,1 ) , ( 2,1 , 0 ) , ( 5, 3, 1 ) }\) là tập sinh của không gian con F. Khẳng định nào sau đây luôn đúng?

Câu 49:

Trong không gian V cho vecto x có tọa độ trong cơ sở \(E = {e_1 + e_2 + e_3;2e_1 + 3e_2 + e_3; e_1 + e_2 + 3e_3}\) là (3, −4, 5)_E. Khẳng định nào sau đây đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Vecto x có tọa độ (3, -4, 5) trong cơ sở E, nghĩa là x được biểu diễn như một tổ hợp tuyến tính của các vecto trong cơ sở E với các hệ số tương ứng là 3, -4, và 5. Ta có:

\(x = 3(e_1 + e_2 + e_3) - 4(2e_1 + 3e_2 + e_3) + 5(e_1 + e_2 + 3e_3)\\)

\(x = 3e_1 + 3e_2 + 3e_3 - 8e_1 - 12e_2 - 4e_3 + 5e_1 + 5e_2 + 15e_3\\)

\(x = (3 - 8 + 5)e_1 + (3 - 12 + 5)e_2 + (3 - 4 + 15)e_3\\)

\(x = 0e_1 - 4e_2 + 14e_3\\)

\(x = -4e_2 + 14e_3\\)

Vậy đáp án đúng là \(x = −4e_2 + 1 4e_3.\)

Câu 50:

Tìm tọa độ vecto x trong cơ sở {(1, 1, 1); (2, 1, 1); (1, 2, 1)}, biết tọa độ vecto x trong cơ sở {(1, 1, 0); (1, 0, 1); (1, 1, 1) } là \((2, 3, 1)^T.\)

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Gọi cơ sở B = {(1, 1, 0); (1, 0, 1); (1, 1, 1) } và cơ sở C = {(1, 1, 1); (2, 1, 1); (1, 2, 1)}.
Ta có tọa độ của x trong cơ sở B là (2, 3, 1)^T, nghĩa là:
x = 2*(1, 1, 0) + 3*(1, 0, 1) + 1*(1, 1, 1) = (2, 2, 0) + (3, 0, 3) + (1, 1, 1) = (6, 3, 4).
Bây giờ, ta cần tìm tọa độ của x = (6, 3, 4) trong cơ sở C. Giả sử tọa độ của x trong cơ sở C là (a, b, c)^T. Khi đó:
x = a*(1, 1, 1) + b*(2, 1, 1) + c*(1, 2, 1) = (a + 2b + c, a + b + 2c, a + b + c).
Ta có hệ phương trình:
a + 2b + c = 6
a + b + 2c = 3
a + b + c = 4
Trừ phương trình thứ ba cho phương trình thứ hai, ta được: c = -1.
Thay c = -1 vào phương trình thứ ba, ta được: a + b = 5.
Thay c = -1 vào phương trình thứ nhất, ta được: a + 2b = 7.
Giải hệ phương trình:
a + b = 5
a + 2b = 7
Lấy phương trình thứ hai trừ phương trình thứ nhất, ta được: b = 2.
Suy ra: a = 5 - b = 5 - 2 = 3.
Vậy tọa độ của x trong cơ sở C là (3, 2, -1)^T.

Câu 1:

Hệ vectơ nào sau đây không phải là không gian con của R³:

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Để một tập hợp con của R^3 là một không gian con, nó phải thỏa mãn ba điều kiện: (1) Chứa vector không (0,0,0); (2) Đóng với phép cộng vector; (3) Đóng với phép nhân với một số vô hướng.

Phương án 1: V = {(x - y, y, 0) / x, y ∈ R}. Ta có thể viết lại là V = {x(1,0,0) + y(-1,1,0) / x, y ∈ R}. Tập này chứa (0,0,0) khi x=y=0, và nó đóng với phép cộng và nhân vô hướng. Vậy nó là không gian con.

Phương án 2: V = {(x - y + z, z - y, x) / x, y, z ∈ R}. Ta có thể viết lại là V = {x(1,0,1) + y(-1,-1,0) + z(1,1,0) / x, y, z ∈ R}. Tập này chứa (0,0,0) khi x=y=z=0, và nó đóng với phép cộng và nhân vô hướng. Vậy nó là không gian con.

Phương án 3: V gồm tất cả các vectơ được sinh ra bởi hệ {(1,2,1),(-2,0,1),(1,2,-3),(3,-2,1)}. Vì V là không gian sinh bởi một hệ vectơ, nên nó chắc chắn là một không gian con của R^3.

Phương án 4: V = {(x, y, xy) / x, y ∈ R}. Xét hai vectơ thuộc V: u = (1, 1, 1) và v = (2, 2, 4). Cả hai vectơ này đều thuộc V. Tuy nhiên, u + v = (3, 3, 7). Vectơ này không thuộc V vì 3*3 = 9 ≠ 7. Do đó, V không đóng với phép cộng vectơ và không phải là không gian con của R^3.

Câu 2:

Cho A, B là các ma trận vuông cùng cấp và khả nghịch, đặt \(C = \left( {\frac{3}{5}{A^T}} \right)\left( {\frac{7}{4}B} \right)\). Khi đó:

Lời giải:

Đáp án đúng: C

We have C = \left( {\frac{3}{5}{A^T}} \right)\left( {\frac{7}{4}B} \right) = \frac{3}{5} \cdot \frac{7}{4} {A^T}B = \frac{{21}}{{20}}{A^T}B

Then {C^{ - 1}} = {\left( {\frac{{21}}{{20}}{A^T}B} \right)^{ - 1}} = {\left( {\frac{{21}}{{20}}} \right)^{ - 1}}{\left( {{A^T}B} \right)^{ - 1}} = \frac{{20}}{{21}}{B^{ - 1}}{\left( {{A^T}} \right)^{ - 1}} = \frac{{20}}{{21}}{B^{ - 1}}.{\left( {{A^{ - 1}}} \right)^T}

So the correct answer is: {C^{ - 1}} = \frac{{20}}{{21}}{B^{ - 1}}.{\left( {{A^{ - 1}}} \right)^T}

Câu 3:

Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất để số \(z = {( - \sqrt 3 + i)^n}\) là một số thực:

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Số phức z là số thực khi và chỉ khi phần ảo của nó bằng 0. Ta có:

\(- \sqrt 3 + i = 2\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right) = 2\left( {\cos \frac{{5\pi }}{6} + i\sin \frac{{5\pi }}{6}} \right) = 2{e^{i\frac{{5\pi }}{6}}}\)

Do đó, \(z = {( - \sqrt 3 + i)^n} = {2^n}{e^{i\frac{{5n\pi }}{6}}}\)

z là số thực khi và chỉ khi \(\frac{{5n\pi }}{6} = k\pi \) với k là một số nguyên.

\( \Rightarrow 5n = 6k \Rightarrow n = \frac{{6k}}{5}\)

n là số nguyên dương nhỏ nhất khi k = 5, suy ra n = 6.

Câu 4:

Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất để số \(z = {( - \sqrt 3 + i)^n}\) là một số thuần ảo:

Lời giải: