Tìm \(\sqrt i \) trong trường số phức:

\({z_1} = {e^{\frac{{ - i\pi }}{4}}};{z_2} = {e^{\frac{{5i\pi }}{4}}}\)

\({z_1} = {e^{\frac{{ 3i\pi }}{4}}};{z_2} = {e^{\frac{{5i\pi }}{4}}}\)

\({z_1} = {e^{\frac{{ i\pi }}{4}}};{z_2} = {e^{\frac{{5i\pi }}{4}}}\)

\({z_1} = {e^{\frac{{ i\pi }}{4}}};{z_2} = {e^{\frac{{3i\pi }}{4}}}\)

Trả lời:

Đáp án đúng: C

Ta có: (i = {e^{\frac{{i\pi }}{2}}})

Khi đó: (\sqrt i = {\left( {{e^{\frac{{i\pi }}{2}}}} \right)^{\frac{1}{2}}} = {e^{\frac{{i\pi }}{4} + k\pi }})

Với k chẵn: ({z_1} = {e^{\frac{{i\pi }}{4}}})

Với k lẻ: ({z_2} = {e^{\frac{{i\pi }}{4} + i\pi }} = {e^{\frac{{5i\pi }}{4}}})

Vậy (\sqrt i = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{e^{\frac{{i\pi }}{4}}}}\\{{e^{\frac{{5i\pi }}{4}}}}\end{array}} \right.)

260+ câu trắc nghiệm Đại số tuyến tính có giải thích chi tiết từng câu - Phần 5

Bộ 265 câu trắc nghiệm ôn thi môn Đại số tuyến tính có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn tham khảo!

50 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 9:

Giải phương trình \((2 + i)z = {(1 - i)^2}\) trong C

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Ta có
\((1-i)^2 = 1 - 2i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i\)
Do đó, phương trình trở thành:
\((2+i)z = -2i\)
Suy ra:
\(z = \frac{-2i}{2+i} = \frac{-2i(2-i)}{(2+i)(2-i)} = \frac{-4i + 2i^2}{4 - i^2} = \frac{-4i - 2}{4 + 1} = \frac{-2 - 4i}{5} = \frac{-2}{5} - \frac{4}{5}i\)
Vậy, \(z = \frac{-2}{5} - \frac{4}{5}i\).

Câu 10:

Tập hợp tất cả các số phức z, thỏa \(\left| {\arg (z) \le \frac{\pi }{2}} \right|\) trong mặt phẳng phức là:

Lời giải:

Đáp án đúng: B

\(\left| {\arg (z) \le \frac{\pi }{2}} \right|\) có nghĩa là argument của z nằm trong khoảng \([-\frac{\pi }{2}, \frac{\pi }{2}]\). Điều này tương ứng với nửa mặt phẳng bên phải của mặt phẳng phức, bao gồm cả trục ảo. Vậy đáp án đúng là "Nửa mặt phẳng".

Câu 11:

Tính \(z = \frac{{1 + {i^{20}}}}{{3 + i}}\)

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Ta có \(i^{20} = (i^4)^5 = 1^5 = 1\)

Suy ra \(z = \frac{{1 + {i^{20}}}}{{3 + i}} = \frac{{1 + 1}}{{3 + i}} = \frac{2}{{3 + i}}\)

Để khử mẫu, ta nhân cả tử và mẫu với liên hợp của mẫu:

\(z = \frac{{2(3 - i)}}{{(3 + i)(3 - i)}} = \frac{{6 - 2i}}{{9 - {i^2}}} = \frac{{6 - 2i}}{{9 - ( - 1)}} = \frac{{6 - 2i}}{{10}} = \frac{6}{{10}} - \frac{{2i}}{{10}} = \frac{3}{5} - \frac{1}{5}i = \frac{3}{5} + \frac{{ - 1}}{5}i\)

Vậy \(z=\frac{3}{5} - \frac{i}{5}\)

Câu 12:

Với giá trị nào của m thì \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 3&1&5\\ 2&3&2\\ 5&{ - 1}&7 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&1\\ 1&4&3\\ m&2&{ - 1} \end{array}} \right]\) khả nghịch?

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Để ma trận A khả nghịch, định thức của A phải khác 0. Ta có thể tính định thức của tích hai ma trận bằng tích các định thức của chúng.

Gọi ma trận thứ nhất là B và ma trận thứ hai là C.

\(B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
3&1&5\\
2&3&2\\
5&{ - 1}&7
\end{array}} \right]\)

\(C = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&2&1\\
1&4&3\\
m&2&{ - 1}
\end{array}} \right]\)

Tính định thức của B:
\(\det(B) = 3(3*7 - (-1)*2) - 1(2*7 - 5*2) + 5(2*(-1) - 5*3) = 3(21+2) - (14-10) + 5(-2-15) = 3(23) - 4 + 5(-17) = 69 - 4 - 85 = -20\)

Tính định thức của C:
\(\det(C) = 1(4*(-1) - 3*2) - 2(1*(-1) - 3*m) + 1(1*2 - 4*m) = 1(-4-6) - 2(-1-3m) + (2-4m) = -10 + 2 + 6m + 2 - 4m = -6 + 2m\)

\(\det(A) = \det(B) * \det(C) = -20 * (-6 + 2m)\)

Để A khả nghịch thì \(\det(A) \ne 0\), tức là \(-20 * (-6 + 2m) \ne 0\)

\(-6 + 2m \ne 0 \Rightarrow 2m \ne 6 \Rightarrow m \ne 3\)

Vậy, A khả nghịch khi \(m \ne 3\).

Câu 13:

Cho ma trận \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&2&1\\ 2&3&4&2\\ 3&4&2&5\\ 4&5&7&8 \end{array}} \right]\). Tìm hạng của ma trận phụ hợp P_A?

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Ta có ma trận A kích thước 4x4.
Tính định thức của A:

det(A) = 1*(3*(2*8-7*5) - 4*(2*8-4*5) + 2*(2*7-4*3) - 1*(2*7-4*3)) - 1*(2*(2*8-7*5) - 4*(3*8-4*5) + 2*(3*7-4*4) - 5*(3*7-4*4)) + 2*(2*(4*8-5*7) - 3*(1*8-5*4) + 4*(1*7-5*2) - 5*(1*7-2*2)) - 1*(2*(4*7-5*4) - 3*(1*7-2*4) + 4*(1*5-2*2) - 7*(1*5-2*2))

det(A) = 1*(3*(-19) - 4*(-4) + 2*2 - 1*2) - 1*(2*(-19) - 4*4 + 2*5 - 5*5) + 2*(2*(-3) - 3*(-12) + 4*(-3) - 5*(-3)) - 1*(2*8 - 3*(-1) + 4*1 - 7*1)

det(A) = 1*(-57 + 16 + 4 - 2) - 1*(-38 - 16 + 10 - 25) + 2*(-6 + 36 - 12 + 15) - 1*(16 + 3 + 4 - 7)

det(A) = -39 - (-69) + 2*(33) - 16

det(A) = -39 + 69 + 66 - 16

det(A) = 80

Vì det(A) != 0, suy ra hạng(A) = 4.

Ma trận phụ hợp P_A có cấp bằng cấp của ma trận A, tức là 4x4.

Ta có công thức: A * P_A = det(A) * I_4, với I_4 là ma trận đơn vị cấp 4.

Vì det(A) != 0, nên P_A khả nghịch, tức là det(P_A) != 0.

Vậy, hạng(P_A) = 4.

Câu 14:

Cho ma trận A: \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&2\\ 2&3&m\\ 3&4&2 \end{array}} \right]\). Tìm m để hạng của A^-1 bằng 3.

Lời giải: