Với giá trị nào của m thì \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 3&1&5\\ 2&3&2\\ 5&{ - 1}&7 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&1\\ 1&4&3\\ m&2&{ - 1} \end{array}} \right]\) khả nghịch?
Trả lời:
Đáp án đúng: D
Để ma trận A khả nghịch, định thức của A phải khác 0. Ta có thể tính định thức của tích hai ma trận bằng tích các định thức của chúng.
Gọi ma trận thứ nhất là B và ma trận thứ hai là C.
\(B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
3&1&5\\
2&3&2\\
5&{ - 1}&7
\end{array}} \right]\)
\(C = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&2&1\\
1&4&3\\
m&2&{ - 1}
\end{array}} \right]\)
Tính định thức của B:
\(\det(B) = 3(3*7 - (-1)*2) - 1(2*7 - 5*2) + 5(2*(-1) - 5*3) = 3(21+2) - (14-10) + 5(-2-15) = 3(23) - 4 + 5(-17) = 69 - 4 - 85 = -20\)
Tính định thức của C:
\(\det(C) = 1(4*(-1) - 3*2) - 2(1*(-1) - 3*m) + 1(1*2 - 4*m) = 1(-4-6) - 2(-1-3m) + (2-4m) = -10 + 2 + 6m + 2 - 4m = -6 + 2m\)
\(\det(A) = \det(B) * \det(C) = -20 * (-6 + 2m)\)
Để A khả nghịch thì \(\det(A) \ne 0\), tức là \(-20 * (-6 + 2m) \ne 0\)
\(-6 + 2m \ne 0 \Rightarrow 2m \ne 6 \Rightarrow m \ne 3\)
Vậy, A khả nghịch khi \(m \ne 3\).
Bộ 265 câu trắc nghiệm ôn thi môn Đại số tuyến tính có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn tham khảo!
50 câu hỏi 60 phút
Câu hỏi liên quan
Lời giải:
Đáp án đúng: C
Ta có ma trận A kích thước 4x4.
Tính định thức của A:
det(A) = 1*(3*(2*8-7*5) - 4*(2*8-4*5) + 2*(2*7-4*3) - 1*(2*7-4*3)) - 1*(2*(2*8-7*5) - 4*(3*8-4*5) + 2*(3*7-4*4) - 5*(3*7-4*4)) + 2*(2*(4*8-5*7) - 3*(1*8-5*4) + 4*(1*7-5*2) - 5*(1*7-2*2)) - 1*(2*(4*7-5*4) - 3*(1*7-2*4) + 4*(1*5-2*2) - 7*(1*5-2*2))
det(A) = 1*(3*(-19) - 4*(-4) + 2*2 - 1*2) - 1*(2*(-19) - 4*4 + 2*5 - 5*5) + 2*(2*(-3) - 3*(-12) + 4*(-3) - 5*(-3)) - 1*(2*8 - 3*(-1) + 4*1 - 7*1)
det(A) = 1*(-57 + 16 + 4 - 2) - 1*(-38 - 16 + 10 - 25) + 2*(-6 + 36 - 12 + 15) - 1*(16 + 3 + 4 - 7)
det(A) = -39 - (-69) + 2*(33) - 16
det(A) = -39 + 69 + 66 - 16
det(A) = 80
Vì det(A) != 0, suy ra hạng(A) = 4.
Ma trận phụ hợp P_A có cấp bằng cấp của ma trận A, tức là 4x4.
Ta có công thức: A * P_A = det(A) * I_4, với I_4 là ma trận đơn vị cấp 4.
Vì det(A) != 0, nên P_A khả nghịch, tức là det(P_A) != 0.
Vậy, hạng(P_A) = 4.
Tính định thức của A:
det(A) = 1*(3*(2*8-7*5) - 4*(2*8-4*5) + 2*(2*7-4*3) - 1*(2*7-4*3)) - 1*(2*(2*8-7*5) - 4*(3*8-4*5) + 2*(3*7-4*4) - 5*(3*7-4*4)) + 2*(2*(4*8-5*7) - 3*(1*8-5*4) + 4*(1*7-5*2) - 5*(1*7-2*2)) - 1*(2*(4*7-5*4) - 3*(1*7-2*4) + 4*(1*5-2*2) - 7*(1*5-2*2))
det(A) = 1*(3*(-19) - 4*(-4) + 2*2 - 1*2) - 1*(2*(-19) - 4*4 + 2*5 - 5*5) + 2*(2*(-3) - 3*(-12) + 4*(-3) - 5*(-3)) - 1*(2*8 - 3*(-1) + 4*1 - 7*1)
det(A) = 1*(-57 + 16 + 4 - 2) - 1*(-38 - 16 + 10 - 25) + 2*(-6 + 36 - 12 + 15) - 1*(16 + 3 + 4 - 7)
det(A) = -39 - (-69) + 2*(33) - 16
det(A) = -39 + 69 + 66 - 16
det(A) = 80
Vì det(A) != 0, suy ra hạng(A) = 4.
Ma trận phụ hợp P_A có cấp bằng cấp của ma trận A, tức là 4x4.
Ta có công thức: A * P_A = det(A) * I_4, với I_4 là ma trận đơn vị cấp 4.
Vì det(A) != 0, nên P_A khả nghịch, tức là det(P_A) != 0.
Vậy, hạng(P_A) = 4.
Lời giải:
Đáp án đúng: B
Để hạng của ma trận nghịch đảo A⁻¹ bằng 3, điều kiện cần và đủ là ma trận A khả nghịch, tức là định thức của A phải khác 0. Ta tính định thức của A như sau:
det(A) = 1*(3*2 - 4*m) - 0 + 2*(2*4 - 3*3) = 6 - 4m + 2*(8 - 9) = 6 - 4m - 2 = 4 - 4m
Để det(A) ≠ 0, ta có:
4 - 4m ≠ 0
4m ≠ 4
m ≠ 1
Vậy, đáp án đúng là m ≠ 1.
det(A) = 1*(3*2 - 4*m) - 0 + 2*(2*4 - 3*3) = 6 - 4m + 2*(8 - 9) = 6 - 4m - 2 = 4 - 4m
Để det(A) ≠ 0, ta có:
4 - 4m ≠ 0
4m ≠ 4
m ≠ 1
Vậy, đáp án đúng là m ≠ 1.
Lời giải:
Đáp án đúng: D
Để tìm giá trị của k sao cho hạng của ma trận A bằng 3, ta cần xét định thức của các ma trận con vuông cấp 3 của A. Tuy nhiên, vì A là ma trận 3x4, hạng của A lớn nhất có thể là 3. Ta biến đổi ma trận A về dạng bậc thang.
\(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&2&k&2\\
2&3&1&k\\
3&5&{2k}&k
\end{array}} \right]\)
Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên hàng:
- H2 = H2 - 2*H1
- H3 = H3 - 3*H1
Ta được:
\(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&2&k&2\\
0&-1&{1-2k}&{k-4}\\
0&-1&{-k}&{k-6}
\end{array}} \right]\)
Tiếp tục biến đổi: H3 = H3 - H2
\(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&2&k&2\\
0&-1&{1-2k}&{k-4}\\
0&0&{-k-(1-2k)}&{k-6-(k-4)}
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&2&k&2\\
0&-1&{1-2k}&{k-4}\\
0&0&{k-1}&{-2}
\end{array}} \right]\)
Để hạng của A bằng 3, tất cả các hàng của ma trận bậc thang phải khác 0. Điều này có nghĩa là k - 1 phải khác 0.
\(k - 1 \ne 0 \Leftrightarrow k \ne 1\)
Vậy, với \(k \ne 1\) thì hạng của A bằng 3.
\(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&2&k&2\\
2&3&1&k\\
3&5&{2k}&k
\end{array}} \right]\)
Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên hàng:
- H2 = H2 - 2*H1
- H3 = H3 - 3*H1
Ta được:
\(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&2&k&2\\
0&-1&{1-2k}&{k-4}\\
0&-1&{-k}&{k-6}
\end{array}} \right]\)
Tiếp tục biến đổi: H3 = H3 - H2
\(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&2&k&2\\
0&-1&{1-2k}&{k-4}\\
0&0&{-k-(1-2k)}&{k-6-(k-4)}
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&2&k&2\\
0&-1&{1-2k}&{k-4}\\
0&0&{k-1}&{-2}
\end{array}} \right]\)
Để hạng của A bằng 3, tất cả các hàng của ma trận bậc thang phải khác 0. Điều này có nghĩa là k - 1 phải khác 0.
\(k - 1 \ne 0 \Leftrightarrow k \ne 1\)
Vậy, với \(k \ne 1\) thì hạng của A bằng 3.
Lời giải:
Đáp án đúng: D
Ta có \(z = \cos \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right) - i\sin \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right)\) là một nghiệm của \(\sqrt[n]{1}\). Ma trận Fourier \(A = ({f_{k,j}})\) cấp n, với \({a_{k,j}} = {z^{(k - 1).(j - 1)}}\)
Khi n=3, ta có ma trận Fourier cấp 3 là:
\(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{z^{(1 - 1).(1 - 1)}}}& {z^{(1 - 1).(2 - 1)}}& {z^{(1 - 1).(3 - 1)}}\\
{{z^{(2 - 1).(1 - 1)}}}& {z^{(2 - 1).(2 - 1)}}& {z^{(2 - 1).(3 - 1)}}\\
{{z^{(3 - 1).(1 - 1)}}}& {z^{(3 - 1).(2 - 1)}}& {z^{(3 - 1).(3 - 1)}}
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1\\
1&z&{{z^2}}\\
1&{{z^2}}&z
\end{array}} \right)\)
Vậy đáp án đúng là phương án 4.
Khi n=3, ta có ma trận Fourier cấp 3 là:
\(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{z^{(1 - 1).(1 - 1)}}}& {z^{(1 - 1).(2 - 1)}}& {z^{(1 - 1).(3 - 1)}}\\
{{z^{(2 - 1).(1 - 1)}}}& {z^{(2 - 1).(2 - 1)}}& {z^{(2 - 1).(3 - 1)}}\\
{{z^{(3 - 1).(1 - 1)}}}& {z^{(3 - 1).(2 - 1)}}& {z^{(3 - 1).(3 - 1)}}
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1\\
1&z&{{z^2}}\\
1&{{z^2}}&z
\end{array}} \right)\)
Vậy đáp án đúng là phương án 4.
Lời giải:
Đáp án đúng: C
Ta có I là ma trận đơn vị cấp 3.
Tính u.uT = \(\begin{pmatrix}
1/3 \\
-2/3 \\
2/3
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1/3 & -2/3 & 2/3
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1/9 & -2/9 & 2/9 \\
-2/9 & 4/9 & -4/9 \\
2/9 & -4/9 & 4/9
\end{pmatrix}\)
Tính 2.u.uT = \(\begin{pmatrix}
2/9 & -4/9 & 4/9 \\
-4/9 & 8/9 & -8/9 \\
4/9 & -8/9 & 8/9
\end{pmatrix}\)
Tính (I - 2.u.uT) = \(\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}
2/9 & -4/9 & 4/9 \\
-4/9 & 8/9 & -8/9 \\
4/9 & -8/9 & 8/9
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
7/9 & 4/9 & -4/9 \\
4/9 & 1/9 & 8/9 \\
-4/9 & 8/9 & 1/9
\end{pmatrix}\)
Tính (I - 2.u.uT).X = \(\begin{pmatrix}
7/9 & 4/9 & -4/9 \\
4/9 & 1/9 & 8/9 \\
-4/9 & 8/9 & 1/9
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1 \\
-2 \\
1
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
(7-8-4)/9 \\
(4-2+8)/9 \\
(-4-16+1)/9
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-5/9 \\
10/9 \\
-19/9
\end{pmatrix}\)
Vậy, không có đáp án nào đúng trong các phương án đã cho.
Tính u.uT = \(\begin{pmatrix}
1/3 \\
-2/3 \\
2/3
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1/3 & -2/3 & 2/3
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1/9 & -2/9 & 2/9 \\
-2/9 & 4/9 & -4/9 \\
2/9 & -4/9 & 4/9
\end{pmatrix}\)
Tính 2.u.uT = \(\begin{pmatrix}
2/9 & -4/9 & 4/9 \\
-4/9 & 8/9 & -8/9 \\
4/9 & -8/9 & 8/9
\end{pmatrix}\)
Tính (I - 2.u.uT) = \(\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}
2/9 & -4/9 & 4/9 \\
-4/9 & 8/9 & -8/9 \\
4/9 & -8/9 & 8/9
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
7/9 & 4/9 & -4/9 \\
4/9 & 1/9 & 8/9 \\
-4/9 & 8/9 & 1/9
\end{pmatrix}\)
Tính (I - 2.u.uT).X = \(\begin{pmatrix}
7/9 & 4/9 & -4/9 \\
4/9 & 1/9 & 8/9 \\
-4/9 & 8/9 & 1/9
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1 \\
-2 \\
1
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
(7-8-4)/9 \\
(4-2+8)/9 \\
(-4-16+1)/9
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-5/9 \\
10/9 \\
-19/9
\end{pmatrix}\)
Vậy, không có đáp án nào đúng trong các phương án đã cho.
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
