Tìm định thức (m là tham số) \(\left| A \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 1}&1\\ 0&1&0&1\\ 2&m&4&1\\ 0&3&0&5 \end{array}} \right|\)

Câu 23:

Biết phương trình (biết x) sau có vô số nghiệm \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&x&{{x^2}}\\ 1&2&4\\ 1&a&{{a^2}} \end{array}} \right|\). Khẳng định nào đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để phương trình có vô số nghiệm, định thức của ma trận phải bằng 0.
Ta có:
\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&x&{{x^2}}\\
1&2&4\\
1&a&{{a^2}}
\end{array}} \right| = (2-x)(a^2-4) - (a-2)(x^2-4) = (2-x)(a-2)(a+2) - (a-2)(x-2)(x+2)
= (a-2)[(2-x)(a+2) - (x-2)(x+2)] = (a-2)[(2-x)(a+2) + (2-x)(x+2)] = (a-2)(2-x)(a+2+x+2) = (a-2)(2-x)(a+x+4)\)
Để định thức bằng 0 với mọi x, ta cần a = 2 hoặc a = -x-4. Vì phương trình có vô số nghiệm với mọi x nên a=2. Vậy a=2

Vậy, khẳng định đúng là a = 2.

Câu 24:

Cho \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&{ - 1}&2\\ 2&3&1&4\\ 3&2&m&1\\ 4&5&3&9 \end{array}} \right]\). Tìm m để det (PA) = 0

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để tìm giá trị của m sao cho det(A) = 0, ta cần tính định thức của ma trận A. Tuy nhiên, câu hỏi lại yêu cầu tìm m để det(PA) = 0, trong đó P không được định nghĩa. Giả sử P là một ma trận khả nghịch, thì det(PA) = det(P) * det(A). Vì det(P) khác 0 (do P khả nghịch), det(PA) = 0 khi và chỉ khi det(A) = 0. Ta sẽ tính định thức của A và giải phương trình det(A) = 0 để tìm m.

Tính định thức của A:

A = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&{-1}&2\\
2&3&1&4\\
3&2&m&1\\
4&5&3&9
\end{array}} \right]\)

Sử dụng phép biến đổi sơ cấp trên hàng để đơn giản ma trận:
H2 = H2 - 2H1
H3 = H3 - 3H1
H4 = H4 - 4H1

Ta được:
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&{-1}&2\\
0&1&3&0\\
0&{-1}&{m+3}&{-5}\\
0&1&7&1
\end{array}} \right]\)

H3 = H3 + H2
H4 = H4 - H2

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&{-1}&2\\
0&1&3&0\\
0&0&{m+6}&{-5}\\
0&0&4&1
\end{array}} \right]\)

Đổi chỗ H3 và H4:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&{-1}&2\\
0&1&3&0\\
0&0&4&1\\
0&0&{m+6}&{-5}
\end{array}} \right]\)
H4 = H4 - ((m+6)/4) * H3

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&{-1}&2\\
0&1&3&0\\
0&0&4&1\\
0&0&0&{-5 - (m+6)/4}
\end{array}} \right]\)

Định thức của ma trận này là: 1 * 1 * 4 * (-5 - (m+6)/4) = 0
=> -5 - (m+6)/4 = 0
=> -20 - m - 6 = 0
=> m = -26
Tuy nhiên không có đáp án nào là -26, nên ta sẽ kiểm tra lại các đáp án bằng cách thay vào và tính định thức.

Nếu P là ma trận đơn vị (I), ta có det(IA) = det(A) = 0
Nếu m = 26: det(A) khác 0
Nếu m = 20: det(A) khác 0
Nếu m = 0: det(A) khác 0

Vì không có đáp án đúng, ta chọn "Ba câu kia đều sai".

Câu 25:

Cho \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{ - 2}&6\\ 0&1&4\\ 0&0&1 \end{array}} \right)\) và \(B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&{ - 1}\\ 0&2&5\\ 1&{ - 2}&7 \end{array}} \right)\). Tính det(2AB).

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để tính det(2AB), ta sử dụng các tính chất của định thức. Ta có det(2AB) = det(2I * A * B) = det(2I) * det(A) * det(B), trong đó I là ma trận đơn vị cấp 3.

Tính det(A):
Vì A là ma trận tam giác trên, định thức của A là tích các phần tử trên đường chéo chính: det(A) = 3 * 1 * 1 = 3.

Tính det(B):
\(\begin{aligned}
det(B) &= \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
0&0&{ - 1}\\
0&2&5\\
1&{ - 2}&7
\end{array}} \right| \\
&= 0 * \left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&5\\{-2}&7\end{array}} \right| - 0 * \left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&5\\1&7\end{array}} \right| + (-1) * \left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&2\\1&{-2}\end{array}} \right| \\
&= -1 * (0*(-2) - 2*1) \\
&= -1 * (-2) = 2
\end{aligned}\)

Tính det(2I):
\(2I = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
2&0&0\\
0&2&0\\
0&0&2
\end{array}} \right)\)
Vậy det(2I) = 2 * 2 * 2 = 8.

Suy ra: det(2AB) = det(2I) * det(A) * det(B) = 8 * 3 * 2 = 48.
Vì không có đáp án nào là 48, nên đáp án đúng là "Ba câu kia đều sai".

Câu 26:

Cho \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ 5&1&0\\ { - 2}&1&2 \end{array}} \right)\) và \(B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&2&1\\ 0&1&4\\ 0&0&1 \end{array}} \right)\). Tính det(2AB).

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta có det(A) = 1 * 1 * 2 = 2 và det(B) = -1 * 1 * 1 = -1. Vậy det(2AB) = 2³ * det(A) * det(B) = 8 * 2 * (-1) = -16.

Câu 27:

Tính định thức: \(\left| A \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {i + 1}&{2i}&{2 + i}\\ 1&{ - 1}&0\\ {3 - i}&{1 - i}&{4 + 2i} \end{array}} \right|\) với \({i^2} = - 1.\)

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để tính định thức của ma trận A, ta sử dụng khai triển theo dòng hoặc cột. Ở đây, ta sẽ khai triển theo dòng thứ hai (vì có số 0):

|A| = 1 * (-1)^(2+1) * |(2i, 2+i), (1-i, 4+2i)| + (-1) * (-1)^(2+2) * |(i+1, 2+i), (3-i, 4+2i)|

= -1 * (2i(4+2i) - (2+i)(1-i)) - 1 * ((i+1)(4+2i) - (2+i)(3-i))

= - (8i + 4i^2 - (2 - 2i + i - i^2)) - (4i + 2i^2 + 4 + 2i - (6 - 2i + 3i - i^2))

= - (8i - 4 - (2 - i + 1)) - (6i - 2 + 4 - (6 + i + 1))

= - (8i - 4 - 3 + i) - (6i + 2 - 7 - i)

= - (9i - 7) - (5i - 5)

= -9i + 7 - 5i + 5

= 12 - 14i

Vậy, |A| = 12 - 14i.

Câu 28:

Tìm bậc của f(x), biết \(f(x) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 4&{ - 1}&2&5\\ 1&2&6&{ - 1}\\ {{x^2}}&x&{{x^3} + 1}&{x + 4}\\ { - 1}&2&1&0 \end{array}} \right|\)

Lời giải: