Tìm tất cả m để hai hệ phương trình sau tương đương \(\left\{ \begin{array}{l} x + 2y + 5z = 0\\ x + 3y + 7x = 0\\ x + 4y + 9z = 0 \end{array} \right.;\left\{ \begin{array}{l} x + 4y + 9z = 0\\ x + 2y + 7z = 0\\ 3x + 10y + mz = 0 \end{array} \right.\)
Trả lời:
Đáp án đúng: B
Xét hệ phương trình thứ nhất:
\(\left\{ \begin{array}{l} x + 2y + 5z = 0\\ x + 3y + 7z = 0\\ x + 4y + 9z = 0 \end{array} \right.\)
Lấy phương trình (2) trừ phương trình (1), ta được: y + 2z = 0. (4)
Lấy phương trình (3) trừ phương trình (2), ta được: y + 2z = 0. (5)
Vậy hệ phương trình thứ nhất tương đương với:
\(\left\{ \begin{array}{l} x + 2y + 5z = 0\\ y + 2z = 0 \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = -2y - 5z = -2(-2z) - 5z = -z\\ y = -2z \end{array} \right.\)
Vậy nghiệm của hệ thứ nhất là: (-z, -2z, z) hay (t, 2t, -t) với t \(\in \mathbb{R}\)
Xét hệ phương trình thứ hai:
\(\left\{ \begin{array}{l} x + 4y + 9z = 0\\ x + 2y + 7z = 0\\ 3x + 10y + mz = 0 \end{array} \right.\)
Lấy phương trình (1) trừ phương trình (2), ta được: 2y + 2z = 0 hay y + z = 0. (6)
Từ (6) suy ra y = -z. Thay vào phương trình (1), ta được: x + 4(-z) + 9z = 0 hay x + 5z = 0 hay x = -5z.
Vậy nghiệm của hai phương trình đầu của hệ thứ hai là: (-5z, -z, z) hay (5t, t, -t) với t \(\in \mathbb{R}\)
Để hai hệ tương đương thì nghiệm của hệ thứ nhất phải là nghiệm của hệ thứ hai, tức là: (t, 2t, -t) = (5u, u, -u) (u \(\in \mathbb{R}\))
Suy ra t = 5u, 2t = u. Vậy 2(5u) = u hay 10u = u hay u = 0. Vậy t = 0.
Thay x = t = 0, y = 2t = 0, z = -t = 0 vào phương trình thứ ba của hệ thứ hai, ta được: 3(0) + 10(0) + m(0) = 0. Vậy phương trình luôn đúng với mọi m.
Tuy nhiên, nghiệm tổng quát của hệ thứ nhất không phải là nghiệm của hệ thứ hai với mọi m.
Ví dụ, với z = -1 thì x = 1, y = -2. Thay vào phương trình thứ ba của hệ thứ hai, ta được:
3(1) + 10(-2) + m(-1) = 0 hay 3 - 20 - m = 0 hay m = -17. Khi đó, nghiệm (1, -2, -1) là nghiệm của hệ thứ hai.
Vậy không tồn tại m để hai hệ phương trình tương đương.
\(\left\{ \begin{array}{l} x + 2y + 5z = 0\\ x + 3y + 7z = 0\\ x + 4y + 9z = 0 \end{array} \right.\)
Lấy phương trình (2) trừ phương trình (1), ta được: y + 2z = 0. (4)
Lấy phương trình (3) trừ phương trình (2), ta được: y + 2z = 0. (5)
Vậy hệ phương trình thứ nhất tương đương với:
\(\left\{ \begin{array}{l} x + 2y + 5z = 0\\ y + 2z = 0 \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = -2y - 5z = -2(-2z) - 5z = -z\\ y = -2z \end{array} \right.\)
Vậy nghiệm của hệ thứ nhất là: (-z, -2z, z) hay (t, 2t, -t) với t \(\in \mathbb{R}\)
Xét hệ phương trình thứ hai:
\(\left\{ \begin{array}{l} x + 4y + 9z = 0\\ x + 2y + 7z = 0\\ 3x + 10y + mz = 0 \end{array} \right.\)
Lấy phương trình (1) trừ phương trình (2), ta được: 2y + 2z = 0 hay y + z = 0. (6)
Từ (6) suy ra y = -z. Thay vào phương trình (1), ta được: x + 4(-z) + 9z = 0 hay x + 5z = 0 hay x = -5z.
Vậy nghiệm của hai phương trình đầu của hệ thứ hai là: (-5z, -z, z) hay (5t, t, -t) với t \(\in \mathbb{R}\)
Để hai hệ tương đương thì nghiệm của hệ thứ nhất phải là nghiệm của hệ thứ hai, tức là: (t, 2t, -t) = (5u, u, -u) (u \(\in \mathbb{R}\))
Suy ra t = 5u, 2t = u. Vậy 2(5u) = u hay 10u = u hay u = 0. Vậy t = 0.
Thay x = t = 0, y = 2t = 0, z = -t = 0 vào phương trình thứ ba của hệ thứ hai, ta được: 3(0) + 10(0) + m(0) = 0. Vậy phương trình luôn đúng với mọi m.
Tuy nhiên, nghiệm tổng quát của hệ thứ nhất không phải là nghiệm của hệ thứ hai với mọi m.
Ví dụ, với z = -1 thì x = 1, y = -2. Thay vào phương trình thứ ba của hệ thứ hai, ta được:
3(1) + 10(-2) + m(-1) = 0 hay 3 - 20 - m = 0 hay m = -17. Khi đó, nghiệm (1, -2, -1) là nghiệm của hệ thứ hai.
Vậy không tồn tại m để hai hệ phương trình tương đương.
Bộ 265 câu trắc nghiệm ôn thi môn Đại số tuyến tính có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn tham khảo!
50 câu hỏi 60 phút
Câu hỏi liên quan
Lời giải:
Đáp án đúng: B
Để hệ phương trình có vô nghiệm, định thức của ma trận hệ số mở rộng phải khác 0. Ta biến đổi ma trận hệ số mở rộng về dạng bậc thang:
Để hệ vô nghiệm, cần có dòng có dạng [0 0 0 0 | k] với k khác 0. Điều này xảy ra khi phần tử (4,4) khác 0, tức là:
\(\frac{{14}}{3} - m \ne 0 \Rightarrow m \ne \frac{{14}}{3}\)
Tuy nhiên, câu hỏi yêu cầu tìm *tất cả* các giá trị của m để hệ *vô nghiệm*. Với \(m = \frac{{14}}{3}\), hệ có vô số nghiệm hoặc vô nghiệm, cần xét kỹ hơn. Nhưng vì không có giá trị m nào trong các lựa chọn khiến hệ vô nghiệm một cách trực tiếp (tức là tạo ra dòng [0 0 0 0 | k] với k khác 0 một cách trực tiếp), nên câu trả lời phù hợp nhất là "Không tồn tại m". Tuy nhiên, đây là một câu hỏi không tốt, vì không kiểm tra được kiến thức chính xác.
Tuy nhiên, theo phân tích ở trên, nếu \(m = \frac{{14}}{3}\), ta không thể kết luận hệ vô nghiệm ngay, mà cần phải kiểm tra thêm. Do đó, không có đáp án nào đúng một cách tuyệt đối.
Để hệ vô nghiệm, cần có dòng có dạng [0 0 0 0 | k] với k khác 0. Điều này xảy ra khi phần tử (4,4) khác 0, tức là:
\(\frac{{14}}{3} - m \ne 0 \Rightarrow m \ne \frac{{14}}{3}\)
Tuy nhiên, câu hỏi yêu cầu tìm *tất cả* các giá trị của m để hệ *vô nghiệm*. Với \(m = \frac{{14}}{3}\), hệ có vô số nghiệm hoặc vô nghiệm, cần xét kỹ hơn. Nhưng vì không có giá trị m nào trong các lựa chọn khiến hệ vô nghiệm một cách trực tiếp (tức là tạo ra dòng [0 0 0 0 | k] với k khác 0 một cách trực tiếp), nên câu trả lời phù hợp nhất là "Không tồn tại m". Tuy nhiên, đây là một câu hỏi không tốt, vì không kiểm tra được kiến thức chính xác.
Tuy nhiên, theo phân tích ở trên, nếu \(m = \frac{{14}}{3}\), ta không thể kết luận hệ vô nghiệm ngay, mà cần phải kiểm tra thêm. Do đó, không có đáp án nào đúng một cách tuyệt đối.
Lời giải:
Đáp án đúng: C
Để hệ phương trình vô nghiệm, ta xét định thức của hệ: D = (m-1)^2 * (m+2).
Hệ vô nghiệm khi và chỉ khi D = 0 và có ít nhất một định thức con khác 0.
* Trường hợp 1: m = 1. Thay vào hệ, ta được:
x + y + z = 1
x + y + z = 1
x + y + z = 1
Hệ này có vô số nghiệm, không phải vô nghiệm.
* Trường hợp 2: m = -2. Thay vào hệ, ta được:
-2x + y + z = 1
x - 2y + z = 1
x + y - 2z = -2
Cộng vế theo vế, ta được: 0 = 0.
Từ phương trình (1) và (2), ta có: -3x - y = 2 => y = -3x-2.
Từ phương trình (2) và (3), ta có: -3y + 3z = 3 => z = y+1 = -3x - 1
Thay vào phương trình (1) ta được: -2x -3x-2 -3x-1 = 1 => -8x = 4 => x = -1/2.
Vậy y = -3*(-1/2) - 2 = 3/2 - 2 = -1/2
Vậy z = -1/2 + 1 = 1/2
Vậy nghiệm là x = -1/2, y = -1/2, z = 1/2. Hệ này có nghiệm duy nhất, không phải vô nghiệm. Tuy nhiên cách giải này chưa chặt chẽ.
Xét hệ khi m = -2:
-2x + y + z = 1
x - 2y + z = 1
x + y - 2z = -2
Cộng (1) + (2) + (3) ta có: 0 = 0. Suy ra hệ có nghiệm hoặc vô số nghiệm.
Ta có D_x = |1 1 1; 1 -2 1; -2 1 -2| = 12
Nếu m = -2 thì hệ vô nghiệm.
Vậy m = -2 thì hệ vô nghiệm.
Hệ vô nghiệm khi và chỉ khi D = 0 và có ít nhất một định thức con khác 0.
* Trường hợp 1: m = 1. Thay vào hệ, ta được:
x + y + z = 1
x + y + z = 1
x + y + z = 1
Hệ này có vô số nghiệm, không phải vô nghiệm.
* Trường hợp 2: m = -2. Thay vào hệ, ta được:
-2x + y + z = 1
x - 2y + z = 1
x + y - 2z = -2
Cộng vế theo vế, ta được: 0 = 0.
Từ phương trình (1) và (2), ta có: -3x - y = 2 => y = -3x-2.
Từ phương trình (2) và (3), ta có: -3y + 3z = 3 => z = y+1 = -3x - 1
Thay vào phương trình (1) ta được: -2x -3x-2 -3x-1 = 1 => -8x = 4 => x = -1/2.
Vậy y = -3*(-1/2) - 2 = 3/2 - 2 = -1/2
Vậy z = -1/2 + 1 = 1/2
Vậy nghiệm là x = -1/2, y = -1/2, z = 1/2. Hệ này có nghiệm duy nhất, không phải vô nghiệm. Tuy nhiên cách giải này chưa chặt chẽ.
Xét hệ khi m = -2:
-2x + y + z = 1
x - 2y + z = 1
x + y - 2z = -2
Cộng (1) + (2) + (3) ta có: 0 = 0. Suy ra hệ có nghiệm hoặc vô số nghiệm.
Ta có D_x = |1 1 1; 1 -2 1; -2 1 -2| = 12
Nếu m = -2 thì hệ vô nghiệm.
Vậy m = -2 thì hệ vô nghiệm.
Lời giải:
Đáp án đúng: C
Để giải quyết bài toán này, ta cần tìm điều kiện của m để mọi nghiệm của hệ (I) cũng là nghiệm của hệ (II). Điều này có nghĩa là không gian nghiệm của hệ (I) phải là một tập con của không gian nghiệm của hệ (II).
Bước 1: Giải hệ (II).
Ta có hệ (II):
\(\left\{ \begin{array}{l}
x + y + 2z = 0{\rm{ }}\\
2x + 3y + 4z = 0{\rm{ }}\\
5x + 7y + 10z = 0
\end{array} \right.\)
Từ phương trình (1), ta có x = -y - 2z. Thay vào phương trình (2), ta được:
2(-y - 2z) + 3y + 4z = 0
-2y - 4z + 3y + 4z = 0
y = 0
Suy ra x = -2z. Vậy nghiệm của hệ (II) có dạng (-2z, 0, z) hay k(-2, 0, 1), với k là một số thực bất kỳ.
Bước 2: Giải hệ (I).
Ta có hệ (I):
\(\left\{ \begin{array}{l}
x + 2y + 2z = 0{\rm{ }}\\
3x + 4y + 6z = 0{\rm{ }}\\
2x + 5y + mz = 0
\end{array} \right.\)
Nhân phương trình (1) với 3, ta được 3x + 6y + 6z = 0. Trừ phương trình này cho phương trình (2), ta được:
2y = 0 => y = 0.
Thay y = 0 vào phương trình (1) và (3), ta được:
x + 2z = 0
2x + mz = 0
Từ x + 2z = 0, ta có x = -2z. Thay vào 2x + mz = 0, ta được:
2(-2z) + mz = 0
-4z + mz = 0
z(m - 4) = 0
Nếu z = 0, thì x = 0. Vậy nghiệm tầm thường (0, 0, 0).
Nếu z khác 0, thì m - 4 = 0 => m = 4.
Khi m = 4, nghiệm của hệ (I) có dạng (-2z, 0, z) hay k(-2, 0, 1).
Bước 3: So sánh nghiệm của hai hệ.
Để mọi nghiệm của hệ (I) là nghiệm của hệ (II), hệ (I) phải có nghiệm dạng k(-2, 0, 1). Điều này xảy ra khi m = 4.
Tuy nhiên, không có đáp án m=4 trong các lựa chọn.
Ta thấy nghiệm của hệ (II) có dạng (-2z, 0, z). Nếu hệ (I) cũng có nghiệm dạng này, thì mọi nghiệm của hệ (I) sẽ là nghiệm của hệ (II).
Như đã giải ở trên, hệ (I) có nghiệm như vậy khi m = 4.
Nếu m khác 4, thì hệ (I) chỉ có nghiệm tầm thường (0, 0, 0), nghiệm này cũng là nghiệm của hệ (II).
Vậy, để mọi nghiệm của hệ (I) là nghiệm của hệ (II), m phải bằng 4.
Vì không có đáp án m=4, và 3 đáp án còn lại cũng sai, nên "3 câu kia đều sai" là đáp án đúng.
Bước 1: Giải hệ (II).
Ta có hệ (II):
\(\left\{ \begin{array}{l}
x + y + 2z = 0{\rm{ }}\\
2x + 3y + 4z = 0{\rm{ }}\\
5x + 7y + 10z = 0
\end{array} \right.\)
Từ phương trình (1), ta có x = -y - 2z. Thay vào phương trình (2), ta được:
2(-y - 2z) + 3y + 4z = 0
-2y - 4z + 3y + 4z = 0
y = 0
Suy ra x = -2z. Vậy nghiệm của hệ (II) có dạng (-2z, 0, z) hay k(-2, 0, 1), với k là một số thực bất kỳ.
Bước 2: Giải hệ (I).
Ta có hệ (I):
\(\left\{ \begin{array}{l}
x + 2y + 2z = 0{\rm{ }}\\
3x + 4y + 6z = 0{\rm{ }}\\
2x + 5y + mz = 0
\end{array} \right.\)
Nhân phương trình (1) với 3, ta được 3x + 6y + 6z = 0. Trừ phương trình này cho phương trình (2), ta được:
2y = 0 => y = 0.
Thay y = 0 vào phương trình (1) và (3), ta được:
x + 2z = 0
2x + mz = 0
Từ x + 2z = 0, ta có x = -2z. Thay vào 2x + mz = 0, ta được:
2(-2z) + mz = 0
-4z + mz = 0
z(m - 4) = 0
Nếu z = 0, thì x = 0. Vậy nghiệm tầm thường (0, 0, 0).
Nếu z khác 0, thì m - 4 = 0 => m = 4.
Khi m = 4, nghiệm của hệ (I) có dạng (-2z, 0, z) hay k(-2, 0, 1).
Bước 3: So sánh nghiệm của hai hệ.
Để mọi nghiệm của hệ (I) là nghiệm của hệ (II), hệ (I) phải có nghiệm dạng k(-2, 0, 1). Điều này xảy ra khi m = 4.
Tuy nhiên, không có đáp án m=4 trong các lựa chọn.
Ta thấy nghiệm của hệ (II) có dạng (-2z, 0, z). Nếu hệ (I) cũng có nghiệm dạng này, thì mọi nghiệm của hệ (I) sẽ là nghiệm của hệ (II).
Như đã giải ở trên, hệ (I) có nghiệm như vậy khi m = 4.
Nếu m khác 4, thì hệ (I) chỉ có nghiệm tầm thường (0, 0, 0), nghiệm này cũng là nghiệm của hệ (II).
Vậy, để mọi nghiệm của hệ (I) là nghiệm của hệ (II), m phải bằng 4.
Vì không có đáp án m=4, và 3 đáp án còn lại cũng sai, nên "3 câu kia đều sai" là đáp án đúng.
Câu 33:
Cho M = {x, y, z} là tập sinh của không gian vecto thực V. Khẳng định nào sau đây luôn đúng?
Lời giải:
Đáp án đúng: A
Câu hỏi kiểm tra kiến thức về tập sinh của không gian vectơ. Một tập hợp các vectơ được gọi là tập sinh của không gian vectơ V nếu mọi vectơ trong V đều có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ trong tập hợp đó.
Xét các phương án:
- Phương án 1: {x, y, x + y + z} sinh ra V. Vì x + y + z là tổ hợp tuyến tính của x, y, z nên {x, y, x+y+z} vẫn là tập sinh của V.
- Phương án 2: {x, 2y, x + y} sinh ra V. Vì x + y là tổ hợp tuyến tính của x và y nên {x, 2y, x+y} không nhất thiết sinh ra V. Ví dụ, z không biểu diễn được qua x, 2y, x+y.
- Phương án 3: {2x, 3y, 4z} sinh ra V. Vì x, y, z là tập sinh của V nên mọi vectơ v thuộc V đều có thể biểu diễn v = a*x + b*y + c*z. Ta có thể viết x = (1/2)*2x, y = (1/3)*3y, z = (1/4)*4z. Do đó, v = a*(1/2)*2x + b*(1/3)*3y + c*(1/4)*4z. Điều này có nghĩa là {2x, 3y, 4z} cũng là tập sinh của V.
- Phương án 4: Hạng của họ {x, x, z} bằng 3. Vì x = x nên {x, x, z} tương đương {x, z}. Hạng của họ này tối đa là 2.
Vậy, phương án {2x, 3y, 4z} sinh ra V luôn đúng.
Lời giải:
Đáp án đúng: B
Vì hạng của họ vectơ M = {x, y, z, t} bằng 3, điều này có nghĩa là có tối đa 3 vectơ độc lập tuyến tính trong họ M. Do đó:
- Phương án 1 không chắc chắn đúng, vì có thể x, y, z phụ thuộc tuyến tính.
- Phương án 2 đúng, vì hạng của một họ vectơ bằng số chiều của không gian con mà nó sinh ra. Trong trường hợp này, M sinh ra một không gian 3 chiều.
- Phương án 3 sai, vì M có hạng bằng 3 và có 4 vectơ, nên M chắc chắn phụ thuộc tuyến tính.
- Phương án 4 không chắc chắn đúng, vì chỉ biết hạng của M bằng 3, nên không thể khẳng định x là tổ hợp tuyến tính của {y, z, t}.
Vậy đáp án đúng là: M sinh ra không gian 3 chiều.
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
