Tìm tất cả m để tất cả nghiệm của hệ (I) là nghiệm của hệ (II) 

Hệ (I) \(\left\{ \begin{array}{l} x + 2y + 2z = 0{\rm{ }}\\ 3x + 4y + 6z = 0{\rm{ }}\\ 2x + 5y + mz = 0 \end{array} \right.\)

Hệ (II) \(\left\{ \begin{array}{l} x + y + 2z = 0{\rm{ }}\\ 2x + 3y + 4z = 0{\rm{ }}\\ 5x + 7y + 10z = 0 \end{array} \right.\)

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về tập sinh của không gian vectơ. Một tập hợp các vectơ được gọi là tập sinh của không gian vectơ V nếu mọi vectơ trong V đều có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ trong tập hợp đó.

Xét các phương án:

• Phương án 1: {x, y, x + y + z} sinh ra V. Vì x + y + z là tổ hợp tuyến tính của x, y, z nên {x, y, x+y+z} vẫn là tập sinh của V.
• Phương án 2: {x, 2y, x + y} sinh ra V. Vì x + y là tổ hợp tuyến tính của x và y nên {x, 2y, x+y} không nhất thiết sinh ra V. Ví dụ, z không biểu diễn được qua x, 2y, x+y.
• Phương án 3: {2x, 3y, 4z} sinh ra V. Vì x, y, z là tập sinh của V nên mọi vectơ v thuộc V đều có thể biểu diễn v = a*x + b*y + c*z. Ta có thể viết x = (1/2)*2x, y = (1/3)*3y, z = (1/4)*4z. Do đó, v = a*(1/2)*2x + b*(1/3)*3y + c*(1/4)*4z. Điều này có nghĩa là {2x, 3y, 4z} cũng là tập sinh của V.
• Phương án 4: Hạng của họ {x, x, z} bằng 3. Vì x = x nên {x, x, z} tương đương {x, z}. Hạng của họ này tối đa là 2.

Vậy, phương án {2x, 3y, 4z} sinh ra V luôn đúng.

Vì hạng của họ vectơ M = {x, y, z, t} bằng 3, điều này có nghĩa là có tối đa 3 vectơ độc lập tuyến tính trong họ M. Do đó:

• Phương án 1 không chắc chắn đúng, vì có thể x, y, z phụ thuộc tuyến tính.


• Phương án 2 đúng, vì hạng của một họ vectơ bằng số chiều của không gian con mà nó sinh ra. Trong trường hợp này, M sinh ra một không gian 3 chiều.


• Phương án 3 sai, vì M có hạng bằng 3 và có 4 vectơ, nên M chắc chắn phụ thuộc tuyến tính.


• Phương án 4 không chắc chắn đúng, vì chỉ biết hạng của M bằng 3, nên không thể khẳng định x là tổ hợp tuyến tính của {y, z, t}.

Vậy đáp án đúng là: M sinh ra không gian 3 chiều.

Tính định thức B theo cột 2, ta được:

\(B = 1.\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&m\\
1&2
\end{array}} \right| = 2 - m\)

Để B > 0 thì 2 - m > 0 <=> m < 2.

Let's calculate the determinant:

\(\begin{vmatrix} 1 & x & -1 & -1 \\ 1 & x^2 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & x & -1 & -1 \\ 0 & x^2 - x & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} x^2 - x & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 2 \end{vmatrix} = (x^2 - x) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 2(x^2 - x)\)

So we have the equation \(2(x^2 - x) = 0 \Leftrightarrow 2x(x - 1) = 0 \Leftrightarrow x = 0 \text{ or } x = 1\)

Thus, the equation has two distinct roots.