Tìm tất cả m để tất cả nghiệm của hệ (I) là nghiệm của hệ (II) 

Hệ (I) \(\left\{ \begin{array}{l} x + 2y + 2z = 0{\rm{ }}\\ 3x + 4y + 6z = 0{\rm{ }}\\ 2x + 5y + mz = 0 \end{array} \right.\)

Hệ (II) \(\left\{ \begin{array}{l} x + y + 2z = 0{\rm{ }}\\ 2x + 3y + 4z = 0{\rm{ }}\\ 5x + 7y + 10z = 0 \end{array} \right.\)

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về tập sinh của không gian vectơ. Một tập hợp các vectơ được gọi là tập sinh của không gian vectơ V nếu mọi vectơ trong V đều có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ trong tập hợp đó.

Xét các phương án:

• Phương án 1: {x, y, x + y + z} sinh ra V. Vì x + y + z là tổ hợp tuyến tính của x, y, z nên {x, y, x+y+z} vẫn là tập sinh của V.


• Phương án 2: {x, 2y, x + y} sinh ra V. Vì x + y là tổ hợp tuyến tính của x và y nên {x, 2y, x+y} không nhất thiết sinh ra V. Ví dụ, z không biểu diễn được qua x, 2y, x+y.


• Phương án 3: {2x, 3y, 4z} sinh ra V. Vì x, y, z là tập sinh của V nên mọi vectơ v thuộc V đều có thể biểu diễn v = a*x + b*y + c*z. Ta có thể viết x = (1/2)*2x, y = (1/3)*3y, z = (1/4)*4z. Do đó, v = a*(1/2)*2x + b*(1/3)*3y + c*(1/4)*4z. Điều này có nghĩa là {2x, 3y, 4z} cũng là tập sinh của V.


• Phương án 4: Hạng của họ {x, x, z} bằng 3. Vì x = x nên {x, x, z} tương đương {x, z}. Hạng của họ này tối đa là 2.

Vậy, phương án {2x, 3y, 4z} sinh ra V luôn đúng.

Vì hạng của họ vectơ M = {x, y, z, t} bằng 3, điều này có nghĩa là có tối đa 3 vectơ độc lập tuyến tính trong họ M. Do đó:

• Phương án 1 không chắc chắn đúng, vì có thể x, y, z phụ thuộc tuyến tính.


• Phương án 2 đúng, vì hạng của một họ vectơ bằng số chiều của không gian con mà nó sinh ra. Trong trường hợp này, M sinh ra một không gian 3 chiều.


• Phương án 3 sai, vì M có hạng bằng 3 và có 4 vectơ, nên M chắc chắn phụ thuộc tuyến tính.


• Phương án 4 không chắc chắn đúng, vì chỉ biết hạng của M bằng 3, nên không thể khẳng định x là tổ hợp tuyến tính của {y, z, t}.

Vậy đáp án đúng là: M sinh ra không gian 3 chiều.

Để tính định thức của ma trận A, ta sử dụng khai triển theo dòng hoặc cột. Nhận thấy cột 3 có hai phần tử bằng 0, nên ta khai triển theo cột 3 để đơn giản hóa việc tính toán.

\(A= \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 1}&3\\ 0&1&0&1\\ 0&2&0&4\\ 3&1&5&7 \end{array}} \right|\)\) = -1 * (-1)^(1+3) * \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1&1\\ 0&2&4\\ 3&1&7 \end{array}} \right|\) + 0 + 0 + 5 * (-1)^(4+3) * \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3\\ 0&1&1\\ 0&2&4 \end{array}} \right|\)

Vậy A = -1 * \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1&1\\ 0&2&4\\ 3&1&7 \end{array}} \right|\) - 5 * \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3\\ 0&1&1\\ 0&2&4 \end{array}} \right|\)

Tính định thức của ma trận 3x3:

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1&1\\ 0&2&4\\ 3&1&7 \end{array}} \right|\) = 0*(2*7 - 4*1) - 1*(0*7 - 3*4) + 1*(0*1 - 3*2) = 0 + 12 - 6 = 6

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3\\ 0&1&1\\ 0&2&4 \end{array}} \right|\) = 1*(1*4 - 1*2) - 2*(0*4 - 0*1) + 3*(0*2 - 0*1) = 1*(4-2) = 2

Vậy A = -1 * 6 - 5 * 2 = -6 - 10 = -16

Tính định thức B theo cột 2, ta được:

\(B = 1.\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&m\\
1&2
\end{array}} \right| = 2 - m\)

Để B > 0 thì 2 - m > 0 <=> m < 2.

Ta có: \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&x&{ - 1}&{ - 1}\\
1&{\mathop x\nolimits^2 }&{ - 1}&{ - 1}\\
0&1&1&1\\
0&2&0&2
\end{array}} \right| = 0\)

\( \Leftrightarrow \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
0&{x - {x^2}}&0&0\\
1&{\mathop x\nolimits^2 }&{ - 1}&{ - 1}\\
0&1&1&1\\
0&2&0&2
\end{array}} \right| = 0\)

\( \Leftrightarrow (x - {x^2}).{\left( { - 1} \right)^{1 + 2}}.\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}&{ - 1}\\
1&1&1\\
2&0&2
\end{array}} \right| = 0\)

\( \Leftrightarrow (x - {x^2}).\left( {2 + 0 + ( - 2) - ( - 2) - 0 - 2} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow - (x - {x^2}).( - 2) = 0\)

\( \Leftrightarrow 2({x^2} - x) = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - x = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
x = 0\\
x = 1
\end{array}} \right.\)

Vậy số nghiệm phân biệt k = 2.