Trong không gian vecto thực V cho họ M = {x, y, z} phụ thuộc tuyến tính. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Câu 43:

Tìm tất cả m để \(M = {( 1 , 1 , 1 , 1 ) , ( 2, 1 , 3, 4 ) , ( 3,2,1 , m) , ( 1 , 0,2, 3 ) }\) sinh ra không gian 4 chiều?

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để \(M = {( 1 , 1 , 1 , 1 ) , ( 2, 1 , 3, 4 ) , ( 3,2,1 , m) , ( 1 , 0,2, 3 ) }\) sinh ra không gian 4 chiều thì các vector trong M phải độc lập tuyến tính. Tức là định thức của ma trận tạo bởi các vector này phải khác 0.

Ta lập ma trận A từ các vector:
\(A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 1 & m \\ 1 & 0 & 2 & 3 \end{bmatrix}\)

Tính định thức của A:
Sử dụng phép biến đổi sơ cấp trên dòng:
\(d_1 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 1 & m \\ 1 & 0 & 2 & 3 \end{vmatrix}\)
\(d_1 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & -2 & m-3 \\ 0 & -1 & 1 & 2 \end{vmatrix}\)

Nhận thấy dòng 2 và dòng 4 giống nhau nên định thức bằng 0. Vậy không tồn tại m để M sinh ra không gian 4 chiều.

Cách 2:
\(\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 1 & m \\ 1 & 0 & 2 & 3 \end{vmatrix} \)

\(= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & -2 & m-3 \\ 0 & -1 & 1 & 2 \end{vmatrix} \)

\(= \begin{vmatrix} -1 & 1 & 2 \\ -1 & -2 & m-3 \\ -1 & 1 & 2 \end{vmatrix} \)
Vì dòng 1 bằng dòng 3 nên định thức bằng 0. Vậy không tồn tại m.

Câu 44:

Cho M = {x, y, z, t} là tập sinh của không gian vecto V. Giả sử {x, y} là tập độc lập tuyến tính cực đại của M. Khẳng định nào sau đây luôn đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Vì {x, y} là tập độc lập tuyến tính cực đại của M = {x, y, z, t} nên z và t đều biểu diễn tuyến tính qua x và y. Hay span{x, y} = span{x, y, z, t} = V.
Phương án 1: {x, 2y, z} sinh ra V. Vì z biểu diễn tuyến tính qua x, y nên z = a*x + b*y. Khi đó, mọi vecto trong V đều biểu diễn tuyến tính qua x, 2y, z. Do đó {x, 2y, z} sinh ra V. Phương án này có thể đúng.
Phương án 2: {x, z, t} độc lập tuyến tính. Vì z, t biểu diễn tuyến tính qua x, y nên {x, z, t} phụ thuộc tuyến tính. Phương án này sai.
Phương án 3: {2x, 3y} không là cơ sở của V. Vì {x, y} là tập độc lập tuyến tính cực đại của M nên {x, y} là cơ sở của V. Do đó {2x, 3y} cũng là cơ sở của V. Phương án này sai.
Phương án 4: Hạng của họ {x + y, x, z, t} bằng 3. Vì z, t biểu diễn tuyến tính qua x, y nên z, t biểu diễn tuyến tính qua x+y, x. Do đó hạng của họ {x + y, x, z, t} bằng 2. Phương án này sai.
Vậy phương án đúng nhất là phương án 1.

Câu 45:

Cho \(V =<(1 , 1 ,1 ) , ( 2,1 , 0 ) , ( 5, 3, 1 ) >\). Khẳng định nào sau đây luôn đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Ta có \(V = \langle (1,1,1), (2,1,0), (5,3,1) \rangle\). Để xét các khẳng định, ta cần tìm một cơ sở của V.

Nhận thấy (5, 3, 1) = 2(2, 1, 0) + (1, 1, 1), do đó V chỉ được sinh bởi (1, 1, 1) và (2, 1, 0).

Vì (1, 1, 1) và (2, 1, 0) độc lập tuyến tính nên hệ này là một cơ sở của V. Vậy dim(V) = 2.

Xét đáp án:
1. Sai, vì \(\{(1, 1, 1), (0, 0, 1)\} \) độc lập tuyến tính và thuộc V nên nó là một cơ sở của V. Tuy nhiên (0,0,1) không thuộc V. (Vì nếu (0,0,1) thuộc V thì V có số chiều bằng 3).
2. Sai, vì dim(V) = 2.
3. \((1, 0, -1) = (2, 1, 0) - (1, 1, 1) \), do đó \((1, 0, -1) \in V\). Vậy đáp án này đúng.
4. Sai, vì có một đáp án đúng.

Câu 46:

Cho {x, y, z} là tập sinh của không gian vecto V. Khẳng định nào dưới đây luôn đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Vì {x, y, z} là tập sinh của V, nên mọi vector trong V đều biểu diễn tuyến tính qua x, y, z. Xét hệ x + y, x - y, 3z. Mọi vector v thuộc V có thể viết: v = a.x + b.y + c.z = a'. (x+y) + b'.(x-y) + c'.(3z). Như vậy, {x + y, x − y, 3z} cũng là tập sinh của V.

Câu 47:

Cho x, y, x là ba vecto của không gian vecto thực V, biết M = {x+y+z,2x+y+z, x+2y+z} là cơ sở của V. Khẳng định nào luôn đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Vì M = {x+y+z, 2x+y+z, x+2y+z} là cơ sở của V nên mọi vecto trong V đều biểu diễn tuyến tính được qua M.

Xét đáp án 1: {2x, 3y, 4z} là cơ sở của V. Ta cần chứng minh hệ này độc lập tuyến tính và sinh ra V.
Ta có:
2x = a(x+y+z) + b(2x+y+z) + c(x+2y+z)
3y = d(x+y+z) + e(2x+y+z) + f(x+2y+z)
4z = g(x+y+z) + h(2x+y+z) + i(x+2y+z)
Giải hệ này ta tìm được a, b, c, d, e, f, g, h, i => {2x, 3y, 4z} biểu diễn tuyến tính qua M, mà M là cơ sở của V => {2x, 3y, 4z} là cơ sở của V.

Xét đáp án 3: {x + y, x − y,2z} có hạng bằng 2. Ta cần chứng minh hệ này phụ thuộc tuyến tính.
Ta có: (x+y) + (x-y) = 2x. Nếu 2x và 2z độc lập tuyến tính thì hạng của hệ bằng 3, ngược lại thì hạng bằng 2. Vì không có thông tin gì về x, y, z nên ta không thể kết luận được.

Xét đáp án 4: {x + y, y + z, x − z} là cơ sở của V. Ta cần chứng minh hệ này độc lập tuyến tính và sinh ra V.
Ta có: (x+y) + (y+z) + (x-z) = 2x + 2y. Hệ này có thể không sinh ra V.

Vậy đáp án đúng là {2x, 3y, 4z} là cơ sở của V.

Câu 48:

Cho \({( 1 , 1 ,1 ) , ( 2,1 , 0 ) , ( 5, 3, 1 ) }\) là tập sinh của không gian con F. Khẳng định nào sau đây luôn đúng?

Lời giải: