Tìm tất cả m để \(M = {( 1 , 1 , 1 , 1 ) , ( 2, 1 , 3, 4 ) , ( 3,2,1 , m) , ( 1 , 0,2, 3 ) }\) sinh ra không gian 4 chiều?

Vì {x, y} là tập độc lập tuyến tính cực đại của M = {x, y, z, t} nên z và t đều biểu diễn tuyến tính qua x và y. Hay span{x, y} = span{x, y, z, t} = V.
Phương án 1: {x, 2y, z} sinh ra V. Vì z biểu diễn tuyến tính qua x, y nên z = a*x + b*y. Khi đó, mọi vecto trong V đều biểu diễn tuyến tính qua x, 2y, z. Do đó {x, 2y, z} sinh ra V. Phương án này có thể đúng.
Phương án 2: {x, z, t} độc lập tuyến tính. Vì z, t biểu diễn tuyến tính qua x, y nên {x, z, t} phụ thuộc tuyến tính. Phương án này sai.
Phương án 3: {2x, 3y} không là cơ sở của V. Vì {x, y} là tập độc lập tuyến tính cực đại của M nên {x, y} là cơ sở của V. Do đó {2x, 3y} cũng là cơ sở của V. Phương án này sai.
Phương án 4: Hạng của họ {x + y, x, z, t} bằng 3. Vì z, t biểu diễn tuyến tính qua x, y nên z, t biểu diễn tuyến tính qua x+y, x. Do đó hạng của họ {x + y, x, z, t} bằng 2. Phương án này sai.
Vậy phương án đúng nhất là phương án 1.

Ta có \(V = \langle (1,1,1), (2,1,0), (5,3,1) \rangle\). Để xét các khẳng định, ta cần tìm một cơ sở của V.

Nhận thấy (5, 3, 1) = 2(2, 1, 0) + (1, 1, 1), do đó V chỉ được sinh bởi (1, 1, 1) và (2, 1, 0).

Vì (1, 1, 1) và (2, 1, 0) độc lập tuyến tính nên hệ này là một cơ sở của V. Vậy dim(V) = 2.

Xét đáp án:
1. Sai, vì \(\{(1, 1, 1), (0, 0, 1)\} \) độc lập tuyến tính và thuộc V nên nó là một cơ sở của V. Tuy nhiên (0,0,1) không thuộc V. (Vì nếu (0,0,1) thuộc V thì V có số chiều bằng 3).
2. Sai, vì dim(V) = 2.
3. \((1, 0, -1) = (2, 1, 0) - (1, 1, 1) \), do đó \((1, 0, -1) \in V\). Vậy đáp án này đúng.
4. Sai, vì có một đáp án đúng.

Vì M = {x+y+z, 2x+y+z, x+2y+z} là cơ sở của V nên mọi vecto trong V đều biểu diễn tuyến tính được qua M.

Xét đáp án 1: {2x, 3y, 4z} là cơ sở của V. Ta cần chứng minh hệ này độc lập tuyến tính và sinh ra V.
Ta có:
2x = a(x+y+z) + b(2x+y+z) + c(x+2y+z)
3y = d(x+y+z) + e(2x+y+z) + f(x+2y+z)
4z = g(x+y+z) + h(2x+y+z) + i(x+2y+z)
Giải hệ này ta tìm được a, b, c, d, e, f, g, h, i => {2x, 3y, 4z} biểu diễn tuyến tính qua M, mà M là cơ sở của V => {2x, 3y, 4z} là cơ sở của V.

Xét đáp án 3: {x + y, x − y,2z} có hạng bằng 2. Ta cần chứng minh hệ này phụ thuộc tuyến tính.
Ta có: (x+y) + (x-y) = 2x. Nếu 2x và 2z độc lập tuyến tính thì hạng của hệ bằng 3, ngược lại thì hạng bằng 2. Vì không có thông tin gì về x, y, z nên ta không thể kết luận được.

Xét đáp án 4: {x + y, y + z, x − z} là cơ sở của V. Ta cần chứng minh hệ này độc lập tuyến tính và sinh ra V.
Ta có: (x+y) + (y+z) + (x-z) = 2x + 2y. Hệ này có thể không sinh ra V.

Vậy đáp án đúng là {2x, 3y, 4z} là cơ sở của V.

Phân tích câu hỏi:
Câu hỏi cho một tập sinh của không gian con F và yêu cầu xác định khẳng định đúng.
Để giải quyết bài toán này, ta cần kiểm tra tính độc lập tuyến tính của tập sinh, tìm cơ sở và số chiều của F, từ đó kiểm tra các khẳng định.

Đánh giá các phương án:
1. Phương án 1:
Ta cần kiểm tra xem (1, 0, -3) có thuộc F hay không, tức là có biểu diễn tuyến tính qua (1, 1, 1), (2, 1, 0), (5, 3, 1) hay không. Gọi (1, 0, -3) = a(1, 1, 1) + b(2, 1, 0) + c(5, 3, 1). Ta có hệ phương trình:
a + 2b + 5c = 1
a + b + 3c = 0
a + c = -3
Giải hệ phương trình này, ta có thể tìm ra a, b, c. Từ phương trình thứ ba, a = -3 - c. Thay vào hai phương trình đầu, ta được:
-3 - c + 2b + 5c = 1 => 2b + 4c = 4 => b + 2c = 2
-3 - c + b + 3c = 0 => b + 2c = 3
Hệ này vô nghiệm. Vậy (1, 0, -3) không thuộc F. Câu này sai.

2. Phương án 2:
Để xác định dim(F), ta cần tìm một cơ sở của F. Xét ma trận tạo bởi các vector sinh:
| 1 2 5 |
| 1 1 3 |
| 1 0 1 |
Thực hiện phép biến đổi sơ cấp trên dòng:
R2 = R2 - R1, R3 = R3 - R1
| 1 2 5 |
| 0 -1 -2 |
| 0 -2 -4 |
R3 = R3 - 2R2
| 1 2 5 |
| 0 -1 -2 |
| 0 0 0 |
Vì hạng của ma trận là 2, nên dim(F) = 2. Câu này sai.

3. Phương án 3:
Ta kiểm tra xem (1, 1, 1) và (2, 3, -1) có độc lập tuyến tính không và có thuộc F không.
Thật vậy, (1,1,1) thuộc F do là 1 trong các vector sinh. Với (2,3,-1)=a(1,1,1)+b(2,1,0)+c(5,3,1) ta được hệ:
a+2b+5c=2
a+b+3c=3
a+c=-1
Suy ra a=-1-c, thay vào hai pt đầu:
-1-c+2b+5c=2 -> 2b+4c=3
-1-c+b+3c=3 -> b+2c=4
Suy ra b=4-2c, thay vào pt trên: 2(4-2c)+4c=3 -> 8=3 (vô lý). Vậy (2,3,-1) không thuộc F, nên câu này sai.

4. Phương án 4: Vì cả 3 câu trên đều sai, nên câu này đúng.