Cho {x, y, z} là tập sinh của không gian vecto V. Khẳng định nào dưới đây luôn đúng?

Vecto x có tọa độ (3, -4, 5) trong cơ sở E, nghĩa là x được biểu diễn như một tổ hợp tuyến tính của các vecto trong cơ sở E với các hệ số tương ứng là 3, -4, và 5. Ta có:

\(x = 3(e_1 + e_2 + e_3) - 4(2e_1 + 3e_2 + e_3) + 5(e_1 + e_2 + 3e_3)\\)

\(x = 3e_1 + 3e_2 + 3e_3 - 8e_1 - 12e_2 - 4e_3 + 5e_1 + 5e_2 + 15e_3\\)

\(x = (3 - 8 + 5)e_1 + (3 - 12 + 5)e_2 + (3 - 4 + 15)e_3\\)

\(x = 0e_1 - 4e_2 + 14e_3\\)

\(x = -4e_2 + 14e_3\\)

Vậy đáp án đúng là \(x = −4e_2 + 1 4e_3.\)

Để xác định một tập hợp vectơ có phải là không gian con của R³ hay không, ta cần kiểm tra xem nó có thỏa mãn các điều kiện sau:

1. Chứa vectơ không (0, 0, 0).


2. Đóng với phép cộng vectơ. Tức là, nếu u và v thuộc V thì u + v cũng thuộc V.


3. Đóng với phép nhân vô hướng. Tức là, nếu u thuộc V và c là một số thực thì c*u cũng thuộc V.

Xét từng phương án:

• Phương án 1: V = {(x - y, y, 0) / x, y ∈ R}. Nếu x = 0 và y = 0 thì (0, 0, 0) ∈ V. Giả sử u = (x₁ - y₁, y₁, 0) và v = (x₂ - y₂, y₂, 0) thuộc V. Khi đó u + v = (x₁ - y₁ + x₂ - y₂, y₁ + y₂, 0). Đặt x = x₁ + x₂, y = y₁ + y₂ thì u + v = (x - y, y, 0) ∈ V. Nếu c ∈ R thì c*u = (c*(x₁ - y₁), c*y₁, 0) = (cx₁ - cy₁, cy₁, 0). Đặt x' = cx₁, y' = cy₁. Vậy c*u = (x' - y', y', 0) ∈ V. Vậy V là không gian con.


• Phương án 2: V = {(x - y + z, z - y, x) / x, y, z ∈ R}. Nếu x = 0, y = 0, z = 0 thì (0, 0, 0) ∈ V. Giả sử u = (x₁ - y₁ + z₁, z₁ - y₁, x₁) và v = (x₂ - y₂ + z₂, z₂ - y₂, x₂) thuộc V. Khi đó u + v = (x₁ - y₁ + z₁ + x₂ - y₂ + z₂, z₁ - y₁ + z₂ - y₂, x₁ + x₂). Đặt x = x₁ + x₂, y = y₁ + y₂, z = z₁ + z₂ thì u + v = (x - y + z, z - y, x) ∈ V. Nếu c ∈ R thì c*u = (c*(x₁ - y₁ + z₁), c*(z₁ - y₁), c*x₁) = (cx₁ - cy₁ + cz₁, cz₁ - cy₁, cx₁). Đặt x' = cx₁, y' = cy₁, z' = cz₁. Vậy c*u = (x' - y' + z', z' - y', x') ∈ V. Vậy V là không gian con.


• Phương án 3: V gồm tất cả các vectơ được sinh ra bởi hệ {(1, 2, 1), (-2, 0, 1), (1, 2, -3), (3, -2, 1)}. Vì V là không gian sinh bởi một tập hợp các vectơ nên nó là một không gian con của R³.


• Phương án 4: V = {(x, y, xy) / x, y ∈ R}. Nếu x = 0 và y = 0 thì (0, 0, 0) ∈ V. Xét u = (1, 1, 1) ∈ V (vì 1*1 = 1) và v = (2, 2, 4) ∈ V (vì 2*2 = 4). Khi đó u + v = (3, 3, 5). Tuy nhiên, 3*3 = 9 ≠ 5. Vậy u + v không thuộc V. Do đó V không phải là không gian con của R³.

Vậy, đáp án đúng là phương án 4.