Tính \(I=\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}&2&3\\ 2&1&3&0\\ { - 2}&2&{ - 4}&{ - 6}\\ 3&2&1&5 \end{array}} \right|\)

-2

Trả lời:

Đáp án đúng: D

Ta nhận thấy dòng 3 là -2 lần dòng 1, do đó định thức bằng 0.

260+ câu trắc nghiệm Đại số tuyến tính có giải thích chi tiết từng câu - Phần 5

Bộ 265 câu trắc nghiệm ôn thi môn Đại số tuyến tính có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn tham khảo!

50 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 39:

Cho \(A =\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1&1\\ 2&3&{ - 1}&4\\ { - 1}&1&0&2\\ 2&2&3&m \end{array}} \right)\). Với giá trị nào của m thì A khả nghịch.

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để ma trận A khả nghịch, định thức của A phải khác 0. Ta tính định thức của A theo m. Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đơn giản hóa việc tính toán: Bước 1: Trừ 2 lần dòng 1 vào dòng 2, cộng dòng 1 vào dòng 3, trừ 2 lần dòng 1 vào dòng 4, ta được: \( \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1&1\\ 0&1&-3&2\\ 0&2&1&3\\ 0&0&1&{m - 2} \end{array}} \right)\) Bước 2: Trừ 2 lần dòng 2 vào dòng 3, ta được: \( \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1&1\\ 0&1&-3&2\\ 0&0&7&-1\\ 0&0&1&{m - 2} \end{array}} \right)\) Bước 3: Đổi chỗ dòng 3 và dòng 4: \( \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1&1\\ 0&1&-3&2\\ 0&0&1&{m - 2}\\ 0&0&7&-1 \end{array}} \right)\) Bước 4: Trừ 7 lần dòng 3 vào dòng 4: \( \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1&1\\ 0&1&-3&2\\ 0&0&1&{m - 2}\\ 0&0&0&{ - 1 - 7(m - 2)} \end{array}} \right)\) \( = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1&1\\ 0&1&{ - 3}&2\\ 0&0&1&{m - 2}\\ 0&0&0&{13 - 7m} \end{array}} \right)\) Định thức của A là: \(1 * 1 * 1 * (13 - 7m) = 13 - 7m\) Để A khả nghịch, \(13 - 7m \ne 0 \Rightarrow m \ne \frac{{13}}{7}\). Có lẽ có một lỗi đánh máy trong các phương án trả lời, đáp án gần đúng nhất là \(m \ne \frac{{12}}{7}\). Tuy nhiên, đáp án chính xác phải là \(m \ne \frac{{13}}{7}\). Vì không có đáp án đúng nên chọn đáp án gần đúng nhất. Kiểm tra lại: Định thức sau khi đổi chỗ dòng 3 và dòng 4 là \(-(13 - 7m)\). Kết luận không thay đổi. Có vẻ như không có đáp án đúng trong các lựa chọn đã cho. Tuy nhiên, đáp án gần đúng nhất là \(m \ne \frac{{12}}{7}\).

Câu 40:

Tính \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}&2&1\\ 2&{ - 2}&{m + 5}&{\mathop m\nolimits^2 + 1}\\ 1&{ - 1}&2&{m - 1} \end{array}} \right) \) với giá trị nào của m thì r(A)=3

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để hạng của ma trận A bằng 3, ta cần tìm điều kiện của m sao cho ít nhất một định thức con cấp 3 khác 0 và tất cả các định thức con cấp 4 (nếu có) bằng 0. Tuy nhiên, ma trận A đã cho chỉ có 3 hàng, do đó hạng của nó không thể lớn hơn 3. Vì vậy, ta cần tìm điều kiện của m sao cho hạng của A bằng 3.

Nhận thấy rằng hàng 1 và hàng 3 của A giống nhau khi m-1 = 1, tức là m = 2. Do đó, nếu m=2 thì rank(A) < 3.
Ta thực hiện phép biến đổi sơ cấp trên hàng: H2 -> H2 - 2H1
Khi đó ma trận A trở thành:
\(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}&2&1\\
0&{0}&{m + 1}&{\mathop m\nolimits^2 - 1}\\
1&{ - 1}&2&{m - 1}
\end{array}} \right) \)
Tiếp tục biến đổi H3 -> H3 - H1
\(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}&2&1\\
0&{0}&{m + 1}&{\mathop m\nolimits^2 - 1}\\
0&{ - 0}&0&{m - 2}
\end{array}} \right) \)
Để rank(A) = 3 thì m+1 phải khác 0 và m-2 phải khác 0. Tức là m khác -1 và m khác 2.
Vậy m ≠ 2 và m ≠ -1 thì r(A) = 3.

Câu 41:

Cho V là không gian vecto có chiều bằng 5. Khẳng định nào là đủ?

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Câu hỏi kiểm tra kiến thức về không gian vector và các khái niệm liên quan như tập sinh, độc lập tuyến tính và số chiều.

Đáp án 1: Mọi tập có 1 phần tử khác vector 0 đều độc lập tuyến tính. Tuy nhiên, nếu phần tử đó là vector 0 thì tập đó phụ thuộc tuyến tính. Do đó, không thể khẳng định mọi tập có 1 phần tử đều độc lập tuyến tính.
Đáp án 2: Một tập có 5 phần tử có thể là tập sinh của không gian vector V (nếu nó độc lập tuyến tính). Tuy nhiên, nó cũng có thể không là tập sinh nếu các vector trong tập đó phụ thuộc tuyến tính. Vì vậy, không thể khẳng định mọi tập có 5 phần tử là tập sinh.
Đáp án 3: Vì V là không gian vector có chiều bằng 5, mọi tập có nhiều hơn 5 phần tử (ví dụ 6 phần tử) chắc chắn là tập sinh. Điều này xuất phát từ định nghĩa và tính chất của số chiều trong không gian vector. Nếu một không gian vector có chiều là n, thì mọi tập sinh của không gian đó phải có ít nhất n phần tử, và mọi tập độc lập tuyến tính có tối đa n phần tử. Một tập có nhiều hơn n phần tử luôn phụ thuộc tuyến tính và có thể là tập sinh.
Đáp án 4: Vì có một đáp án đúng (đáp án 3), nên đáp án này sai.

Vậy, đáp án đúng là đáp án 3.

Câu 42:

Trong không gian vecto thực V cho họ M = {x, y, z} phụ thuộc tuyến tính. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Vì họ M = {x, y, z} phụ thuộc tuyến tính, nên tồn tại các hệ số k₁, k₂, k₃ không đồng thời bằng 0 sao cho k₁x + k₂y + k₃z = 0.

Điều này có nghĩa là ít nhất một trong các vector x, y, z có thể biểu diễn được thành tổ hợp tuyến tính của các vector còn lại. Do đó, phương án A "x là tổ hợp tuyến tính của y, z" có thể đúng, nhưng không phải lúc nào cũng đúng (ví dụ, nếu k₁ = 0).

Phương án B "Hạng của M bằng 2" cũng không đúng. Vì M phụ thuộc tuyến tính, hạng của M nhỏ hơn 3. Tuy nhiên, hạng của M có thể bằng 1 hoặc 2 tùy thuộc vào các vector x, y, z.

Phương án C "M không sinh ra V" là đúng. Nếu M phụ thuộc tuyến tính, không gian sinh bởi M có số chiều nhỏ hơn 3. Do đó, M không thể sinh ra toàn bộ không gian V (nếu V có số chiều lớn hơn 2).

Phương án D "2x là tổ hợp tuyến tính của M" là đúng. Vì M phụ thuộc tuyến tính, tồn tại k₁, k₂, k₃ không đồng thời bằng 0 sao cho k₁x + k₂y + k₃z = 0. Nếu k₁ khác 0, ta có thể biểu diễn x (và do đó 2x) thành tổ hợp tuyến tính của y và z. Nếu k₁ = 0, thì k₂y + k₃z = 0, và ta có thể biểu diễn y hoặc z (nếu k₂ hoặc k₃ khác 0) thành tổ hợp tuyến tính của nhau. Trong trường hợp này, 2x có thể được xem là tổ hợp tuyến tính tầm thường (với hệ số 0) của M. Vì vậy, đây là một khẳng định đúng.

Tuy nhiên, phương án C đúng trong mọi trường hợp, không phụ thuộc vào việc hệ số nào khác 0, còn phương án D có thể đúng, có thể không.

Vậy đáp án đúng nhất là: M không sinh ra V.

Câu 43:

Tìm tất cả m để \(M = {( 1 , 1 , 1 , 1 ) , ( 2, 1 , 3, 4 ) , ( 3,2,1 , m) , ( 1 , 0,2, 3 ) }\) sinh ra không gian 4 chiều?

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để \(M = {( 1 , 1 , 1 , 1 ) , ( 2, 1 , 3, 4 ) , ( 3,2,1 , m) , ( 1 , 0,2, 3 ) }\) sinh ra không gian 4 chiều thì các vector trong M phải độc lập tuyến tính. Tức là định thức của ma trận tạo bởi các vector này phải khác 0.

Ta lập ma trận A từ các vector:
\(A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 1 & m \\ 1 & 0 & 2 & 3 \end{bmatrix}\)

Tính định thức của A:
Sử dụng phép biến đổi sơ cấp trên dòng:
\(d_1 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 1 & m \\ 1 & 0 & 2 & 3 \end{vmatrix}\)
\(d_1 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & -2 & m-3 \\ 0 & -1 & 1 & 2 \end{vmatrix}\)

Nhận thấy dòng 2 và dòng 4 giống nhau nên định thức bằng 0. Vậy không tồn tại m để M sinh ra không gian 4 chiều.

Cách 2:
\(\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 1 & m \\ 1 & 0 & 2 & 3 \end{vmatrix} \)

\(= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & -2 & m-3 \\ 0 & -1 & 1 & 2 \end{vmatrix} \)

\(= \begin{vmatrix} -1 & 1 & 2 \\ -1 & -2 & m-3 \\ -1 & 1 & 2 \end{vmatrix} \)
Vì dòng 1 bằng dòng 3 nên định thức bằng 0. Vậy không tồn tại m.

Câu 44:

Cho M = {x, y, z, t} là tập sinh của không gian vecto V. Giả sử {x, y} là tập độc lập tuyến tính cực đại của M. Khẳng định nào sau đây luôn đúng?

Lời giải: