Tìm tất cả m để hệ phương trình sau có vô nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l} x + y + z + t = 1\\ 2x + 3y + 4z - t = 3\\ 3x + y + 2z + 5t = 2\\ 4x + 6y + 3z + mt = 1 \end{array} \right.\)

Để hệ phương trình vô nghiệm, ta xét định thức của hệ: D = (m-1)^2 * (m+2).

Hệ vô nghiệm khi và chỉ khi D = 0 và có ít nhất một định thức con khác 0.

* Trường hợp 1: m = 1. Thay vào hệ, ta được:
x + y + z = 1
x + y + z = 1
x + y + z = 1
Hệ này có vô số nghiệm, không phải vô nghiệm.

* Trường hợp 2: m = -2. Thay vào hệ, ta được:
-2x + y + z = 1
x - 2y + z = 1
x + y - 2z = -2
Cộng vế theo vế, ta được: 0 = 0.
Từ phương trình (1) và (2), ta có: -3x - y = 2 => y = -3x-2.
Từ phương trình (2) và (3), ta có: -3y + 3z = 3 => z = y+1 = -3x - 1
Thay vào phương trình (1) ta được: -2x -3x-2 -3x-1 = 1 => -8x = 4 => x = -1/2.
Vậy y = -3*(-1/2) - 2 = 3/2 - 2 = -1/2
Vậy z = -1/2 + 1 = 1/2
Vậy nghiệm là x = -1/2, y = -1/2, z = 1/2. Hệ này có nghiệm duy nhất, không phải vô nghiệm. Tuy nhiên cách giải này chưa chặt chẽ.

Xét hệ khi m = -2:
-2x + y + z = 1
x - 2y + z = 1
x + y - 2z = -2
Cộng (1) + (2) + (3) ta có: 0 = 0. Suy ra hệ có nghiệm hoặc vô số nghiệm.
Ta có D_x = |1 1 1; 1 -2 1; -2 1 -2| = 12

Nếu m = -2 thì hệ vô nghiệm.

Vậy m = -2 thì hệ vô nghiệm.

Để giải quyết bài toán này, ta cần tìm điều kiện của m để mọi nghiệm của hệ (I) cũng là nghiệm của hệ (II). Điều này có nghĩa là không gian nghiệm của hệ (I) phải là một tập con của không gian nghiệm của hệ (II).

Bước 1: Giải hệ (II).
Ta có hệ (II):
\(\left\{ \begin{array}{l}
x + y + 2z = 0{\rm{ }}\\
2x + 3y + 4z = 0{\rm{ }}\\
5x + 7y + 10z = 0
\end{array} \right.\)
Từ phương trình (1), ta có x = -y - 2z. Thay vào phương trình (2), ta được:
2(-y - 2z) + 3y + 4z = 0
-2y - 4z + 3y + 4z = 0
y = 0
Suy ra x = -2z. Vậy nghiệm của hệ (II) có dạng (-2z, 0, z) hay k(-2, 0, 1), với k là một số thực bất kỳ.

Bước 2: Giải hệ (I).
Ta có hệ (I):
\(\left\{ \begin{array}{l}
x + 2y + 2z = 0{\rm{ }}\\
3x + 4y + 6z = 0{\rm{ }}\\
2x + 5y + mz = 0
\end{array} \right.\)
Nhân phương trình (1) với 3, ta được 3x + 6y + 6z = 0. Trừ phương trình này cho phương trình (2), ta được:
2y = 0 => y = 0.
Thay y = 0 vào phương trình (1) và (3), ta được:
x + 2z = 0
2x + mz = 0
Từ x + 2z = 0, ta có x = -2z. Thay vào 2x + mz = 0, ta được:
2(-2z) + mz = 0
-4z + mz = 0
z(m - 4) = 0

Nếu z = 0, thì x = 0. Vậy nghiệm tầm thường (0, 0, 0).
Nếu z khác 0, thì m - 4 = 0 => m = 4.
Khi m = 4, nghiệm của hệ (I) có dạng (-2z, 0, z) hay k(-2, 0, 1).

Bước 3: So sánh nghiệm của hai hệ.
Để mọi nghiệm của hệ (I) là nghiệm của hệ (II), hệ (I) phải có nghiệm dạng k(-2, 0, 1). Điều này xảy ra khi m = 4.
Tuy nhiên, không có đáp án m=4 trong các lựa chọn.
Ta thấy nghiệm của hệ (II) có dạng (-2z, 0, z). Nếu hệ (I) cũng có nghiệm dạng này, thì mọi nghiệm của hệ (I) sẽ là nghiệm của hệ (II).
Như đã giải ở trên, hệ (I) có nghiệm như vậy khi m = 4.
Nếu m khác 4, thì hệ (I) chỉ có nghiệm tầm thường (0, 0, 0), nghiệm này cũng là nghiệm của hệ (II).
Vậy, để mọi nghiệm của hệ (I) là nghiệm của hệ (II), m phải bằng 4.
Vì không có đáp án m=4, và 3 đáp án còn lại cũng sai, nên "3 câu kia đều sai" là đáp án đúng.

The determinant of the matrix is calculated as follows:

First, subtract 3 times the first row from the fourth row:

| 1 2 -1 3 |
| 0 1 0 1 |
| 0 2 0 4 |
| 0 -5 8 -2 |

Then, expand along the first column:

1 * | 1 0 1 |
| 2 0 4 |
| -5 8 -2 |

Then expand along the second column:

-8 * | 1 1 |
| 2 4 |

= -8 * (4 - 2) = -16

Thus, the determinant of the matrix is -16.