Biết phương trình (biết x) sau có vô số nghiệm \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&x&{{x^2}}\\ 1&2&4\\ 1&a&{{a^2}} \end{array}} \right|\). Khẳng định nào đúng?

Các câu kia đều sai

\(\forall a\)

a = 2.

\(a \ne 2\)

Trả lời:

Đáp án đúng: C

Để phương trình có vô số nghiệm, định thức của ma trận phải bằng 0. Ta có: \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&x&{{x^2}}\\ 1&2&4\\ 1&a&{{a^2}} \end{array}} \right| = (2-x)(a^2-4) - (a-2)(x^2-4) = (2-x)(a-2)(a+2) - (a-2)(x-2)(x+2) = (a-2)[(2-x)(a+2) - (x-2)(x+2)] = (a-2)[(2-x)(a+2) + (2-x)(x+2)] = (a-2)(2-x)(a+2+x+2) = (a-2)(2-x)(a+x+4)\) Để định thức bằng 0 với mọi x, ta cần a = 2 hoặc a = -x-4. Vì phương trình có vô số nghiệm với mọi x nên a=2. Vậy a=2 Vậy, khẳng định đúng là a = 2.

260+ câu trắc nghiệm Đại số tuyến tính có giải thích chi tiết từng câu - Phần 5

Bộ 265 câu trắc nghiệm ôn thi môn Đại số tuyến tính có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn tham khảo!

50 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 24:

Cho \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&{ - 1}&2\\ 2&3&1&4\\ 3&2&m&1\\ 4&5&3&9 \end{array}} \right]\). Tìm m để det (PA) = 0

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để tìm giá trị của m sao cho det(A) = 0, ta cần tính định thức của ma trận A. Tuy nhiên, câu hỏi lại yêu cầu tìm m để det(PA) = 0, trong đó P không được định nghĩa. Giả sử P là một ma trận khả nghịch, thì det(PA) = det(P) * det(A). Vì det(P) khác 0 (do P khả nghịch), det(PA) = 0 khi và chỉ khi det(A) = 0. Ta sẽ tính định thức của A và giải phương trình det(A) = 0 để tìm m.

Tính định thức của A:

A = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&{-1}&2\\
2&3&1&4\\
3&2&m&1\\
4&5&3&9
\end{array}} \right]\)

Sử dụng phép biến đổi sơ cấp trên hàng để đơn giản ma trận:
H2 = H2 - 2H1
H3 = H3 - 3H1
H4 = H4 - 4H1

Ta được:
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&{-1}&2\\
0&1&3&0\\
0&{-1}&{m+3}&{-5}\\
0&1&7&1
\end{array}} \right]\)

H3 = H3 + H2
H4 = H4 - H2

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&{-1}&2\\
0&1&3&0\\
0&0&{m+6}&{-5}\\
0&0&4&1
\end{array}} \right]\)

Đổi chỗ H3 và H4:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&{-1}&2\\
0&1&3&0\\
0&0&4&1\\
0&0&{m+6}&{-5}
\end{array}} \right]\)
H4 = H4 - ((m+6)/4) * H3

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&{-1}&2\\
0&1&3&0\\
0&0&4&1\\
0&0&0&{-5 - (m+6)/4}
\end{array}} \right]\)

Định thức của ma trận này là: 1 * 1 * 4 * (-5 - (m+6)/4) = 0
=> -5 - (m+6)/4 = 0
=> -20 - m - 6 = 0
=> m = -26
Tuy nhiên không có đáp án nào là -26, nên ta sẽ kiểm tra lại các đáp án bằng cách thay vào và tính định thức.

Nếu P là ma trận đơn vị (I), ta có det(IA) = det(A) = 0
Nếu m = 26: det(A) khác 0
Nếu m = 20: det(A) khác 0
Nếu m = 0: det(A) khác 0

Vì không có đáp án đúng, ta chọn "Ba câu kia đều sai".

Câu 25:

Cho \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{ - 2}&6\\ 0&1&4\\ 0&0&1 \end{array}} \right)\) và \(B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&{ - 1}\\ 0&2&5\\ 1&{ - 2}&7 \end{array}} \right)\). Tính det(2AB).

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để tính det(2AB), ta sử dụng các tính chất của định thức. Ta có det(2AB) = det(2I * A * B) = det(2I) * det(A) * det(B), trong đó I là ma trận đơn vị cấp 3.

Tính det(A):
Vì A là ma trận tam giác trên, định thức của A là tích các phần tử trên đường chéo chính: det(A) = 3 * 1 * 1 = 3.

Tính det(B):
\(\begin{aligned}
det(B) &= \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
0&0&{ - 1}\\
0&2&5\\
1&{ - 2}&7
\end{array}} \right| \\
&= 0 * \left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&5\\{-2}&7\end{array}} \right| - 0 * \left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&5\\1&7\end{array}} \right| + (-1) * \left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&2\\1&{-2}\end{array}} \right| \\
&= -1 * (0*(-2) - 2*1) \\
&= -1 * (-2) = 2
\end{aligned}\)

Tính det(2I):
\(2I = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
2&0&0\\
0&2&0\\
0&0&2
\end{array}} \right)\)
Vậy det(2I) = 2 * 2 * 2 = 8.

Suy ra: det(2AB) = det(2I) * det(A) * det(B) = 8 * 3 * 2 = 48.
Vì không có đáp án nào là 48, nên đáp án đúng là "Ba câu kia đều sai".

Câu 26:

Cho \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ 5&1&0\\ { - 2}&1&2 \end{array}} \right)\) và \(B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&2&1\\ 0&1&4\\ 0&0&1 \end{array}} \right)\). Tính det(2AB).

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta có det(A) = 1 * 1 * 2 = 2 và det(B) = -1 * 1 * 1 = -1. Vậy det(2AB) = 2³ * det(A) * det(B) = 8 * 2 * (-1) = -16.

Câu 27:

Tính định thức: \(\left| A \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {i + 1}&{2i}&{2 + i}\\ 1&{ - 1}&0\\ {3 - i}&{1 - i}&{4 + 2i} \end{array}} \right|\) với \({i^2} = - 1.\)

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để tính định thức của ma trận A, ta sử dụng khai triển theo dòng hoặc cột. Ở đây, ta sẽ khai triển theo dòng thứ hai (vì có số 0):

|A| = 1 * (-1)^(2+1) * |(2i, 2+i), (1-i, 4+2i)| + (-1) * (-1)^(2+2) * |(i+1, 2+i), (3-i, 4+2i)|

= -1 * (2i(4+2i) - (2+i)(1-i)) - 1 * ((i+1)(4+2i) - (2+i)(3-i))

= - (8i + 4i^2 - (2 - 2i + i - i^2)) - (4i + 2i^2 + 4 + 2i - (6 - 2i + 3i - i^2))

= - (8i - 4 - (2 - i + 1)) - (6i - 2 + 4 - (6 + i + 1))

= - (8i - 4 - 3 + i) - (6i + 2 - 7 - i)

= - (9i - 7) - (5i - 5)

= -9i + 7 - 5i + 5

= 12 - 14i

Vậy, |A| = 12 - 14i.

Câu 28:

Tìm bậc của f(x), biết \(f(x) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 4&{ - 1}&2&5\\ 1&2&6&{ - 1}\\ {{x^2}}&x&{{x^3} + 1}&{x + 4}\\ { - 1}&2&1&0 \end{array}} \right|\)

Lời giải:

Đáp án đúng: B

To find the degree of the polynomial f(x), we need to calculate the determinant of the given matrix. The determinant of a 4x4 matrix can be calculated by expanding along a row or a column. In this case, we observe that the elements of the matrix contain terms of different degrees of x. When calculating the determinant, we will have products of the elements, and the degree of x in each product will be the sum of the degrees of x in those elements.

Expanding the determinant along row 3, we get:

f(x) = x^2 * C1 + x * C2 + (x^3 + 1) * C3 + (x + 4) * C4

Where C1, C2, C3, and C4 are the sub-determinants of the (3x3) matrix and do not depend on x.

To find the degree of f(x), we need to find the largest exponent of x in the expression.
- The term x^2 * C1 has a maximum degree of 2.
- The term x * C2 has a maximum degree of 1.
- The term (x^3 + 1) * C3 has a maximum degree of 3.
- The term (x + 4) * C4 has a maximum degree of 1.

However, we need to consider whether the sub-determinants C1, C2, C3, and C4 can be zero. If C3 is not zero, then the term (x^3 + 1) * C3 will have the highest degree of 3. If C3 = 0, we need to consider other terms.

After calculating the determinant, the highest power of x is 3. Therefore, the degree of f(x) is 3. The correct answer should be 3.

Câu 29:

Tìm tất cả m để hai hệ phương trình sau tương đương \(\left\{ \begin{array}{l} x + 2y + 5z = 0\\ x + 3y + 7x = 0\\ x + 4y + 9z = 0 \end{array} \right.;\left\{ \begin{array}{l} x + 4y + 9z = 0\\ x + 2y + 7z = 0\\ 3x + 10y + mz = 0 \end{array} \right.\)

Lời giải: