Tính định thức: \(\left| A \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {i + 1}&{2i}&{2 + i}\\ 1&{ - 1}&0\\ {3 - i}&{1 - i}&{4 + 2i} \end{array}} \right|\) với \({i^2} = - 1.\)

To find the degree of the polynomial f(x), we need to calculate the determinant of the given matrix. The determinant of a 4x4 matrix can be calculated by expanding along a row or a column. In this case, we observe that the elements of the matrix contain terms of different degrees of x. When calculating the determinant, we will have products of the elements, and the degree of x in each product will be the sum of the degrees of x in those elements.

Expanding the determinant along row 3, we get:

f(x) = x^2 * C1 + x * C2 + (x^3 + 1) * C3 + (x + 4) * C4

Where C1, C2, C3, and C4 are the sub-determinants of the (3x3) matrix and do not depend on x.

To find the degree of f(x), we need to find the largest exponent of x in the expression.
- The term x^2 * C1 has a maximum degree of 2.
- The term x * C2 has a maximum degree of 1.
- The term (x^3 + 1) * C3 has a maximum degree of 3.
- The term (x + 4) * C4 has a maximum degree of 1.

However, we need to consider whether the sub-determinants C1, C2, C3, and C4 can be zero. If C3 is not zero, then the term (x^3 + 1) * C3 will have the highest degree of 3. If C3 = 0, we need to consider other terms.

After calculating the determinant, the highest power of x is 3. Therefore, the degree of f(x) is 3. The correct answer should be 3.

Xét hệ phương trình thứ nhất:

\(\left\{ \begin{array}{l}
x + 2y + 5z = 0\\
x + 3y + 7z = 0\\
x + 4y + 9z = 0
\end{array} \right.\)

Lấy phương trình (2) trừ phương trình (1), ta được: y + 2z = 0. (4)

Lấy phương trình (3) trừ phương trình (2), ta được: y + 2z = 0. (5)

Vậy hệ phương trình thứ nhất tương đương với:

\(\left\{ \begin{array}{l}
x + 2y + 5z = 0\\
y + 2z = 0
\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = -2y - 5z = -2(-2z) - 5z = -z\\
y = -2z
\end{array} \right.\)

Vậy nghiệm của hệ thứ nhất là: (-z, -2z, z) hay (t, 2t, -t) với t \(\in \mathbb{R}\)

Xét hệ phương trình thứ hai:

\(\left\{ \begin{array}{l}
x + 4y + 9z = 0\\
x + 2y + 7z = 0\\
3x + 10y + mz = 0
\end{array} \right.\)

Lấy phương trình (1) trừ phương trình (2), ta được: 2y + 2z = 0 hay y + z = 0. (6)

Từ (6) suy ra y = -z. Thay vào phương trình (1), ta được: x + 4(-z) + 9z = 0 hay x + 5z = 0 hay x = -5z.

Vậy nghiệm của hai phương trình đầu của hệ thứ hai là: (-5z, -z, z) hay (5t, t, -t) với t \(\in \mathbb{R}\)

Để hai hệ tương đương thì nghiệm của hệ thứ nhất phải là nghiệm của hệ thứ hai, tức là: (t, 2t, -t) = (5u, u, -u) (u \(\in \mathbb{R}\))

Suy ra t = 5u, 2t = u. Vậy 2(5u) = u hay 10u = u hay u = 0. Vậy t = 0.

Thay x = t = 0, y = 2t = 0, z = -t = 0 vào phương trình thứ ba của hệ thứ hai, ta được: 3(0) + 10(0) + m(0) = 0. Vậy phương trình luôn đúng với mọi m.

Tuy nhiên, nghiệm tổng quát của hệ thứ nhất không phải là nghiệm của hệ thứ hai với mọi m.

Ví dụ, với z = -1 thì x = 1, y = -2. Thay vào phương trình thứ ba của hệ thứ hai, ta được:

3(1) + 10(-2) + m(-1) = 0 hay 3 - 20 - m = 0 hay m = -17. Khi đó, nghiệm (1, -2, -1) là nghiệm của hệ thứ hai.

Vậy không tồn tại m để hai hệ phương trình tương đương.

Để hệ phương trình có vô nghiệm, định thức của ma trận hệ số mở rộng phải khác 0. Ta biến đổi ma trận hệ số mở rộng về dạng bậc thang:



Để hệ vô nghiệm, cần có dòng có dạng [0 0 0 0 | k] với k khác 0. Điều này xảy ra khi phần tử (4,4) khác 0, tức là:

\(\frac{{14}}{3} - m \ne 0 \Rightarrow m \ne \frac{{14}}{3}\)

Tuy nhiên, câu hỏi yêu cầu tìm *tất cả* các giá trị của m để hệ *vô nghiệm*. Với \(m = \frac{{14}}{3}\), hệ có vô số nghiệm hoặc vô nghiệm, cần xét kỹ hơn. Nhưng vì không có giá trị m nào trong các lựa chọn khiến hệ vô nghiệm một cách trực tiếp (tức là tạo ra dòng [0 0 0 0 | k] với k khác 0 một cách trực tiếp), nên câu trả lời phù hợp nhất là "Không tồn tại m". Tuy nhiên, đây là một câu hỏi không tốt, vì không kiểm tra được kiến thức chính xác.

Tuy nhiên, theo phân tích ở trên, nếu \(m = \frac{{14}}{3}\), ta không thể kết luận hệ vô nghiệm ngay, mà cần phải kiểm tra thêm. Do đó, không có đáp án nào đúng một cách tuyệt đối.

Để hệ phương trình vô nghiệm, ta xét định thức của hệ: D = (m-1)^2 * (m+2).

Hệ vô nghiệm khi và chỉ khi D = 0 và có ít nhất một định thức con khác 0.

* Trường hợp 1: m = 1. Thay vào hệ, ta được:
x + y + z = 1
x + y + z = 1
x + y + z = 1
Hệ này có vô số nghiệm, không phải vô nghiệm.

* Trường hợp 2: m = -2. Thay vào hệ, ta được:
-2x + y + z = 1
x - 2y + z = 1
x + y - 2z = -2
Cộng vế theo vế, ta được: 0 = 0.
Từ phương trình (1) và (2), ta có: -3x - y = 2 => y = -3x-2.
Từ phương trình (2) và (3), ta có: -3y + 3z = 3 => z = y+1 = -3x - 1
Thay vào phương trình (1) ta được: -2x -3x-2 -3x-1 = 1 => -8x = 4 => x = -1/2.
Vậy y = -3*(-1/2) - 2 = 3/2 - 2 = -1/2
Vậy z = -1/2 + 1 = 1/2
Vậy nghiệm là x = -1/2, y = -1/2, z = 1/2. Hệ này có nghiệm duy nhất, không phải vô nghiệm. Tuy nhiên cách giải này chưa chặt chẽ.

Xét hệ khi m = -2:
-2x + y + z = 1
x - 2y + z = 1
x + y - 2z = -2
Cộng (1) + (2) + (3) ta có: 0 = 0. Suy ra hệ có nghiệm hoặc vô số nghiệm.
Ta có D_x = |1 1 1; 1 -2 1; -2 1 -2| = 12

Nếu m = -2 thì hệ vô nghiệm.

Vậy m = -2 thì hệ vô nghiệm.

Để giải quyết bài toán này, ta cần tìm điều kiện của m để mọi nghiệm của hệ (I) cũng là nghiệm của hệ (II). Điều này có nghĩa là không gian nghiệm của hệ (I) phải là một tập con của không gian nghiệm của hệ (II).

Bước 1: Giải hệ (II).
Ta có hệ (II):
\(\left\{ \begin{array}{l}
x + y + 2z = 0{\rm{ }}\\
2x + 3y + 4z = 0{\rm{ }}\\
5x + 7y + 10z = 0
\end{array} \right.\)
Từ phương trình (1), ta có x = -y - 2z. Thay vào phương trình (2), ta được:
2(-y - 2z) + 3y + 4z = 0
-2y - 4z + 3y + 4z = 0
y = 0
Suy ra x = -2z. Vậy nghiệm của hệ (II) có dạng (-2z, 0, z) hay k(-2, 0, 1), với k là một số thực bất kỳ.

Bước 2: Giải hệ (I).
Ta có hệ (I):
\(\left\{ \begin{array}{l}
x + 2y + 2z = 0{\rm{ }}\\
3x + 4y + 6z = 0{\rm{ }}\\
2x + 5y + mz = 0
\end{array} \right.\)
Nhân phương trình (1) với 3, ta được 3x + 6y + 6z = 0. Trừ phương trình này cho phương trình (2), ta được:
2y = 0 => y = 0.
Thay y = 0 vào phương trình (1) và (3), ta được:
x + 2z = 0
2x + mz = 0
Từ x + 2z = 0, ta có x = -2z. Thay vào 2x + mz = 0, ta được:
2(-2z) + mz = 0
-4z + mz = 0
z(m - 4) = 0

Nếu z = 0, thì x = 0. Vậy nghiệm tầm thường (0, 0, 0).
Nếu z khác 0, thì m - 4 = 0 => m = 4.
Khi m = 4, nghiệm của hệ (I) có dạng (-2z, 0, z) hay k(-2, 0, 1).

Bước 3: So sánh nghiệm của hai hệ.
Để mọi nghiệm của hệ (I) là nghiệm của hệ (II), hệ (I) phải có nghiệm dạng k(-2, 0, 1). Điều này xảy ra khi m = 4.
Tuy nhiên, không có đáp án m=4 trong các lựa chọn.
Ta thấy nghiệm của hệ (II) có dạng (-2z, 0, z). Nếu hệ (I) cũng có nghiệm dạng này, thì mọi nghiệm của hệ (I) sẽ là nghiệm của hệ (II).
Như đã giải ở trên, hệ (I) có nghiệm như vậy khi m = 4.
Nếu m khác 4, thì hệ (I) chỉ có nghiệm tầm thường (0, 0, 0), nghiệm này cũng là nghiệm của hệ (II).
Vậy, để mọi nghiệm của hệ (I) là nghiệm của hệ (II), m phải bằng 4.
Vì không có đáp án m=4, và 3 đáp án còn lại cũng sai, nên "3 câu kia đều sai" là đáp án đúng.