Cho \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ 5&1&0\\ { - 2}&1&2 \end{array}} \right)\) và \(B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&2&1\\ 0&1&4\\ 0&0&1 \end{array}} \right)\). Tính det(2AB).

Để tìm bậc của đa thức f(x) được biểu diễn dưới dạng định thức, ta cần xét các số hạng chứa x và tìm bậc cao nhất của chúng sau khi khai triển định thức. Định thức cấp 4 được tính bằng tổng (có dấu) của các tích, mỗi tích gồm 4 phần tử, mỗi phần tử lấy từ một hàng và một cột khác nhau.

Khi khai triển định thức, ta quan tâm đến các tích có thể tạo ra số hạng bậc cao nhất. Các phần tử chứa x là: x², x, x³+1, x+4.

Ta xét các tích có thể tạo ra số hạng bậc cao nhất:

• Tích (4)(2)(x³+1)(0) = 0


• Tích (4)(6)(x+4)(-1) = -24(x+4) (bậc 1)


• Tích (-1)(1)(x³+1)(-1) = x³+1 (bậc 3)


• Tích (-1)(6)(x²)(0) = 0


• Tích (2)(1)(x)(0) = 0


• Tích (2)(2)(x²)(-1) = -4x² (bậc 2)


• Tích (5)(1)(x)(2) = 10x (bậc 1)


• Tích (5)(2)(x²)(-1) = -10x² (bậc 2)

Để ý đến số hạng chứa x³. Khi khai triển định thức, một số hạng có thể là tích của các phần tử trên đường chéo chính. Tuy nhiên, đường chéo chính ở đây là 4 * 2 * (x³ + 1) * 0 = 0. Ta cần xét các tổ hợp khác để tạo ra x³.

Xét khai triển theo hàng thứ ba, ta có thể thấy số hạng x³ chỉ xuất hiện từ (x³ + 1). Để có số hạng bậc cao nhất, ta cần nhân (x³ + 1) với các số hạng không chứa x từ các hàng và cột khác. Một cách để tạo ra số hạng x³ là: - (x³ + 1) * (4 * 2 - (-1) * 1) = - (x³ + 1) * 9 = -9x³ - 9.

Vậy bậc cao nhất của f(x) là 3.

Ta thấy hệ phương trình thứ nhất có nghiệm là nghiệm của hệ phương trình thứ hai. Do đó, để hai hệ phương trình tương đương thì hệ phương trình thứ hai phải có nghiệm là nghiệm của hệ phương trình thứ nhất.

Giải hệ phương trình thứ nhất:

\(\left\{ \begin{array}{l}
x + 2y + 5z = 0 (1)\\
x + 3y + 7z = 0 (2)\\
x + 4y + 9z = 0 (3)
\end{array} \right.\)

Lấy (2) - (1) và (3) - (2) ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l}
y + 2z = 0\\
y + 2z = 0
\end{array} \right. \Rightarrow y = -2z\)

Thay vào (1) ta có:\(x + 2(-2z) + 5z = 0 \Rightarrow x + z = 0 \Rightarrow x = -z\)

Vậy hệ phương trình thứ nhất có nghiệm \((x; y; z) = (-z; -2z; z)\). Nghiệm này cũng là nghiệm của hệ phương trình thứ hai. Thay vào phương trình cuối của hệ thứ hai ta được:

\(3(-z) + 10(-2z) + mz = 0 \Leftrightarrow -3z - 20z + mz = 0 \Leftrightarrow (-23 + m)z = 0\)

Để điều này đúng với mọi z thì m = 23.

Ta biến đổi hệ phương trình về dạng bậc thang như sau:

\(\left\{ \begin{array}{l} x + y + z + t = 1\\ 2x + 3y + 4z - t = 3\\ 3x + y + 2z + 5t = 2\\ 4x + 6y + 3z + mt = 1 \end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y + z + t = 1\\ y + 2z - 3t = 1\\ - 2y - z + 2t = - 1\\ 2y - z + (m - 4)t = - 3 \end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y + z + t = 1\\ y + 2z - 3t = 1\\ 3z - 4t = 1\\ - 3z + (m - 1)t = - 5 \end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y + z + t = 1\\ y + 2z - 3t = 1\\ 3z - 4t = 1\\ (m - 5)t = - 4 \end{array} \right.\)

Hệ vô nghiệm khi và chỉ khi \(m - 5 = 0\) hay \(m = 5\).

Ta có: \(D = \begin{vmatrix}
m & 1 & 1 \\
1 & m & 1 \\
1 & 1 & m
\end{vmatrix} = m^3 - 3m + 2 = (m - 1)^2 (m + 2)\)

Xét các trường hợp:

+ Nếu \(m \ne 1\) và \(m \ne -2\) thì \(D \ne 0\), hệ có nghiệm duy nhất.

+ Nếu \(m = 1\), hệ trở thành \(\left\{ \begin{array}{l}
x + y + z = 1\\
x + y + z = 1\\
x + y + z = 1
\end{array} \right.\), hệ có vô số nghiệm.

+ Nếu \(m = -2\), hệ trở thành \(\left\{ \begin{array}{l}
-2x + y + z = 1\\
x - 2y + z = 1\\
x + y - 2z = -2
\end{array} \right.\)

Khi đó: \(D_x = \begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & -2 & 1 \\
-2 & 1 & -2
\end{vmatrix} = 4 + (-2) + 1 - 4 - 1 - 2 = -4\)

Vì \(D = 0\) và \(D_x \ne 0\) nên hệ vô nghiệm.

Vậy \(m = -2\) thì hệ vô nghiệm.