5 câu hỏi 50 phút
Xác định giá trị của tham số a để hàm số sau liên tục tại x = 0:
f(x) =
\begin{cases}
\frac{x \sin\left(\tfrac{1}{x}\right)}{x} + 2, & x \neq 0 \\[6pt]
a, & x = 0
\end{cases}
Để hàm số liên tục tại x = 0, ta cần có: lim (x→0) f(x) = f(0)
Tính lim (x→0) f(x): lim (x→0) f(x) = lim (x→0) [x*sin(1/x) / x + 2] = lim (x→0) [sin(1/x) + 2] Vì -1 <= sin(1/x) <= 1 nên khi x dần tới 0, sin(1/x) sẽ dao động giữa -1 và 1.
Do đó, giới hạn lim (x→0) sin(1/x) không tồn tại.
Tuy nhiên, câu hỏi có thể có một lỗi nhỏ trong biểu thức.
Nếu biểu thức đúng là `(x*sin(1/x))/x + 2` thì ta sẽ giải như sau: lim (x→0) [sin(1/x) + 2]
Nếu đề bài là `f(x) = sin(x)/x + 2` khi x != 0, thì lim (x→0) f(x) = lim (x→0) (sin(x) / x) + 2 = 1 + 2 = 3
Khi đó, để hàm số liên tục tại x = 0, ta cần a = f(0) = 3.
Tuy nhiên, với biểu thức đã cho `f(x) = (x*sin(1/x)) / x + 2`, giới hạn không tồn tại khi x->0, trừ khi có sự triệt tiêu nào đó.
Nếu đề bài có thể sửa lại thành: `f(x) = x*sin(1/x) + 2` khi x!=0 và `f(x) = a` khi x = 0 Khi đó, lim (x→0) x*sin(1/x) + 2 = 0 + 2 = 2
Vậy a = 2.
50 câu hỏi 60 phút
45 câu hỏi 60 phút
50 câu hỏi 60 phút
22 câu hỏi 60 phút
50 câu hỏi 60 phút
50 câu hỏi 60 phút
50 câu hỏi 60 phút
50 câu hỏi 60 phút
50 câu hỏi 60 phút
50 câu hỏi 60 phút
Để hàm số liên tục tại x = 0, ta cần có: lim (x→0) f(x) = f(0)
Tính lim (x→0) f(x): lim (x→0) f(x) = lim (x→0) [x*sin(1/x) / x + 2] = lim (x→0) [sin(1/x) + 2] Vì -1 <= sin(1/x) <= 1 nên khi x dần tới 0, sin(1/x) sẽ dao động giữa -1 và 1.
Do đó, giới hạn lim (x→0) sin(1/x) không tồn tại.
Tuy nhiên, câu hỏi có thể có một lỗi nhỏ trong biểu thức.
Nếu biểu thức đúng là `(x*sin(1/x))/x + 2` thì ta sẽ giải như sau: lim (x→0) [sin(1/x) + 2]
Nếu đề bài là `f(x) = sin(x)/x + 2` khi x != 0, thì lim (x→0) f(x) = lim (x→0) (sin(x) / x) + 2 = 1 + 2 = 3
Khi đó, để hàm số liên tục tại x = 0, ta cần a = f(0) = 3.
Tuy nhiên, với biểu thức đã cho `f(x) = (x*sin(1/x)) / x + 2`, giới hạn không tồn tại khi x->0, trừ khi có sự triệt tiêu nào đó.
Nếu đề bài có thể sửa lại thành: `f(x) = x*sin(1/x) + 2` khi x!=0 và `f(x) = a` khi x = 0 Khi đó, lim (x→0) x*sin(1/x) + 2 = 0 + 2 = 2
Vậy a = 2.
Để tính giới hạn \(\lim_{x \to +\infty} \frac{-2x^2 + 3}{x e^{-2x}}\) ta làm như sau:
Ta có thể viết lại biểu thức như sau: \(\lim_{x \to +\infty} \frac{-2x^2 + 3}{x e^{-2x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{-2x^2 + 3}{x} e^{2x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{-2x^2 + 3}{x} \cdot \lim_{x \to +\infty} e^{2x}\) Khi \(x \to +\infty\), \(-2x^2 + 3\) có bậc lớn nhất là \(x^2\) và \(x\) có bậc là 1.
Vì vậy, ta xét: \(\lim_{x \to +\infty} \frac{-2x^2 + 3}{x} = \lim_{x \to +\infty} (-2x + \frac{3}{x})\) Khi \(x \to +\infty\), \(-2x \to -\infty\) và \(\frac{3}{x} \to 0\), do đó: \(\lim_{x \to +\infty} (-2x + \frac{3}{x}) = -\infty\)
Mặt khác, \(\lim_{x \to +\infty} e^{2x} = +\infty\)
Vậy, ta có một dạng \((-\infty) \cdot (+\infty)\), kết quả sẽ là \(-\infty\).
Do đó, \(\lim_{x \to +\infty} \frac{-2x^2 + 3}{x e^{-2x}} = -\infty\)
Để khai triển hàm số $f(x) = \sqrt{x+1}$ theo công thức Maclaurin đến lũy thừa bậc 5 của x với phần dư dạng Peano, ta cần tính các đạo hàm của f(x) tại x = 0.
$f(x) = (x+1)^{1/2}$
$f'(x) = \frac{1}{2}(x+1)^{-1/2}$
$f''(x) = -\frac{1}{4}(x+1)^{-3/2}$
$f'''(x) = \frac{3}{8}(x+1)^{-5/2}$
$f^{(4)}(x) = -\frac{15}{16}(x+1)^{-7/2}$
$f^{(5)}(x) = \frac{105}{32}(x+1)^{-9/2}$
Tính các giá trị tại x = 0:
$f(0) = 1$
$f'(0) = \frac{1}{2}$ $f''(0) = -\frac{1}{4}$
$f'''(0) = \frac{3}{8}$ $f^{(4)}(0) = -\frac{15}{16}$
$f^{(5)}(0) = \frac{105}{32}$
Sử dụng công thức Maclaurin:
$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4 + \frac{f^{(5)}(0)}{5!}x^5 + o(x^5)$
$f(x) = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3 - \frac{5}{128}x^4 + \frac{7}{256}x^5 + o(x^5)$